股票價格的對數常態假設：數學、用途與局限

僅供教育參考，不構成投資建議

直接答案

經典期權模型常假設未來股票價格服從對數常態分布，也就是連續複利的對數報酬服從常態分布。不是價格服從常態，也不是「報酬服從對數常態」。幾何布朗運動下：

S_T=S_0 exp[(μ-σ²/2)T+σ√T Z]，其中 Z∼N(0,1)。

指數轉換讓模型價格保持正數，並使多期對數報酬可以相加，也能導出易於計算的期權公式。但現實報酬存在偏度、厚尾、波動聚集、跳空、暫停交易和分布變化。對數常態是透明基準，不是市場定律。

分布與定價機制

簡單報酬為 R=S_T/S_0-1；對數報酬為 g=ln(S_T/S_0)=ln(1+R)。對數報酬跨期相加，簡單報酬則乘法複合。價格從 $100 漲至 $110 再跌至 $99，得到 ln(1.10)+ln(0.90)=ln(0.99)=-1.005%。直接把 +10% 與 -10% 相加會錯誤地得到零。

若 ln S_T∼N(m,v)，價格中位數為 e^m，平均數為 e^(m+v/2)，眾數為 e^(m-v)。右偏價格分布以零為下限，向上沒有有限邊界。它在有限時間無法真正到達零，因此違約等吸收狀態必須另行建模。

Black-Scholes 的風險中性定價使用 (r-q-σ²/2)T 作為預期對數報酬，而非股票的現實預期報酬。該分布用於無套利條件下為或有支付定價，並非現實頻率預測。常數 σ 還意味同一到期日所有履約價使用同一 IV，這與實際偏斜或微笑不符。

一年期分布範例

設 S_0=$100，一年對數報酬服從平均 5%、標準差 20% 的常態分布。未來價格中位數為 $100e^0.05=$105.13，平均數為 $100e^(0.05+0.20²/2)=$107.25，眾數為 $100e^(0.05-0.20²)=$101.01。「期望價格」不等於分布中央或最可能區域。

取 Z=-1 和 Z=+1 近似第 16 與第 84 百分位，得到 $100e^(0.05-0.20)=$86.07 與 $100e^(0.05+0.20)=$128.40。即使對數報酬區間對稱，美元價格區間也不對稱。

股價從 $100 下跌 50% 至 $50，再上漲 50% 只到 $75，累計簡單報酬為 -25%。對數報酬嚴格相加為 ln(0.5)+ln(1.5)=ln(0.75)=-28.77%。從 $50 回到 $100 需要上漲 100%。

檢驗與模型風險清單

使用總報酬或正確還原權值價格；拆股和普通分配會在未調整序列中製造假跳躍。
計算前對齊時間戳、幣別、收盤時點、缺失值和非交易日。
明確報告簡單報酬或對數報酬；只有變動較小時兩者才接近。
將樣本偏度、超額峰度、1%/5%/95%/99% 分位數、直方圖和 Q-Q 圖與常態基準比較。
分別檢查平靜期與危機期；混合不同波動狀態本身就會產生厚尾總體分布。
檢查報酬及平方報酬的序列相關；波動聚集違反恆定獨立增量假設。
財報、預定事件、長記憶或狀態變化附近不能機械使用 √T 縮放。
區分預測使用的現實參數與定價使用的風險中性參數。
跨履約價估值應使用目前 IV 曲面，不把單一平值波動率強加給全部合約。
在平滑擴散之外壓力測試跳空、違約、暫停交易、流動性消失和波動率重定價。
在樣本外驗證參數與避險誤差；擬合歷史極端值不證明未來穩定。
路徑依賴期權需模擬中間路徑和離散誤差，而不只取樣對數常態終值。

常見誤區

「股票報酬服從對數常態。」經典說法是價格對數常態、對數報酬常態。
「模型價格為正就證明真實。」正值約束不能處理違約、跳空、厚尾或波動狀態。
「平均價格就是最可能價格。」對數常態的平均數、中位數和眾數不同。
「對稱的對數報酬區間對應對稱美元區間。」指數轉換會產生不對稱價格區間。
「風險中性機率就是真實機率。」它包含定價調整和風險溢酬，服務於不同目的。
「年化波動率永遠等於日波動率乘 √252。」縮放需要穩定、獨立增量。
「一項歷史波動率可為所有期權定價。」市場通常隱含履約價和期限不同的波動率。
「罕見行情應當異常值刪除。」核實資料後，極端值可能是反駁尾部假設的關鍵證據。
「只模擬對數常態終值能為全部衍生品定價。」障礙、亞式和美式期權還依賴路徑或行權決策。