Preços lognormais das ações: suposição, matemática e limites

Entenda por que os modelos de opções clássicos usam preços de ações lognormais, como os retornos simples e logarítmicos diferem, como os preços médios e medianos divergem e por que caudas grossas, saltos e volatilidade variável limitam a suposição.

Somente para fins educacionais; não constitui recomendação nem aconselhamento de investimento. Investir pode causar perdas.

Resposta direta

Os modelos de opções clássicos geralmente assumem que o preço futuro de uma ação é distribuído lognormalmente, o que significa que seu retorno logarítmico continuamente composto é normalmente distribuído. O preço em si não é considerado normal e o retorno não é “lognormal”. Sob movimento browniano geométrico:

S_T=S_0 exp[(μ-σ²/2)T+σ√T Z], onde Z∼N(0,1).

Aqui, μ é a deriva do preço sob a medida de probabilidade adotada, σ é a volatilidade e T é o horizonte. A exponenciação mantém os preços modelados positivos, permite somar retornos logarítmicos de vários períodos e leva a fórmulas de opções tratáveis. Os mercados reais não obedecem exatamente à suposição: os retornos apresentam assimetria, caudas grossas, agrupamento de volatilidade, saltos, interrupções de negociação e distribuições mutáveis. A lognormalidade é uma referência transparente, não uma lei do mercado.

Mecânica de distribuição e precificação

O retorno simples é R=S_T/S_0-1; o retorno logarítmico é g=ln(S_T/S_0)=ln(1+R). Retornos logarítmicos podem ser somados ao longo do tempo, enquanto retornos simples se compõem por multiplicação. Uma alta de $100 para $110, seguida de queda para $99, resulta em ln(1.10)+ln(0.90)=ln(0.99)=-1.005%. Somar +10% e -10% como retornos simples levaria, incorretamente, a zero.

Se ln S_T∼N(m,v), a mediana do preço é e^m, a média é e^(m+v/2) e a moda é e^(m-v). A distribuição de preços, assimétrica à direita, tem zero como limite inferior e não possui limite superior finito. O preço não pode atingir exatamente zero em tempo finito; por isso, inadimplência e outros estados absorventes precisam ser modelados separadamente.

Sob a medida física, definir μ exige supor ou estimar um retorno. Sob a medida neutra ao risco de Black-Scholes, a deriva do preço passa a ser r−q; portanto, a média do retorno logarítmico é (r-q-σ²/2)T. Essa distribuição precifica direitos contingentes sob condições de não arbitragem; não prevê frequências reais. Uma σ constante também implicaria a mesma volatilidade implícita em todos os preços de exercício de um vencimento, contrariando a assimetria ou o sorriso observados.

Um exemplo de distribuição de um ano

Seja S_0=$100 e suponha que o retorno logarítmico em um ano seja normal, com média 5% e desvio padrão 20%. A mediana do preço futuro é $100e^0.05=$105.13; a média é $100e^(0.05+0.20²/2)=$107.25 e a moda, $100e^(0.05-0.20²)=$101.01. Portanto, o “preço esperado” não coincide com o centro nem com o valor mais provável da distribuição.

Usando Z=-1 e Z=+1 como aproximações dos percentis 16 e 84, obtemos $100e^(0.05-0.20)=$86.07 e $100e^(0.05+0.20)=$128.40. A faixa em dólares é assimétrica, embora o intervalo do retorno logarítmico seja simétrico.

Outro exemplo mostra por que a definição do retorno importa. Uma queda de 50%, de $100 para $50, seguida de alta de 50%, leva o preço somente a $75: o retorno simples acumulado é -25%. Os retornos logarítmicos somam exatamente ln(0.5)+ln(1.5)=ln(0.75)=-28.77%. Para voltar de $50 a $100, é necessária uma alta de 100%.

Lista de testes e riscos do modelo

Use dados de retorno total ou preços corretamente ajustados; desdobramentos e distribuições ordinárias podem criar saltos falsos em séries não ajustadas.
Alinhe datas e horários, moedas, horários de fechamento, observações ausentes e dias sem negociação antes de calcular os retornos.
Informe explicitamente se usa retornos simples ou logarítmicos; eles só ficam próximos quando as variações são pequenas.
Compare assimetria empírica, excesso de curtose, quantis de 1%/5%/95%/99%, histogramas e gráficos Q-Q com uma referência normal.
Examine separadamente períodos tranquilos e de crise. Misturar regimes de volatilidade variáveis pode, por si só, produzir retornos incondicionais com caudas pesadas.
Teste dependência serial nos retornos e em seus quadrados; o agrupamento da volatilidade viola a hipótese de incrementos constantes e independentes.
Não aplique mecanicamente a escala √T em torno de resultados corporativos, eventos programados, memória longa ou mudanças de regime.
Separar os parâmetros físicos usados para previsão dos parâmetros neutros ao risco inferidos para precificação.
Use a superfície atual de volatilidade implícita para avaliar opções entre diferentes preços de exercício, em vez de impor uma única volatilidade at-the-money a todos eles.
Submeta a estresse saltos, inadimplência, interrupções de negociação, perda de liquidez e reprecificação da volatilidade fora da difusão contínua.
Valide parâmetros e erros de hedge fora da amostra; ajustar extremos históricos não comprova estabilidade futura.
Para opções dependentes da trajetória, simule trajetórias intermediárias e erros de discretização, não apenas preços terminais lognormais.

Erros comuns

“Os retornos das ações são lognormais.” A afirmação clássica é que os preços são lognormais e os retornos logarítmicos são normais.
“Preços modelados positivos provam realismo.” A positividade não captura inadimplência, saltos, caudas gordas ou regimes de volatilidade.
“O preço médio é o preço mais provável.” A média, mediana e moda de uma distribuição lognormal são diferentes.
“Um intervalo de retorno logarítmico simétrico é simétrico em dólares.” A exponenciação cria uma faixa de preço assimétrica.
“A probabilidade neutra ao risco é a probabilidade real.” É a medida compatível com preços descontados sem arbitragem e tem finalidade distinta de uma previsão física.
“A volatilidade anual é sempre a volatilidade diária vezes √252.” Esse dimensionamento precisa de incrementos independentes e estáveis.
“Uma volatilidade histórica precifica cada opção.” Os preços das opções de mercado geralmente implicam volatilidade dependente do exercício e do vencimento.
“Eventos raros devem ser excluídos como outliers.” Após a verificação dos dados, os extremos podem ser uma evidência essencial contra as supostas caudas.
“Amostragens terminais lognormais precificam qualquer derivativo.” Opções de barreira, asiáticas e americanas dependem da trajetória ou de decisões de exercício.