株価の対数正規仮定：数理、用途、限界

教育目的のみであり、投資助言ではありません

直接の答え

古典的オプションモデルは将来の株式価格が対数正規分布、つまり連続複利の対数収益率が正規分布に従うと仮定します。価格が正規なのでも、収益率が「対数正規」なのでもありません。幾何ブラウン運動では：

S_T=S_0 exp[(μ-σ²/2)T+σ√T Z]、Z∼N(0,1)。

指数変換はモデル価格を正に保ち、複数期間の対数収益率を加算可能にし、扱いやすいオプション公式につながります。しかし現実には歪度、ファットテール、ボラティリティのクラスタリング、ジャンプ、取引停止、分布変化があります。対数正規は透明な基準であり市場法則ではありません。

分布と価格決定の仕組み

単純収益率は R=S_T/S_0-1、対数収益率は g=ln(S_T/S_0)=ln(1+R) です。対数収益率は期間を通じて加算でき、単純収益率は乗算で複利化します。$100 から $110、次に $99 なら ln(1.10)+ln(0.90)=ln(0.99)=-1.005% です。+10% と -10% の単純和をゼロとするのは誤りです。

ln S_T∼N(m,v) なら価格の中央値は e^m、平均は e^(m+v/2)、最頻値は e^(m-v) です。右に歪んだ価格分布はゼロが下限で上限はありません。有限時間でゼロにはならないため、デフォルトなどの吸収状態は別途モデル化が必要です。

Black-Scholes のリスク中立価格決定は (r-q-σ²/2)T を使い、現実の期待収益率を使いません。この分布は無裁定下で条件付き支払を価格付けするもので、現実頻度の予測ではありません。一定 σ は同じ満期の全行使価格に同じ IV を意味し、観測されるスキューやスマイルとも異なります。

1 年分布の例

S_0=$100、1 年対数収益率の平均を 5%、標準偏差を 20% とします。将来価格の中央値は $100e^0.05=$105.13、平均は $100e^(0.05+0.20²/2)=$107.25、最頻値は $100e^(0.05-0.20²)=$101.01 です。「期待価格」は分布中央や最も起こりやすい領域と同じではありません。

Z=-1 と Z=+1 を約 16、84 パーセンタイルとすると、$100e^(0.05-0.20)=$86.07 と $100e^(0.05+0.20)=$128.40 です。対数収益率区間が対称でもドル価格区間は非対称です。

$100 から 50% 下落して $50、その後 50% 上昇しても $75 で、累積単純収益率は -25% です。対数収益率の和は ln(0.5)+ln(1.5)=ln(0.75)=-28.77%。$50 から $100 へ戻るには 100% 上昇が必要です。

検証とモデルリスク

トータルリターンまたは正しく調整した価格を使います。分割と通常分配は未調整系列に偽のジャンプを作ります。
タイムスタンプ、通貨、終値時刻、欠測、非取引日を揃えます。
単純か対数かを明記します。小さな変化でのみ近似します。
歪度、超過尖度、1%/5%/95%/99% 分位、ヒストグラム、Q-Q 図を正規基準と比較します。
平穏期と危機期を分けます。異なる変動状態の混合だけでもファットテールが生じます。
収益率と二乗収益率の系列依存を調べます。クラスタリングは一定独立増分に反します。
決算、予定イベント、長期記憶、レジーム変化で √T を機械的に使いません。
予測の現実パラメータと価格決定のリスク中立パラメータを区別します。
全行使価格に一つの ATM 値を当てず、現在の IV 曲面を使います。
ジャンプ、デフォルト、取引停止、流動性喪失、IV 再評価をストレス検証します。
パラメータとヘッジ誤差を標本外で確認します。過去の極端値への適合は将来安定性を証明しません。
経路依存商品では終値だけでなく中間経路と離散化誤差をシミュレートします。

よくある誤解

「株式収益率は対数正規だ。」古典的主張は価格が対数正規、対数収益率が正規です。
「価格が正なら現実的だ。」デフォルト、ジャンプ、ファットテール、変動状態は表しません。
「平均価格が最も起こりやすい。」平均、中央値、最頻値は異なります。
「対数収益率の対称区間はドルでも対称だ。」指数変換で非対称になります。
「リスク中立確率は実際の確率だ。」価格調整とリスクプレミアムを含み、目的が違います。
「日次ボラティリティに √252 を掛ければ常に年率になる。」安定した独立増分が必要です。
「一つの実現ボラティリティで全オプションを評価できる。」市場 IV は行使価格と満期で異なります。
「稀な日は外れ値として消すべきだ。」データ確認後の極端値は仮定への重要な反証になり得ます。
「対数正規終値だけで全商品を評価できる。」バリア、アジアン、米国型は経路や行使判断に依存します。