Harga Saham Lognormal: Asumsi, Matematika, dan Batasannya

Pahami mengapa model opsi klasik memakai asumsi harga saham lognormal, perbedaan imbal hasil sederhana dan logaritmik, perbedaan rata-rata dan median harga, serta batas asumsi akibat ekor tebal, lompatan, dan volatilitas yang berubah.

Hanya untuk tujuan edukasi; bukan merupakan nasihat investasi atau rekomendasi investasi. Investasi dapat mengakibatkan kerugian.

Jawaban langsung

Model opsi klasik sering kali mengasumsikan bahwa harga saham di masa depan terdistribusi secara lognormal, yang berarti pengembalian log yang digabungkan secara terus menerus terdistribusi secara normal. Harganya sendiri tidak dianggap normal, dan pengembaliannya tidak “lognormal”. Di bawah gerak Brown geometris:

S_T=S_0 exp[(μ-σ²/2)T+σ√T Z], dimana Z∼N(0,1).

Di sini μ adalah drift harga menurut ukuran probabilitas yang digunakan, σ adalah volatilitas, dan T adalah horizon waktu. Eksponensiasi menjaga harga model tetap positif, membuat imbal hasil logaritmik antarperiode dapat dijumlahkan, dan menghasilkan rumus opsi yang mudah ditangani. Pasar nyata tidak sepenuhnya mengikuti asumsi ini: imbal hasil menunjukkan kemencengan, ekor tebal, pengelompokan volatilitas, lompatan, penghentian perdagangan, dan distribusi yang berubah. Lognormalitas adalah tolok ukur yang transparan, bukan hukum pasar.

Mekanisme distribusi dan penetapan harga

Imbal hasil sederhana adalah R=S_T/S_0-1; imbal hasil logaritmik adalah g=ln(S_T/S_0)=ln(1+R). Imbal hasil logaritmik dapat dijumlahkan sepanjang waktu, sedangkan imbal hasil sederhana digabungkan dengan perkalian. Kenaikan dari $100 ke $110, lalu penurunan ke $99, menghasilkan ln(1.10)+ln(0.90)=ln(0.99)=-1.005%. Menjumlahkan +10% dan -10% sebagai imbal hasil sederhana akan keliru menghasilkan nol.

Jika ln S_T∼N(m,v), median harga adalah e^m, meannya adalah e^(m+v/2), dan modusnya adalah e^(m-v). Distribusi harga yang condong ke kanan mempunyai batas bawah nol dan tidak ada batas atas yang berhingga. Ini tidak dapat mencapai nol tepat dalam waktu yang terbatas, sehingga default dan peristiwa penyerap lainnya tidak ada kecuali dimodelkan secara terpisah.

Pada ukuran fisik, menetapkan μ berarti membuat asumsi atau estimasi imbal hasil. Pada ukuran netral risiko Black-Scholes, drift harga menjadi r−q sehingga rata-rata imbal hasil logaritmik adalah (r-q-σ²/2)T. Distribusi ini menilai klaim kontinjensi dalam kondisi tanpa arbitrase; distribusi ini bukan prakiraan frekuensi nyata. σ yang konstan juga menyiratkan volatilitas tersirat yang sama untuk semua harga pelaksanaan pada satu jatuh tempo, bertentangan dengan skew atau smile yang diamati.

Contoh distribusi satu tahun

Misalkan S_0=$100 dan imbal hasil logaritmik satu tahun berdistribusi normal dengan rata-rata 5% dan simpangan baku 20%. Median harga mendatang adalah $100e^0.05=$105.13, rata-ratanya $100e^(0.05+0.20²/2)=$107.25, dan modusnya $100e^(0.05-0.20²)=$101.01. Jadi, “harga harapan” tidak sama dengan pusat atau nilai yang paling mungkin dari distribusi.

Dengan Z=-1 dan Z=+1 sebagai perkiraan persentil ke-16 dan ke-84, diperoleh $100e^(0.05-0.20)=$86.07 dan $100e^(0.05+0.20)=$128.40. Rentang harga dalam dolar tidak simetris walaupun interval imbal hasil logaritmiknya simetris.

Contoh lain menunjukkan mengapa definisi imbal hasil penting. Penurunan 50% dari $100 ke $50, lalu kenaikan 50%, hanya membawa harga ke $75; imbal hasil sederhana kumulatifnya -25%. Imbal hasil logaritmik berjumlah tepat ln(0.5)+ln(1.5)=ln(0.75)=-28.77%. Untuk pulih dari $50 ke $100, harga harus naik 100%.

Daftar periksa pengujian dan risiko model

Gunakan data imbal hasil total atau harga yang telah disesuaikan dengan benar; pemecahan saham dan distribusi rutin dapat menciptakan lompatan semu pada seri yang belum disesuaikan.
Selaraskan cap waktu, mata uang, waktu penutupan pasar, observasi yang hilang, dan hari tanpa perdagangan sebelum menghitung imbal hasil.
Nyatakan dengan jelas apakah yang dipakai imbal hasil sederhana atau logaritmik; keduanya hanya mendekati sama untuk perubahan kecil.
Bandingkan kemencengan empiris, kurtosis berlebih, kuantil 1%/5%/95%/99%, histogram, dan plot Q-Q dengan acuan normal.
Periksa periode tenang dan krisis secara terpisah. Mencampur rezim volatilitas yang berubah dapat dengan sendirinya menghasilkan distribusi imbal hasil tanpa syarat yang berekor tebal.
Uji ketergantungan serial pada imbal hasil dan kuadratnya; pengelompokan volatilitas melanggar asumsi kenaikan yang konstan dan independen.
Jangan menerapkan skala √T secara mekanis di sekitar pengumuman laba, peristiwa terjadwal, memori panjang, atau perubahan rezim.
Pisahkan parameter fisik yang digunakan untuk peramalan dari parameter netral risiko yang disimpulkan untuk penetapan harga.
Gunakan permukaan volatilitas tersirat saat ini untuk menilai opsi pada berbagai harga pelaksanaan, alih-alih memaksakan satu volatilitas at-the-money pada semuanya.
Lakukan uji stres terhadap lompatan, gagal bayar, penghentian perdagangan, hilangnya likuiditas, dan penetapan ulang harga volatilitas di luar difusi kontinu.
Validasi parameter dan kesalahan lindung nilai di luar sampel; kecocokan dengan peristiwa ekstrem historis tidak membuktikan stabilitas masa depan.
Untuk opsi yang bergantung pada jalur, simulasikan jalur perantara dan kesalahan diskritisasi, tidak hanya harga terminal lognormal.

Kesalahpahaman umum

“Imbal hasil saham berdistribusi lognormal.” Pernyataan klasiknya adalah harga berdistribusi lognormal dan imbal hasil logaritmik berdistribusi normal.
“Harga model yang positif membuktikan realisme.” Positivitas tidak mencakup gagal bayar, lompatan, ekor tebal, atau rezim volatilitas.
“Harga rata-rata adalah harga yang paling mungkin.” Rata-rata, median, dan modus distribusi lognormal berbeda.
“Kisaran pengembalian log simetris adalah simetris dalam dolar.” Eksponensial menciptakan kisaran harga yang asimetris.
“Probabilitas netral risiko adalah probabilitas sebenarnya.” Ini adalah ukuran yang konsisten dengan harga terdiskonto tanpa arbitrase dan tujuannya berbeda dari prakiraan fisik.
“Volatilitas tahunan selalu sama dengan volatilitas harian dikali √252.” Penskalaan tersebut memerlukan kenaikan yang stabil dan independen.
“Satu volatilitas historis menentukan harga setiap opsi.” Harga opsi pasar umumnya menyiratkan volatilitas yang bergantung pada harga pelaksanaan dan jatuh tempo.
“Peristiwa langka harus dihapus sebagai outlier.” Setelah pemeriksaan data, hal-hal ekstrem mungkin menjadi bukti penting yang menentang asumsi ekor tersebut.
“Sampel harga terminal lognormal dapat menilai semua derivatif.” Opsi barrier, Asia, dan Amerika bergantung pada jalur atau keputusan pelaksanaan.