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Delta et Gamma : direction locale, courbure et unités de position

Mesurez la direction et la courbure locales de l’option avec des coordonnées de modèle explicites, des quantités signées, des multiplicateurs compatibles, des estimations du second ordre, des unités de couverture, des différences finies et une revalorisation complète.

Mis à jour

À des fins éducatives uniquement ; ne constitue ni un conseil en investissement ni une recommandation d’investissement. Les investissements peuvent entraîner des pertes.

Réponse directe

Pour une valeur de modèle V(S, t, σ, ...), Delta est la dérivée première locale Delta = ∂V / ∂S, et Gamma est la courbure locale Gamma = ∂²V / ∂S² = ∂Delta / ∂S. Delta estime la variation de valeur pour un petit mouvement d’une unité de la coordonnée choisie du sous-jacent ; Gamma estime comment Delta évolue lorsque cette coordonnée varie.

Ce sont toutes deux des sorties de modèle horodatées, et non des prévisions, probabilités, cotations exécutables ou ratios de couverture permanents. Leur signification dépend du droit exact, du signe de la position, de la coordonnée de prix, de la surface de volatilité, du temps, des taux, distributions, coûts d’emprunt, du modèle d’exercice, du règlement, de l’unité de cotation, du multiplicateur et de l’échelle du fournisseur.

Courbe de valeur d’une option avec une tangente pour Delta et des pentes variables pour Gamma Courbe de valeur d’une option avec une tangente pour Delta et des pentes variables pour Gamma
Delta est la tangente locale ; Gamma est le taux local de variation de cette tangente.

Registre des grecques cohérent en signes et en unités

Soit q le nombre signé de contrats d’options, positif pour une position longue et négatif pour une position courte ; M le multiplicateur de prime compatible ; h le nombre signé d’unités du sous-jacent ; Delta_i le Delta de modèle par unité d’option ; et Gamma_i le Gamma de modèle par unité d’option et par mouvement d’une unité de prix. Le Delta de position en unités équivalentes du sous-jacent est Δ_pos = q × M × Delta_i + h, et le Gamma de position est Γ_pos = q × M × Gamma_i. Une action présente un Delta de +1 par unité longue et un Gamma de 0.

  1. Figez la série exacte, l’horodatage, le signe long ou court, la quantité, le multiplicateur, le livrable, la devise de cotation, la coordonnée du sous-jacent, le style d’exercice, le règlement et la version du modèle. Ne compensez pas les grecques de droits économiquement différents uniquement parce que leurs symboles se ressemblent.
  2. Déclarez la coordonnée et l’échelle de dérivation. Distinguez le Delta spot des Delta forward, futures, ajusté de la prime ou cash ; distinguez le Gamma par $1, point d’indice, point de futures ou 1% spot move ; et consignez si le fournisseur a déjà multiplié par le nombre de contrats ou le multiplicateur.
  3. Figez l’état du modèle : spot ou forward, taux, dividendes, coût d’emprunt, temps jusqu’à l’échéance exacte, surface de volatilité, règle de choc sticky-strike ou sticky-delta, traitement des événements discrets et méthode numérique. Une grecque affichée sans cet état n’est pas reproductible de manière indépendante.
  4. Pour un petit mouvement ΔS, calculez la variation Taylor par unité ΔV_Taylor ≈ Delta_i × ΔS + ½ × Gamma_i × (ΔS)² et le Delta local actualisé Delta_new ≈ Delta_i + Gamma_i × ΔS. Multipliez l’estimation de prix par le q × M signé ; ne multipliez pas une seconde fois une valeur déjà agrégée par le fournisseur.
  5. Validez les grecques analytiques ou du fournisseur par des perturbations centrées lorsque la fonction de valorisation est régulière : Delta_FD ≈ [V(S + h_S) − V(S − h_S)] / (2h_S) et Gamma_FD ≈ [V(S + h_S) − 2V(S) + V(S − h_S)] / h_S². Réduisez et augmentez h_S pour révéler les effets de troncature, d’annulation, de grille ou de recalibrage de surface.
  6. N’agrégez qu’après avoir normalisé chaque jambe selon la même équivalence du sous-jacent, unité de prix, devise, le même horodatage et la même convention de signe. Ajoutez ensuite les unités de couverture en actions ou futures et testez spot, temps, volatilité, skew, taux, dividendes, emprunt, sauts et frontières d’exercice.
  7. Utilisez la revalorisation complète comme contrôle des scénarios finis et des prix bid-ask exécutables pour négocier. Rapprochez exécutions, quantité de couverture, commissions, emprunt, assignation, règlement, version du modèle et grecques après le choc, au lieu de traiter une estimation Taylor locale comme un P&L réalisé.

Pour des calls et puts vanilla longs ordinaires dans un modèle européen régulier, Gamma est positif ; une position courte inverse le Gamma de position. Cette affirmation n’est pas universelle pour les payoffs digitaux, barrières, frontières d’exercice américain, droits ajustés, portefeuilles ou conventions des fournisseurs. À l’approche de l’échéance, Gamma peut se concentrer autour d’un prix d’exercice tout en restant faible très dans ou hors de la monnaie ; les sauts rendent la description locale continue incomplète.

Exemples détaillés

  • Estimation locale du prix et de la couverture d’un call long. Un call long a une valeur de V_0 = $3.10, Delta_i = 0.42, Gamma_i = 0.06, q = +1 et M = 100. Pour ΔS = +$1.50, le terme Delta est 0.42 × $1.50 = $0.6300 par action et le terme de courbure est ½ × 0.06 × ($1.50)² = $0.0675 ; ainsi, ΔV_Taylor = $0.6975 par action ou +$69.75 par contrat. La valeur estimée est $3.7975, et Delta_new ≈ 0.42 + 0.06 × 1.50 = 0.51. Le Delta de position passe de +42 shares à environ +51 shares ; une couverture statique de 42 actions courtes n’est plus neutre.
  • Un Gamma court inverse les signes de position. Six calls courts ont q = −6, M = 100, Delta_i = 0.55 et Gamma_i = 0.04. Le Delta initial de position est −330 shares et le Gamma de position −24 shares per $1. Pour ΔS = +$2, le Delta estimé de position varie de −48 shares pour atteindre −378 shares ; le P&L des options est approximativement −6 × 100 × [0.55 × 2 + ½ × 0.04 × 2²] = −$708. Pour ΔS = −$2, la même formule locale donne +$612. Un opérateur Delta-neutre achèterait environ 48 actions supplémentaires dans la hausse ou en vendrait environ 48 dans la baisse, avant coûts et changements de modèle.
  • L’agrégation du portefeuille inclut les actions et les jambes d’options signées. Détenez quatre calls avec Delta_i = 0.35, Gamma_i = 0.025, vendez trois puts avec Delta_i = −0.40, Gamma_i = 0.030, utilisez M = 100 et vendez à découvert 200 shares. Le Delta des options est +140 + 120 = +260 shares ; après les actions, le Delta net est +60 shares. Le Gamma des options est +10 − 9 = +1 share per $1. Pour ΔS = +$5, le Delta net local devient proche de +65 shares. Les deux jambes d’options contribuent +$825.00 et +$487.50, tandis que les actions contribuent −$1,000, donnant une estimation de portefeuille du second ordre de +$312.50 avant commissions, emprunt, volatilité implicite et passage du temps.
  • Attribution Taylor locale contre revalorisation complète. Pour un call européen avec S = 100, K = 100, r = 4%, un rendement continu y = 1%, σ = 25% et τ = 0.5, une référence Black-Scholes donne V_0 = 7.7215522303, Delta_i = 0.5659323171 et Gamma_i = 0.0221205770. Pour ΔS = +5, l’estimation du second ordre est 0.5659323171 × 5 + ½ × 0.0221205770 × 5² = 3.1061687980 par action. La revalorisation complète à volatilité implicite inchangée donne V_1 = 10.8172471731, soit une variation de 3.0956949428 ; l’estimation locale diffère donc de 0.0104738552, soit environ $1.047386 par multiplicateur 100. Si la volatilité implicite monte aussi à 30%, la valeur complète est 12.1628459929 ; la variation totale 4.4412937626 ne peut pas être attribuée uniquement aux Delta et Gamma initiaux.

Risques et contrôles

  • Une série, un symbole racine, une échéance, un prix d’exercice, un type d’option ou un livrable incorrects invalident la cartographie des grecques.
  • Omettre le signe long ou court inverse Delta et Gamma de position, direction de la couverture et attribution du P&L.
  • La quantité de contrats et le multiplicateur de prime peuvent être comptés deux fois ou omis.
  • Les contrats ajustés et options sur futures peuvent utiliser des unités autres que les actions ordinaires.
  • Les Delta spot, forward, futures, ajusté de la prime et cash ne sont pas interchangeables.
  • Le Gamma par unité de prix diffère du Gamma redimensionné à un 1% spot move ou du Gamma cash.
  • La devise et la conversion FX peuvent rendre incohérentes des grecques apparemment comparables.
  • Des horodatages différents ou des cotations périmées du sous-jacent et de l’option créent de fausses compensations.
  • Les grecques de midpoint ou de modèle ne garantissent pas des prix exécutables de l’option ou de la couverture.
  • La surface de volatilité, la règle sticky, le skew et la structure par terme modifient les deux grecques.
  • Les hypothèses de taux, dividendes, emprunt et financement influencent valeurs et couvertures du modèle.
  • L’exercice américain et les dividendes discrets créent des frontières absentes d’une formule européenne régulière.
  • Le règlement en espèces, la livraison physique et le stock après exercice créent des risques opérationnels différents.
  • L’absence de régularité près de l’échéance peut rendre Gamma élevé, instable ou dépendant de la grille autour d’un prix d’exercice.
  • Les mouvements importants invalident une extrapolation à Delta et Gamma fixes.
  • Les sauts, suspensions et gaps contournent les hypothèses de rééquilibrage continu.
  • Des perturbations de différences finies trop grandes ajoutent une erreur de troncature ; des perturbations minuscules ajoutent un bruit d’annulation.
  • Compenser des échéances, surfaces, modèles, devises ou types de règlement différents peut masquer le risque de base.
  • La taille discrète de la couverture, le spread bid-ask, les commissions, l’impact de marché, l’emprunt d’actions et la liquidité modifient les résultats réalisés.
  • Les différences de modèle, fournisseur, arrondi, assignation, règlement et écritures du courtier exigent un rapprochement final.

Idées reçues

  • « Delta est une probabilité universelle. » C’est une dérivée locale ; les interprétations probabilistes exigent des modèles, numéraires et conventions spécifiques.
  • « Delta reste fixe. » Gamma et chaque entrée variable du modèle le modifient.
  • « Un portefeuille Delta-neutre est sans risque. » Gamma, Vega, Theta, sauts, base, liquidité, exécution et risque de modèle subsistent.
  • « Gamma prédit directement la variation de prix. » Il intervient dans le développement local du prix par ½ × Gamma_i × (ΔS)² et change pendant le mouvement.
  • « Des grecques précises éliminent la nécessité d’une revalorisation complète. » Les dérivées locales facilitent l’attribution ; les scénarios finis, l’exécution et les événements du cycle de vie exigent toujours une valorisation et un rapprochement complets.

Sujets connexes

Sources de référence

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