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Arbitragem butterfly: convexidade por strike, spreads ponderados e execução

Teste a convexidade de calls europeias com butterflies de strikes iguais e desiguais e diferencie violações ajustadas ou no midpoint de arbitragem estática executável após profundidade, custos, liquidação e limites da conta.

Atualizado

Somente para fins educacionais; não constitui recomendação nem aconselhamento de investimento. Investir pode causar perdas.

Resposta direta

Para calls europeias equivalentes sobre o mesmo subjacente e vencimento, preços sem arbitragem devem ser não crescentes e convexos no strike. Em strikes equidistantes K_1 = K − h, K_2 = K e K_3 = K + h, o butterfly de calls comprado +1:−2:+1 custa B = C(K_1) − 2C(K_2) + C(K_3) e tem payoff final não negativo; portanto B ≥ 0 no modelo sem fricções.

Valor ajustado ou midpoint negativo é somente diagnóstico. Arbitragem estática executável exige asks sincronizados nas duas pontas compradas, bids nas duas calls centrais vendidas, tamanho suficiente, contratos idênticos e recebimento inicial líquido ainda positivo após corretagem, taxas, financiamento, margem, tributos e liquidação. Exercício americano, entrega física, assignment parcial, execução por pernas e liquidação forçada podem criar obrigações intermediárias mesmo com payoff combinado não negativo no vencimento.

Teste de convexidade e execução em sete etapas

  1. Fixe um conjunto de direitos equivalentes. Registre subjacente, raiz, lado call, K_1 < K_2 < K_3, vencimento, estilo de exercício, liquidação, multiplicador, entregável, ajuste, moeda, venue, horário e definição oficial do valor final. Especificações diferentes não formam um teste único.
  2. Normalize a geometria dos strikes. Para espaçamento igual, exija K_2 − K_1 = K_3 − K_2 e razão +1:−2:+1. Para desigual, defina w = (K_3 − K_2) ÷ (K_3 − K_1) e teste C(K_2) ≤ wC(K_1) + (1 − w)C(K_3). Quantidades inteiras equivalentes são proporcionais a (K_3 − K_2):−(K_3 − K_1):(K_2 − K_1), reduzidas por divisor comum quando possível.
  3. Separe marcas de pesquisa de lados executáveis. Use quotes e condições sincronizadas. Butterfly comprado paga ask por cada ponta positiva e recebe bid por cada call central negativa. Últimos negócios, timestamps diferentes, valores teóricos e midpoints diagnosticam a superfície, mas não provam recebimento.
  4. Demonstre o payoff final por região. Avalie S_T ≤ K_1, K_1 < S_T ≤ K_2, K_2 < S_T < K_3 e S_T ≥ K_3 com razão exata e S_T oficial. Com espaçamento igual, o payoff é zero nas caudas e atinge h em K_2; a construção ponderada também tem caudas zero e interior não negativo.
  5. Converta a vantagem em caixa executável. Multiplique crédito líquido assinado pelo multiplicador real e pacotes completos e deduza custos de abertura e ciclo. Limite a quantidade à profundidade simultânea de todas as pernas e respeite razões, limites, margem, capital, aluguel e permissões.
  6. Estresse rupturas no ciclo. Teste rejeição da ordem complexa, fills parciais, execução por pernas, cancelamentos, halts, assignment americano antecipado ou parcial, exercício por exceção, instruções contrárias, ações e caixa do strike, liquidação oficial, ajustes e fechamento pelo broker. A identidade no vencimento não coordena as pernas operacionalmente.
  7. Reconcilie e preserve evidências. Guarde quotes, feed ou venue, horário, tamanhos, razão, limite, fills, taxas, assignment, liquidação, lotes fiscais e posições restantes. Reprecifique o pacote e diferencie violação ajustada, oportunidade cotada, ordem aceita e resultado realizado liquidado.

Exemplos resolvidos

  • Violação no midpoint versus pacote executável. Os strikes são K_1 = $90, K_2 = $100 e K_3 = $110. Midpoints $15.00, $10.00 e $4.00 dão B_mid = $15.00 − 2 × $10.00 + $4.00 = −$1.00, crédito teórico de $100 com multiplicador 100; payoff máximo $10 × 100 = $1,000 em S_T = $100. Mas asks das pontas $15.30 e $4.25 e bid central $9.75 dão B_exec = $15.30 − 2 × $9.75 + $4.25 = $0.05, débito de $5. A curva midpoint viola convexidade; os lados executáveis, não.
  • Strikes desiguais e razão inteira. Sejam K_1 = $90, K_2 = $100 e K_3 = $115. Então w = ($115 − $100) ÷ ($115 − $90) = 0.60, exigindo C($100) ≤ 0.60C($90) + 0.40C($115). Com C($90) = $16.00, C($100) = $11.20 e C($115) = $3.00, o lado direito é $10.80, violação normalizada de $0.40. A razão reduz de +15:−25:+10 para +3:−5:+2; custa 3 × $16.00 − 5 × $11.20 + 2 × $3.00 = −$2.00, crédito de $200 no multiplicador 100, e atinge $30 × 100 = $3,000 em S_T = $100.
  • Exemplo europeu liquidado em dinheiro e executável. Uma ordem complexa +1:−2:+1 em calls equivalentes é executada com crédito de $0.12 e multiplicador 100. O recebimento bruto é $0.12 × 100 = $12. Quatro fills a $1 per contract deixam $12 − $4 = $8. Para S_T = $103 e strikes 100/105/110, o payoff é ($103 − $100) × 100 = $300, e o total antes dos tributos $8 + $300 = $308; nas caudas retêm-se $8. Só é arbitragem sob as premissas indicadas.
  • A profundidade limita a escala. Uma quote complexa oferece crédito de $0.15, mas há tamanho para 4 pontas baixas, 12 calls centrais e 10 pontas altas. A razão +1:−2:+1 permite apenas min(4, 12 ÷ 2, 10) = 4 butterflies, não 10. O crédito bruto é 4 × $0.15 × 100 = $60. A $0.65 per contract em 4 × 4 = 16 contratos, as taxas são $10.40, restando $60 − $10.40 = $49.60. Os seis pacotes restantes não estão comprovados; vender o centro primeiro cria calls vendidas descobertas.

Riscos e controles de validação

  • Compatibilize subjacente, raiz, call, vencimento, exercício, liquidação, multiplicador, entregável, moeda e ajuste.
  • Verifique ordem e espaçamento exato dos strikes antes de escolher razões iguais ou ponderadas.
  • Reduza razões desiguais a contratos inteiros válidos sem alterar pesos do payoff.
  • Use asks sincronizados nas compras e bids nas vendas, não midpoint nem último negócio.
  • Registre fonte, venue, horário, sessão, condição, tamanho exibido e latência.
  • Verifique profundidade de pacotes completos; o corpo consome dois contratos.
  • Use ordem complexa com razão correta quando disponível; executar pernas cria delta, gamma, vega e gap.
  • Diferencie aceitação de execução integral; fills parciais podem deixar calls vendidas descobertas.
  • Inclua corretagem, exchange, clearing, routing, financiamento, liquidação e tributos.
  • Obtenha tratamento regulatório e house de margem; o capital pode exceder a vantagem.
  • Verifique limites de posição e exercício, permissões, concentração e política de liquidação.
  • Separe exercício americano ou europeu de liquidação física, financeira ou em futuros.
  • Modele assignment antecipado e parcial do corpo vendido; pontas compradas não atuam automaticamente.
  • Verifique exercício por exceção, instruções contrárias, cutoffs, pin risk e movimentos after-hours.
  • Defina S_T pelo contrato; fechamento, índice ao vivo, ETF e futuro podem divergir da liquidação oficial.
  • Recalcule após splits, fusões, distribuições ou outros ajustes do entregável.
  • Trate densidade ajustada negativa como diagnóstico até quotes executáveis confirmarem.
  • Imponha superfícies decrescentes, convexas e coerentes no calendário sem ocultar dados ou incerteza.
  • Estresse quotes obsoletas, mercados cruzados, halts, aberturas atrasadas, correções e saídas indisponíveis.
  • Reconcilie prêmios, ações, caixa do strike, liquidação, margem, colateral, taxas e lotes fiscais.

Equívocos comuns

  • “Butterfly midpoint negativo é dinheiro grátis.” Midpoints não são executáveis e lados naturais podem transformar crédito em débito.
  • “+1:−2:+1 funciona com quaisquer três strikes.” Exige espaçamento igual; strikes desiguais requerem pesos e talvez muitos contratos.
  • “Payoff final não negativo elimina todo risco.” Fills parciais, assignment, financiamento, margem, liquidação, broker e tributos permanecem.
  • “Densidade ajustada negativa prova que há operação.” Suavização, interpolação e quotes ruins podem gerar sinal sem pacote executável.
  • “Uma vantagem pequena pode ser escalada ao preço exibido.” A perna mais escassa e a razão limitam a quantidade; taxas e impacto consomem a vantagem.

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