การประเมินราคาออปชันแบบทวินาม: การจำลองแบบ ต้นทุนการถือครอง การใช้สิทธิก่อนกำหนด และการลู่เข้า

จัดทำขึ้นเพื่อการศึกษาเท่านั้น ไม่ใช่คำแนะนำการลงทุน การลงทุนอาจทำให้สูญเสียเงินลงทุนได้

คำตอบโดยตรง

แบบจำลองทวินามประเมินราคาออปชันบนตารางสถานะแบบไม่ต่อเนื่อง ไม่ได้พยากรณ์ว่าสินทรัพย์อ้างอิงจะเคลื่อนไหวได้เพียง 2 ทิศทางจริง ๆ ในแต่ละโหนด แบบจำลองใช้ตัวคูณขาขึ้น u หรือขาลง d ประเมินกระแสเงินสดตามสัญญา ณ ปลายงวด แล้วคำนวณย้อนกลับมาถึงปัจจุบัน ในตลาดที่สมบูรณ์และมีปัจจัยเสี่ยงเดียว สามารถตรวจสอบมูลค่าที่โหนดเดียวกันด้วยพอร์ตหุ้นและเงินสดที่จำลองผลตอบแทนได้

สำหรับช่วงเวลายาว Delta t ให้แยกปัจจัยการเติบโตของเงินทุน B = exp(r Delta t) ออกจากปัจจัยการเติบโตของต้นทุนการถือครองสินทรัพย์อ้างอิง G = exp((r - q) Delta t) เมื่อมีอัตราผลตอบแทนต่อเนื่อง q น้ำหนักการประเมินราคาที่ปราศจากอาร์บิทราจคือ

p = (G - d) / (u - d) ภายใต้เงื่อนไข d < G < u

มูลค่าการถือต่อของออปชันยุโรปคือ V = [p V_u + (1 - p) V_d] / B ที่โหนดซึ่งผู้ถือใช้สิทธิได้ มูลค่าออปชันอเมริกันหรือเบอร์มิวดาคือ V = max(H,C) โดย H คือมูลค่าการใช้สิทธิทันที และ C คือมูลค่าการถือต่อ แบบจำลองให้มูลค่าต่อ 1 หน่วยของสินทรัพย์อ้างอิง ส่วนตัวคูณ จำนวน การชำระราคาอย่างเป็นทางการ ราคาที่ดำเนินการได้ ค่าธรรมเนียม หลักประกัน และเครดิตเป็นคนละรายการ

กลไก

1. ล็อกสิทธิและกรอบเวลา บันทึกสินทรัพย์อ้างอิงและชุดสัญญาที่แน่นอน call หรือ put ราคาใช้สิทธิ เวลาประเมินราคา วันหมดอายุและการนับวัน วันที่และรูปแบบการใช้สิทธิ การชำระราคาอย่างเป็นทางการ ตัวคูณ สิ่งส่งมอบ สกุลเงิน เงินปันผล การยืมหุ้น การปรับสัญญา และหน่วยของผลลัพธ์
2. เลือกและบันทึกตารางสถานะ กำหนด N, Delta t = T / N และวิธีกำหนดพารามิเตอร์ วิธี CRR ที่ใช้ทั่วไปคือ u = exp(sigma sqrt(Delta t)) และ d = 1 / u ต้นไม้แบบอื่นอาจจับคู่โมเมนต์ต่างกันและลู่เข้าต่างกัน
3. แยกต้นทุนการถือครองออกจากการคิดลด สร้าง B = exp(r Delta t) จากอัตราดอกเบี้ยศูนย์ที่สอดคล้องกับแบบจำลอง และ G = exp((r - q) Delta t) จากต้นทุนการถือครองต่อเนื่อง แล้วคำนวณ p = (G - d) / (u - d) เงินปันผลสดที่ทราบต้องจัดการโหนดหลังขึ้นเครื่องหมาย XD อย่างชัดเจนและอาจทำให้ต้นไม้ไม่รวมเส้นทางกลับแบบง่าย
4. สร้างสถานะและสิทธิปลายงวด ในต้นไม้ที่รวมเส้นทางกลับและมีตัวคูณคงที่ S(i,j) = S0 u^j d^(i-j) ให้นำกฎตามสัญญาสำหรับ call, put, เงินสด, การส่งมอบจริงหรือที่ปรับแล้ว, barrier, ค่าเฉลี่ย หรือผลตอบแทนปลายงวดอื่น ไปใช้กับตัวแปรอย่างเป็นทางการ สัญญาที่ขึ้นกับเส้นทางต้องเพิ่มตัวแปรสถานะ
5. คำนวณย้อนกลับและทดสอบการใช้สิทธิ คิดลดมูลค่าที่เป็นกลางต่อความเสี่ยงของโหนดลูกแต่ละโหนด สำหรับสิทธิแบบยุโรปให้ใช้การถือต่อ สำหรับแบบอเมริกันให้เปรียบเทียบ H กับ C ทุกวันที่อนุญาต และสำหรับแบบเบอร์มิวดาให้เปรียบเทียบเฉพาะวันที่กำหนดในสัญญาโดยเคารพกำหนดแจ้งและการชำระราคา
6. ตรวจสอบการจำลองแบบและการคำนวณ ที่แต่ละโหนดแบบ 1 ขั้น ให้คำนวณ Delta = (V_u - V_d) / (S_u - S_d) และสถานะเงินสด b = (u V_d - d V_u) / [B(u - d)] ตรวจสอบผลตอบแทนตามสถานะ ขอบเขต พาริตี การเพิ่มจำนวนขั้นเป็น 2 เท่า การแกว่งเลขคู่-คี่ ต้นไม้แบบอื่น โค้ดอิสระ และเส้นแบ่งการใช้สิทธิ
7. เชื่อมผลแบบจำลองกับบัญชี ปรับเทียบเส้นอัตรา เงินปันผล การยืมหุ้น และพื้นผิวราคาใช้สิทธิ-วันหมดอายุ แปลงมูลค่าต่อหน่วยด้วยตัวคูณและจำนวนจริง เปรียบเทียบ bid และ ask ที่ดำเนินการได้ และทดสอบภาวะวิกฤตของการป้องกันความเสี่ยงแบบไม่ต่อเนื่อง gap ต้นทุน สภาพคล่อง หลักประกัน การถูกกำหนดให้ปฏิบัติตามสิทธิ การชำระราคา ภาษี และรุ่นของแบบจำลอง

ตัวอย่างที่คำนวณได้

• การจำลองแบบ 1 งวด กำหนด S0 = $100, u = 1.20, d = 0.80, B = G = 1.05 และ call แบบยุโรปที่มี K = $100 จะได้ p = (1.05 - 0.80) / (1.20 - 0.80) = 0.625 ผลตอบแทนคือ $20/$0 และ C0 = [0.625 x $20 + 0.375 x $0] / 1.05 = $11.904762 การจำลองแบบให้ Delta = ($20 - $0) / ($120 - $80) = 0.50 และ b = -$38.095238 พอร์ตจ่าย $60 - $40 = $20 ในสถานะขาขึ้น และ $40 - $40 = $0 ในสถานะขาลง ต้นทุนเริ่มต้นคือ $50 - $38.095238 = $11.904762
• put แบบอเมริกันและการใช้สิทธิก่อนกำหนด ใช้ต้นไม้ 2 ขั้นที่มี S0 = $100, K = $100, u = 1.20, d = 0.80, B = G = 1.05 ดังนั้น p = 0.625 ผลตอบแทนปลายงวดของ put ที่ $144/$96/$64 คือ $0/$4/$36 ที่โหนดขาขึ้นแรก มูลค่าการถือต่อ [0.625 x $0 + 0.375 x $4] / 1.05 = $1.428571 สูงกว่ามูลค่าในตัว $0 ที่โหนดขาลง มูลค่าการถือต่อ [0.625 x $4 + 0.375 x $36] / 1.05 = $15.238095 ต่ำกว่าการใช้สิทธิทันที $20 จึงใช้สิทธิ มูลค่าแบบอเมริกันคือ $7.993197 แบบยุโรปคือ $6.292517 และส่วนเพิ่มจากสิทธิใช้ก่อนกำหนดแบบไม่ต่อเนื่องคือ $1.700680
• ต้นทุนการถือครองและการลู่เข้าแบบไม่เป็นลำดับ กำหนด S0 = $100, K = $100, T = 1, r = 5% ทบต้นต่อเนื่อง, อัตราผลตอบแทนต่อเนื่อง q = 2% และ sigma = 20% ต่อปี ด้วย CRR call แบบยุโรปมีค่า $11.073541 เมื่อใช้ 1 ขั้น, $8.342293 เมื่อใช้ 2 ขั้น, $9.855621 เมื่อใช้ 3 ขั้น, $8.760327 เมื่อใช้ 4 ขั้น และเมื่อใช้ 64 ขั้นมีค่า $9.196691 ซึ่งเข้าใกล้ค่า Black-Scholes-Merton ที่สอดคล้องกัน $9.227006 การเพิ่มขั้นช่วยให้เข้าใกล้ขีดจำกัดของแบบจำลอง แต่ไม่จำเป็นต้องเคลื่อนไหวเป็นลำดับและไม่แก้กระแสเงินสดที่ผิด
• มูลค่าแบบจำลองเทียบกับจำนวนเงินที่ดำเนินการได้ ใช้มูลค่าต่อหุ้น $11.904762 อีกครั้ง แต่สมมติตลาดที่ดำเนินการได้ $11.60 bid / $12.20 ask การซื้อสัญญามาตรฐาน 1 สัญญาที่มี M = 100 และ Q = 1 ใช้เงิน $12.20 x 100 = $1,220 เทียบกับมูลค่าแบบจำลอง $11.904762 x 100 = $1,190.4762 ต่างกัน $29.5238 ก่อนค่าธรรมเนียม การขายทันทีที่ bid ได้คืน $11.60 x 100 = $1,160 ขาดทุนไปกลับ $60 ค่า Delta = 0.50 เทียบเท่า 50 หุ้นสำหรับตัวคูณนี้ แต่การปรับสถานะแบบไม่ต่อเนื่อง gap การยืมหุ้น และการดำเนินการทำให้ไม่อาจรับประกันการจำลองแบบ

การควบคุมแบบจำลองและวงจรชีวิต

• จับคู่สินทรัพย์อ้างอิง root, call หรือ put ราคาใช้สิทธิ วันหมดอายุ รูปแบบการใช้สิทธิ การชำระราคา ตัวคูณ สกุลเงิน และสิ่งส่งมอบให้ตรงกัน
• ล็อกเวลาประเมินราคา ปฏิทิน เขตเวลา เศษส่วนปี จำนวนขั้น วันที่โหนด และการจัดการวันทำการ
• ระบุวิธีกำหนดพารามิเตอร์และตรวจว่าโมเมนต์ ต้นทุนการถือครอง skew หรือเป้าหมายอื่นตรงกับแบบจำลองที่ตั้งใจ
• แยก B สำหรับการคิดลดออกจาก G สำหรับต้นทุนการถือครอง เมื่อเงินปันผล อัตราต่างประเทศ convenience yield หรือการยืมหุ้นมีนัยสำคัญ
• กำหนดให้ d < G < u หาก p อยู่นอก [0,1] แสดงว่าโครงสร้างปราศจากอาร์บิทราจล้มเหลว ไม่ใช่ความน่าจะเป็นพยากรณ์
• แยกอัตราผลตอบแทนต่อเนื่อง q ออกจากการจ่ายที่ทราบและไม่ต่อเนื่อง แบบพิเศษ ไม่แน่นอน หรือขึ้นกับเส้นทาง
• ตรวจผลตอบแทนปลายงวดกับการชำระราคาอย่างเป็นทางการ การส่งมอบเงินสดหรือจริง สัญญาที่ปรับแล้ว และการดำเนินการของบริษัท
• เพิ่มสถานะให้เพียงพอสำหรับ barrier ค่าเฉลี่ย lookback หลายสินทรัพย์ ความผันผวนหรืออัตราดอกเบี้ยแบบสุ่ม เครดิต และการขึ้นกับเส้นทางอื่น
• ใช้การใช้สิทธิก่อนกำหนดเฉพาะกับผู้ถือสิทธิตามสัญญาและในวันที่ถูกต้องก่อนกำหนดแจ้ง
• แยกโอกาสใช้สิทธิแบบอเมริกัน เบอร์มิวดา และยุโรปออกจากการชำระด้วยเงินสด การส่งมอบจริง หรือฟิวเจอร์ส
• บันทึกทุกโหนดที่ H สูงกว่า C และทดสอบความไวของเส้นแบ่งต่อเงินปันผล อัตราดอกเบี้ย การยืมหุ้น และพารามิเตอร์เชิงตัวเลข
• ตรวจการจำลองแบบที่โหนดและผลตอบแทนตามสถานะเมื่อสมมติฐานทำให้ตลาดสมบูรณ์ อย่าสมมติว่าการป้องกันความเสี่ยงต่อเนื่องไม่มีต้นทุนในทางปฏิบัติ
• ตรวจขอบเขตปราศจากอาร์บิทราจ พาริตี ความเป็นลำดับ ความนูน และกรณีขีดจำกัดก่อนเชื่อราคาหนึ่ง
• เปรียบเทียบจำนวนขั้นหลายค่า ลำดับคู่และคี่ การเพิ่มเป็น 2 เท่า วิธีกำหนดพารามิเตอร์อื่น และการนำไปใช้แบบอิสระ
• อย่าถือการแกว่ง ทศนิยมคงที่ หรือการตรงกันของเส้นทางโค้ดที่เกี่ยวข้องว่าเป็นหลักฐานความแม่นยำ
• ปรับเทียบพื้นผิวและเส้นโค้งที่เกี่ยวข้องทั้งหมด ความผันผวนย้อนหลังหรือราคา ATM ค่าเดียวไม่ใช้ได้ทั่วไป
• แยกมูลค่าแบบจำลอง midpoint เชิงทฤษฎี ราคาประเมินของตลาด การชำระราคาอย่างเป็นทางการ bid ที่ดำเนินการได้ ask ที่ดำเนินการได้ และราคาชำระบัญชี
• แปลงผลต่อหน่วยด้วยตัวคูณและจำนวนจริง สัญญาที่ปรับแล้วหรือไม่มาตรฐานอาจไม่ได้ใช้ 100
• ทดสอบ bid-ask การดำเนินการบางส่วน จังหวะ hedge แบบไม่ต่อเนื่อง การกระโดด การหยุดซื้อขาย สภาพคล่อง เงินทุน การยืมหุ้น หลักประกัน การถูกกำหนดให้ปฏิบัติตามสิทธิ และการชำระบัญชีของโบรกเกอร์
• เก็บข้อมูลนำเข้า แหล่งข้อมูล รุ่นเงินปันผลและการดำเนินการของบริษัท โค้ดและ solver หลักฐานการลู่เข้า การอนุมัติ ค่าใช้จ่าย ภาษี และการกระทบยอดสุดท้าย

ความเข้าใจผิดที่พบบ่อย

• “ความน่าจะเป็นที่เป็นกลางต่อความเสี่ยงพยากรณ์การเคลื่อนไหวถัดไป” p เป็นน้ำหนักการประเมินราคาที่สอดคล้องกับสินทรัพย์ซื้อขายได้และการไม่มีอาร์บิทราจ ไม่ใช่การพยากรณ์จริง
• “ปัจจัยปลอดความเสี่ยงอยู่ในทั้ง 2 สูตรเสมอ” การคิดลดใช้ B แต่น้ำหนักของสินทรัพย์อ้างอิงใช้ปัจจัยต้นทุนการถือครอง G ทั้งคู่เท่ากันเฉพาะกรณีง่ายที่ไม่มีอัตราผลตอบแทน
• “จำนวนขั้นมากขึ้นรับประกันราคาที่ถูกต้อง” การเพิ่มความละเอียดแก้เพียงการแบ่งเวลาในแบบจำลอง ผลอาจแกว่งและไม่แก้เงินปันผล ความผันผวน การชำระราคา หรือการใช้สิทธิที่ผิด
• “มูลค่าอเมริกันเท่ากับมูลค่ายุโรปบวกส่วนเพิ่มคงที่” มูลค่าการใช้สิทธิก่อนกำหนดขึ้นกับสถานะ วันที่ อัตราดอกเบี้ย เงินปันผล การยืมหุ้น และแบบจำลอง และอาจเป็นศูนย์
• “การจำลองแบบทำให้ราคาบนหน้าจอปราศจากความเสี่ยง” ข้อพิสูจน์สมมติตลาดสมบูรณ์และไม่มีแรงเสียดทาน แต่ส่วนต่างราคาที่ดำเนินการได้ hedge แบบไม่ต่อเนื่อง gap เงินทุน หลักประกัน ภาษี และการชำระราคายังคงอยู่

หัวข้อที่เกี่ยวข้อง

• ออปชันอเมริกันและยุโรป
• แบบจำลอง Black-Scholes
• ความผันผวนโดยนัย

แหล่งข้อมูลที่เชื่อถือได้

• Option Pricing: A Simplified Approach - Elsevier; รองรับการจำลองแบบ CRR แบบไม่ต่อเนื่องและการประเมินราคาแบบเป็นกลางต่อความเสี่ยงภายใต้สมมติฐานของงาน ไม่ใช่ข้อมูลปัจจุบันหรือราคาที่ดำเนินการได้
• Two-State Option Pricing - Wiley; พัฒนาการประเมินราคาแบบ 2 สถานะ แต่ไม่ได้กล่าวว่าราคาจริงมีเพียง 2 ผลลัพธ์หรือตลาดไม่สมบูรณ์ทุกแห่งมีราคาเดียว
• Binomial Models for Option Valuation - Examining and Improving Convergence - Taylor & Francis; รองรับการแกว่ง การกำหนดพารามิเตอร์ และการลู่เข้าในแบบจำลองที่ศึกษา ไม่ใช่ขอบเขตความคลาดเคลื่อนสากล
• Pricing the American Put Option: A Detailed Convergence Analysis for Binomial Models - Elsevier; รองรับการลู่เข้าของ put แบบอเมริกันและข้อจำกัดการเร่งในต้นไม้ที่วิเคราะห์ ไม่ใช่ทุกผลิตภัณฑ์หรือทุกราคา
• American Option Valuation: New Bounds, Approximations, and a Comparison of Existing Methods - Oxford University Press; รองรับขอบเขตและการเปรียบเทียบภายใต้สมมติฐานเฉพาะ ไม่ใช่นโยบายใช้สิทธิของโบรกเกอร์หรือความแม่นยำที่รับประกัน
• Characteristics and Risks of Standardized Options - The Options Clearing Corporation; ครอบคลุมสิทธิ การใช้สิทธิ การถูกกำหนดให้ปฏิบัติตามสิทธิ การชำระราคา การปรับสัญญา และความเสี่ยง ไม่ใช่การปรับเทียบแบบทวินามหรือคำแนะนำ
• Industry Services - The Options Clearing Corporation; บันทึก CRR รูปแบบเฉพาะขององค์กรสำหรับบริการเดลตาบางประเภท ไม่ใช่การนำไปใช้ในบทความนี้หรือราคาสากล
• Options Calculator - Cboe Global Markets; ให้เครื่องมือการศึกษาปัจจุบันสำหรับราคาทฤษฎีและค่าความไว ไม่ใช่ราคาเสนอที่ดำเนินการได้ การตรวจสอบอิสระ หรือการรับประกันสมมติฐานตามสัญญา