Биномиальная оценка опционов: репликация, кэрри, досрочное исполнение и сходимость

Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.

Краткий ответ

Биномиальная модель оценивает опцион на решетке дискретных состояний; она не прогнозирует, что базовый актив буквально совершит только два движения. В каждом узле применяется повышающий множитель u или понижающий d, оцениваются конечные договорные денежные потоки, а затем расчет ведется назад к текущей дате. В полном рынке с одним фактором риска ту же стоимость узла можно проверить локальным реплицирующим портфелем из актива и денежных средств.

Для шага длиной Delta t отделите множитель роста финансирования B = exp(r Delta t) от множителя роста кэрри базового актива G = exp((r - q) Delta t). При непрерывной пропорциональной доходности q безарбитражный вес оценки равен

p = (G - d) / (u - d) при условии d < G < u.

Европейская стоимость продолжения равна V = [p V_u + (1 - p) V_d] / B. В узле, где держатель вправе исполнить опцион, американская или бермудская стоимость равна V = max(H,C), где H — стоимость немедленного исполнения, а C — стоимость продолжения. Модель дает стоимость на единицу базового актива; множитель, количество, официальная расчетная величина, исполнимые цены, комиссии, маржа и кредитный риск учитываются отдельно.

Методика

1. Зафиксируйте право и календарь. Запишите точный актив и серию, call или put, страйк, время оценки, срок и базу дней, даты и стиль исполнения, официальный расчет, множитель, поставляемый актив, валюту, дивиденды, заем, корректировки и единицы результата.
2. Выберите и задокументируйте решетку. Задайте N, Delta t = T / N и параметризацию. В распространенном CRR u = exp(sigma sqrt(Delta t)) и d = 1 / u; иные деревья могут согласовывать другие моменты и сходиться иначе.
3. Разделите кэрри и дисконтирование. Постройте B = exp(r Delta t) по согласованной с моделью нулевой ставке и G = exp((r - q) Delta t) по непрерывному кэрри, затем вычислите p = (G - d) / (u - d). Известный денежный дивиденд требует явной обработки экс-дивидендного узла и может нарушить простую рекомбинацию.
4. Постройте состояния и конечные права. В рекомбинирующем дереве с постоянными множителями S(i,j) = S0 u^j d^(i-j). Примените к официальной переменной договорное правило для call, put, денежных средств, физической или скорректированной поставки, барьера, среднего либо иной конечной выплаты; зависимость от пути требует дополнительного состояния.
5. Проведите обратную индукцию и тест исполнения. Дисконтируйте риск-нейтральную стоимость дочерних узлов. Для европейских прав используйте продолжение; для американских сравнивайте H и C на каждой допустимой дате; для бермудских — только в договорные даты с учетом уведомления и расчета.
6. Проверьте репликацию и вычисления. В каждом одношаговом узле рассчитайте Delta = (V_u - V_d) / (S_u - S_d) и денежную позицию b = (u V_d - d V_u) / [B(u - d)]. Проверьте выплаты по состояниям, границы, паритет, удвоение шагов, четно-нечетные колебания, другие деревья, независимый код и границу исполнения.
7. Перенесите результат модели на счет. Откалибруйте кривые, дивиденды, заем и поверхность страйк-срок; пересчитайте единичную стоимость по фактическим множителю и количеству; сравните исполнимые bid и ask; стрессируйте дискретное хеджирование, гэпы, затраты, ликвидность, маржу, назначение, расчет, налоги и версию модели.

Расчетные примеры

• Однопериодная репликация. Пусть S0 = $100, u = 1.20, d = 0.80, B = G = 1.05, а европейский call имеет K = $100. Тогда p = (1.05 - 0.80) / (1.20 - 0.80) = 0.625; выплаты равны $20/$0; и C0 = [0.625 x $20 + 0.375 x $0] / 1.05 = $11.904762. Репликация дает Delta = ($20 - $0) / ($120 - $80) = 0.50 и b = -$38.095238. Портфель платит $60 - $40 = $20 в верхнем состоянии и $40 - $40 = $0 в нижнем; начальная стоимость равна $50 - $38.095238 = $11.904762.
• Американский put и досрочное исполнение. Используйте двухшаговое дерево с S0 = $100, K = $100, u = 1.20, d = 0.80, B = G = 1.05; следовательно, p = 0.625. Конечные выплаты put при $144/$96/$64 равны $0/$4/$36. В первом верхнем узле продолжение [0.625 x $0 + 0.375 x $4] / 1.05 = $1.428571 выше внутренней стоимости $0. В нижнем узле [0.625 x $4 + 0.375 x $36] / 1.05 = $15.238095 ниже немедленного исполнения $20, поэтому происходит исполнение. Американская стоимость равна $7.993197, европейская $6.292517, дискретная премия досрочного исполнения $1.700680.
• Кэрри и немонотонная сходимость. Пусть S0 = $100, K = $100, T = 1, r = 5% с непрерывным начислением, непрерывная доходность q = 2%, а sigma = 20% годовых. В CRR европейский call стоит $11.073541 при одном шаге, $8.342293 при двух, $9.855621 при трех, $8.760327 при четырех и при 64 шагах $9.196691, приближаясь к согласованной стоимости Black-Scholes-Merton $9.227006. Больше шагов улучшает предел модели, но движение не обязано быть монотонным и не исправляет неверные потоки.
• Модельная стоимость и исполнимые суммы. Снова возьмите стоимость на акцию $11.904762, но предположите исполнимый рынок $11.60 bid / $12.20 ask. Покупка стандартного контракта с M = 100 и Q = 1 стоит $12.20 x 100 = $1,220, тогда как модельная сумма $11.904762 x 100 = $1,190.4762; разница до комиссий $29.5238. Немедленная продажа по bid возвращает $11.60 x 100 = $1,160, создавая круговой убыток $60. Delta = 0.50 соответствует 50 акциям при таком множителе, но дискретная ребалансировка, гэпы, заем и исполнение не позволяют гарантировать репликацию.

Контроль модели и жизненного цикла

• Сверьте точные базовый актив, корень, call или put, страйк, срок, стиль исполнения, расчет, множитель, валюту и поставку.
• Зафиксируйте время оценки, календарь, часовой пояс, долю года, шаги, даты узлов и правила рабочих дней.
• Раскройте параметризацию и соответствие ее моментов, кэрри, skew и иных целей выбранной модели.
• Разделяйте B для дисконтирования и G для кэрри, когда важны дивиденды, иностранные ставки, convenience yield или заем.
• Требуйте d < G < u; если p вне [0,1], нарушена безарбитражная схема, а не найдена прогнозная вероятность.
• Отделяйте непрерывную доходность q от известных дискретных, специальных, неопределенных или зависящих от пути выплат.
• Сверяйте конечную выплату с официальным расчетом, денежной или физической поставкой, скорректированными контрактами и корпоративными действиями.
• Добавляйте состояние для барьеров, средних, lookback, нескольких активов, стохастических волатильности или ставок, кредита и иной зависимости от пути.
• Применяйте досрочное исполнение только к держателю договорного права и в допустимые даты до сроков уведомления.
• Отделяйте американские, бермудские и европейские возможности исполнения от денежного, физического или фьючерсного расчета.
• Записывайте каждый узел, где H выше C, и тестируйте чувствительность границы к дивидендам, ставкам, займу и численным параметрам.
• Проверяйте узловую репликацию и выплаты, если предпосылки означают полноту; не считайте непрерывное хеджирование бесплатным на практике.
• Проверяйте безарбитражные границы, паритет, монотонность, выпуклость и предельные случаи до использования цены.
• Сравнивайте разные числа шагов, четные и нечетные последовательности, удвоение, другие параметризации и независимую реализацию.
• Не принимайте колебания, стабильные десятичные знаки или совпадение связанных путей кода за доказательство точности.
• Калибруйте всю релевантную поверхность и кривые; историческая волатильность или ATM-котировка не универсальны.
• Разделяйте модельную стоимость, теоретический midpoint, биржевую отметку, официальный расчет, исполнимые bid и ask и цену ликвидации.
• Пересчитывайте единичный результат по фактическим множителю и количеству; скорректированные и нестандартные контракты могут не использовать 100.
• Стрессируйте bid-ask, частичные исполнения, время дискретного хеджа, скачки, остановки, ликвидность, финансирование, заем, маржу, назначение и ликвидацию брокером.
• Храните входные данные, источник, версии дивидендов и корпоративных действий, код и решатель, доказательства сходимости, одобрения, расходы, налоги и итоговую сверку.

Распространенные заблуждения

• «Риск-нейтральная вероятность прогнозирует следующее движение». p — вес оценки, согласованный с торгуемыми активами и отсутствием арбитража, а не физический прогноз.
• «Безрисковый множитель всегда входит в обе формулы». Дисконтирование использует B, а вес базового актива — множитель кэрри G; они совпадают лишь в упрощенном случае без доходности.
• «Больше шагов гарантирует правильную цену». Уточнение исправляет только дискретизацию модели; оно может колебаться и не исправляет неверные дивиденды, волатильность, расчет или исполнение.
• «Американская стоимость равна европейской плюс фиксированная премия». Стоимость досрочного исполнения зависит от состояния, даты, ставок, дивидендов, займа и модели и может быть нулевой.
• «Репликация делает экранную цену безрисковой». Доказательство предполагает полноту и отсутствие трений; исполнимые спреды, дискретные хеджи, гэпы, финансирование, маржа, налоги и расчет остаются.

Связанные темы

• Американские и европейские опционы
• Модель Блэка — Шоулза
• Подразумеваемая волатильность

Авторитетные источники

• Option Pricing: A Simplified Approach - Elsevier; обосновывает дискретную репликацию CRR и риск-нейтральную оценку в рамках предпосылок, но не текущие данные или исполнимую цену.
• Two-State Option Pricing - Wiley; развивает двухсостоянийную оценку, но не утверждает, что реальные цены имеют лишь два исхода или любой неполный рынок имеет единственную цену.
• Binomial Models for Option Valuation - Examining and Improving Convergence - Taylor & Francis; подтверждает колебания, параметризацию и сходимость исследованных моделей, но не универсальные границы ошибки.
• Pricing the American Put Option: A Detailed Convergence Analysis for Binomial Models - Elsevier; подтверждает сходимость американского put и пределы ускорения исследованных деревьев, но не всех продуктов или цен.
• American Option Valuation: New Bounds, Approximations, and a Comparison of Existing Methods - Oxford University Press; подтверждает границы и сравнения при заданных предпосылках, но не брокерские правила исполнения или гарантированную точность.
• Characteristics and Risks of Standardized Options - The Options Clearing Corporation; рассматривает права, исполнение, назначение, расчет, корректировки и риски, но не биномиальную калибровку или рекомендации.
• Industry Services - The Options Clearing Corporation; описывает собственный вариант CRR для отдельных сервисов дельты, но не реализацию этой статьи или универсальную цену.
• Options Calculator - Cboe Global Markets; предоставляет актуальные учебные инструменты теоретической цены и греков, но не исполнимую котировку, независимую проверку или гарантию договорных предпосылок.