二項オプション評価：複製、リスク中立評価、早期行使

教育目的のみであり、投資助言ではありません

直接的な答え

二項オプション評価モデルは時間を複数ステップに分け、各ステップで原資産が上または下の値に動くと仮定します。最終ノードのペイオフを計算し、現在まで後ろ向きに評価します。複製と早期行使の判断を明示できる点が特徴です。

価格が実際に二方向だけ動くという予測ではありません。ステップ増加は近似を細かくしますが、誤ったボラティリティ、配当、金利、行使・決済条件は直せません。

上昇・下落倍率を u、d、一期間の無リスク成長係数を R とします。d < R < u なら：

p = (R − d) / (u − d)

欧州型のノード価値 V_u、V_d から現在価値は：

V_0 = [pV_u + (1 − p)V_d] / R

p は価格評価の重みで、実際または予測上昇確率ではありません。R が (d, u) の外なら単純モデルの無裁定条件を満たしません。

各アメリカン型ノードでは：

V = max(本源的価値, 継続価値の割引期待値)

離散配当、変動金利、ボラティリティ期間構造、複数行使日はツリーを調整して扱えます。経路依存契約は追加状態を必要とし、規模が急増します。

株価 $100 が一期後に $120 または $80、権利行使価格 $100、無リスク成長係数 1.05 とします。満期ペイオフは $20 または $0 です。

p = (1.05 − 0.80) / (1.20 − 0.80) = 0.625

C_0 = [0.625 × $20 + 0.375 × $0] / 1.05 ≈ $11.90

複製でも同じです。ヘッジ比率は (20 − 0) / (120 − 80) = 0.5 株。現在約 $38.10 を借りると一期後は $40 となり、ポートフォリオは上昇時 $20、下落時 $0 を支払います。初期費用は $50 − $38.10 = $11.90 です。

配当、取引費用、スプレッド、税、離散ヘッジは除外しているため、モデル値は約定保証価格ではありません。