Valoración binomial de opciones: réplica, carry, ejercicio anticipado y convergencia

Solo con fines educativos; no constituye asesoramiento de inversión. Invertir puede ocasionar pérdidas.

Respuesta directa

Un modelo binomial valora una opción en una retícula de estados discretos; no pronostica que el subyacente vaya a realizar literalmente solo dos movimientos. En cada nodo aplica un factor alcista u o bajista d, valora los flujos contractuales terminales y retrocede hasta hoy. Bajo un mercado completo con un único factor de riesgo, el mismo valor nodal puede verificarse mediante una cartera local de acciones y efectivo que lo replica.

Para un paso de longitud Delta t, separe el factor de crecimiento de financiación B = exp(r Delta t) del factor de crecimiento por carry del subyacente G = exp((r - q) Delta t). Con un rendimiento proporcional continuo q, el peso de valoración sin arbitraje es

p = (G - d) / (u - d), sujeto a d < G < u.

La continuación europea es V = [p V_u + (1 - p) V_d] / B. En un nodo donde el tenedor puede ejercer, el valor americano o bermudeño es V = max(H,C), con H como valor de ejercicio inmediato y C como valor de continuación. El marco produce un valor de modelo por unidad del subyacente; multiplicador, cantidad, liquidación oficial, precios ejecutables, comisiones, margen y crédito siguen siendo elementos separados.

Mecanismo

1. Fije el derecho y el reloj. Registre subyacente y serie exactos, call o put, strike, hora de valoración, vencimiento y cómputo de días, fechas y estilo de ejercicio, liquidación oficial, multiplicador, entregable, moneda, dividendos, préstamo, ajustes y unidades de salida.
2. Elija y documente la retícula. Defina N, Delta t = T / N y una parametrización. La elección CRR habitual es u = exp(sigma sqrt(Delta t)) y d = 1 / u; otros árboles pueden igualar momentos distintos y converger de otra forma.
3. Separe carry y descuento. Construya B = exp(r Delta t) con la tasa cero coherente con el modelo y G = exp((r - q) Delta t) con el carry continuo; después calcule p = (G - d) / (u - d). Un dividendo en efectivo conocido exige tratar explícitamente el nodo ex dividendo y puede romper la recombinación simple.
4. Construya estados y derechos terminales. En un árbol recombinante de factores constantes, S(i,j) = S0 u^j d^(i-j). Aplique la regla contractual de call, put, efectivo, entrega física o ajustada, barrera, promedio u otra regla terminal a la variable oficial; la dependencia de trayectoria exige estado adicional.
5. Retroceda y pruebe el ejercicio. Descuente el valor neutral al riesgo de los hijos en cada nodo. Para derechos europeos use continuación; para americanos compare H y C en cada fecha permitida; para bermudeños compare solo en las fechas contractuales y respete aviso y liquidación.
6. Valide réplica y cálculo. En cada nodo de un paso, calcule Delta = (V_u - V_d) / (S_u - S_d) y la posición de efectivo b = (u V_d - d V_u) / [B(u - d)]. Revise pagos por estado, límites, paridad, duplicación de pasos, oscilación par-impar, otros árboles, código independiente y frontera de ejercicio.
7. Lleve la salida del modelo a la cuenta. Calibre curvas, dividendos, préstamo y la superficie strike-vencimiento; convierta el valor unitario mediante multiplicador y cantidad reales; compare bid y ask ejecutables; someta a estrés cobertura discreta, gaps, costes, liquidez, margen, asignación, liquidación, impuestos y versión del modelo.

Ejemplos resueltos

• Réplica de un período. Sea S0 = $100, u = 1.20, d = 0.80, B = G = 1.05, y una call europea con K = $100. Entonces p = (1.05 - 0.80) / (1.20 - 0.80) = 0.625; los pagos son $20/$0; y C0 = [0.625 x $20 + 0.375 x $0] / 1.05 = $11.904762. La réplica da Delta = ($20 - $0) / ($120 - $80) = 0.50 y b = -$38.095238. La cartera paga $60 - $40 = $20 al alza y $40 - $40 = $0 a la baja; su coste inicial es $50 - $38.095238 = $11.904762.
• Put americana y ejercicio anticipado. Use un árbol de dos pasos con S0 = $100, K = $100, u = 1.20, d = 0.80, B = G = 1.05; por tanto p = 0.625. Los pagos terminales del put para $144/$96/$64 son $0/$4/$36. En el primer nodo alcista, continuación es [0.625 x $0 + 0.375 x $4] / 1.05 = $1.428571, superior al intrínseco $0. En el nodo bajista es [0.625 x $4 + 0.375 x $36] / 1.05 = $15.238095, inferior al ejercicio inmediato $20, por lo que se ejerce. El valor americano es $7.993197, el europeo $6.292517 y la prima discreta por ejercicio anticipado $1.700680.
• Carry y convergencia no monótona. Sea S0 = $100, K = $100, T = 1, r = 5% con capitalización continua, rendimiento continuo q = 2% y sigma = 20% anualizada. Con CRR, la call europea vale $11.073541 con un paso, $8.342293 con dos, $9.855621 con tres, $8.760327 con cuatro y, con 64 pasos, $9.196691, acercándose al valor Black-Scholes-Merton coherente de $9.227006. Más pasos mejoran el límite del modelo, pero no tienen que moverse monótonamente ni corrigen flujos erróneos.
• Valor de modelo frente a dólares ejecutables. Reutilice el valor por acción $11.904762, pero suponga mercado ejecutable $11.60 bid / $12.20 ask. Comprar un contrato estándar con M = 100 y Q = 1 cuesta $12.20 x 100 = $1,220, frente al importe de modelo $11.904762 x 100 = $1,190.4762, diferencia de $29.5238 antes de comisiones. Vender inmediatamente al bid devuelve $11.60 x 100 = $1,160, pérdida de ida y vuelta de $60. El Delta = 0.50 equivale a 50 acciones con ese multiplicador, pero reajustes discretos, gaps, préstamo y ejecución impiden garantizar la réplica.

Lista de control del modelo y ciclo de vida

• Case subyacente, raíz, call o put, strike, vencimiento, estilo de ejercicio, liquidación, multiplicador, moneda y entregable exactos.
• Fije hora de valoración, calendario, zona horaria, fracción anual, pasos, fechas nodales y tratamiento de días hábiles.
• Declare la parametrización y si sus momentos, carry, sesgo u otros objetivos coinciden con el modelo previsto.
• Mantenga B para descuento separado de G para carry cuando importen dividendos, tasas extranjeras, rendimiento de conveniencia o préstamo.
• Exija d < G < u; si p queda fuera de [0,1], falla el esquema sin arbitraje: no es una probabilidad pronosticada.
• Separe el rendimiento continuo q de distribuciones conocidas discretas, especiales, inciertas o dependientes de trayectoria.
• Verifique el pago terminal con liquidación oficial, entrega monetaria o física, contratos ajustados y acciones corporativas.
• Añada estado suficiente para barreras, promedios, lookbacks, múltiples activos, volatilidad o tasas estocásticas, crédito y demás dependencia de trayectoria.
• Aplique ejercicio anticipado solo al titular del derecho contractual y en fechas válidas antes de los plazos de aviso.
• Distinga conjuntos de oportunidades americano, bermudeño y europeo de liquidación monetaria, física o por futuros.
• Registre cada nodo donde H supera C y pruebe la sensibilidad de la frontera a dividendos, tasas, préstamo y parámetros numéricos.
• Verifique réplica nodal y pagos cuando los supuestos impliquen completitud; no suponga cobertura continua sin coste en la práctica.
• Revise límites sin arbitraje, paridad, monotonicidad, convexidad y casos límite antes de confiar en un precio.
• Compare varios números de pasos, secuencias pares e impares, duplicación, otras parametrizaciones y una implementación independiente.
• No trate oscilación, decimales estables o coincidencia entre rutas de código relacionadas como prueba de exactitud.
• Calibre toda la superficie y curvas relevantes; una volatilidad histórica o cotización ATM no es universal.
• Separe valor de modelo, midpoint teórico, marca bursátil, liquidación oficial, bid ejecutable, ask ejecutable y precio de liquidación.
• Convierta salidas unitarias con multiplicador y cantidad reales; los contratos ajustados o no estándar pueden no usar 100.
• Estrese bid-ask, ejecuciones parciales, momento de cobertura discreta, saltos, suspensiones, liquidez, financiación, préstamo, margen, asignación y liquidación del bróker.
• Conserve entradas, fuente de datos, versión de dividendos y acciones corporativas, código y solver, pruebas de convergencia, aprobaciones, gastos, impuestos y conciliación final.

Errores comunes

• “La probabilidad neutral al riesgo pronostica el siguiente movimiento.” p es un peso de valoración coherente con activos negociables y supuestos sin arbitraje, no un pronóstico físico.
• “El factor libre de riesgo siempre entra en ambas fórmulas.” El descuento usa B y el peso del subyacente usa el factor de carry G; coinciden solo en el caso simplificado sin rendimiento.
• “Más pasos garantizan un precio correcto.” El refinamiento solo aborda la discretización de un modelo; puede oscilar y no corrige dividendos, volatilidad, liquidación o ejercicio erróneos.
• “El valor americano es el europeo más una prima fija.” El valor de ejercicio anticipado depende de estado, fecha, tasas, dividendos, préstamo y modelo, y puede ser cero.
• “La réplica vuelve libre de riesgo el precio de pantalla.” La prueba supone completitud y ausencia de fricciones; persisten spreads ejecutables, coberturas discretas, gaps, financiación, margen, impuestos y liquidación.

Temas relacionados

• Opciones americanas y europeas
• Modelo Black-Scholes
• Volatilidad implícita

Fuentes autorizadas

• Option Pricing: A Simplified Approach - Elsevier; establece la réplica discreta CRR y el marco neutral al riesgo bajo sus supuestos, no entradas actuales ni precio ejecutable.
• Two-State Option Pricing - Wiley; desarrolla la valoración de dos estados, no afirma que los precios reales tengan solo dos resultados ni que todo mercado incompleto tenga precio único.
• Binomial Models for Option Valuation - Examining and Improving Convergence - Taylor & Francis; respalda oscilación, parametrización y convergencia en los modelos estudiados, no límites de error universales.
• Pricing the American Put Option: A Detailed Convergence Analysis for Binomial Models - Elsevier; respalda convergencia del put americano y límites de aceleración en los árboles analizados, no todos los productos o precios.
• American Option Valuation: New Bounds, Approximations, and a Comparison of Existing Methods - Oxford University Press; respalda cotas y comparaciones bajo supuestos concretos, no política de ejercicio del bróker ni exactitud garantizada.
• Characteristics and Risks of Standardized Options - The Options Clearing Corporation; cubre derechos, ejercicio, asignación, liquidación, ajustes y riesgos, no calibración binomial ni recomendación.
• Industry Services - The Options Clearing Corporation; documenta una variante CRR propia para determinados servicios de delta, no la implementación de este artículo ni un precio universal.
• Options Calculator - Cboe Global Markets; ofrece herramientas educativas actuales de precio teórico y griegas, no cotización ejecutable, validación independiente ni garantía de supuestos contractuales.