Charm, Vanna e Vomma: sinais, unidades e reprecificação completa

Meça a deriva de Delta causada pelo tempo, a interação entre Delta e volatilidade e a curvatura de Vega com relógios explícitos, unidades de volatilidade, controles por diferenças finitas, escala da posição e limites do modelo.

Apenas para fins educacionais; não constitui aconselhamento de investimento. Investir pode resultar em perdas.

Resposta direta

Charm, Vanna e Vomma são derivadas locais de uma função específica de precificação de opções, e não previsões ou pagamentos contratuais. Charm mede a resposta de Delta ao tempo, Vanna mede a interação entre o preço à vista e a volatilidade, e Vomma, também chamada Volga, mede a resposta de Vega à volatilidade. Um número só é significativo quando se conhecem a direção do tempo, a escala de volatilidade, as coordenadas do modelo, o sinal da posição, a quantidade e o multiplicador.

Para o valor V(S,σ,τ,...), definem-se Delta=∂V/∂S e Vega bruta como Vega_raw=∂V/∂σ, em que a volatilidade σ está em formato decimal e τ é o tempo restante. Sob regularidade suficiente e coordenadas comuns, Vanna_raw=∂²V/(∂S∂σ)=∂Delta/∂σ=∂Vega_raw/∂S, enquanto Vomma_raw=∂²V/∂σ²=∂Vega_raw/∂σ. A igualdade das derivadas parciais mistas não torna um choque real na superfície de mercado idêntico a um deslocamento no modelo.

As unidades de tempo e de exibição criam as maiores armadilhas de divulgação. Com τ=T−t, Charm_τ=∂Delta/∂τ, mas Charm em relação ao tempo de calendário é Charm_t=∂Delta/∂t=−Charm_τ. O efeito local de um dia ACT/365, com os demais dados congelados, é −Charm_τ/365. Uma variação de um ponto percentual de volatilidade corresponde a 0.01 em volatilidade decimal; portanto, Vanna_1pt=0.01×Vanna_raw e Vomma_1pt²=0.0001×Vomma_raw. Misturar valores brutos e exibidos gera fatores de 100 ou 10,000.

Processo de controle das gregas em sete etapas

Fixe o direito contratual e o estado do modelo. Registre o horário, a série exata, o sinal comprado ou vendido, a quantidade, o multiplicador, o preço à vista ou a termo, taxas, dividendos, custo de aluguel, superfície de volatilidade, prazo restante, estilo de exercício, liquidação e versão do modelo.
Declare as derivadas primitivas e as coordenadas. Informe Delta, Vega_raw, Vanna_raw e Vomma_raw; identifique Delta à vista ou a termo, medidas ajustadas ou não pelo prêmio e se a superfície é mantida por strike, Delta ou outra coordenada.
Fixe o relógio e o sinal de Charm. Diferencie o tempo de calendário t do tempo restante τ, declare Charm_t ou Charm_τ e especifique se a exibição é por ano, ACT/365, ACT/252 ou já diária. Nunca divida novamente pelo número de dias um valor diário fornecido pelo sistema.
Fixe as unidades de volatilidade e curvatura. Declare volatilidade decimal ou pontos de volatilidade, Vega bruta ou exibida, deslocamento escalar paralelo ou por strike-skew/superfície de Delta, e a conversão usada tanto para Vanna quanto para Vomma.
Valide por diferenças finitas. Prefira deslocamentos centrados quando viáveis; compare Vanna pelas rotas Delta contra volatilidade e Vega contra preço à vista, compare Vomma pela inclinação de Vega e pela curvatura do preço e repita com deslocamentos menores para revelar erros de truncamento ou cancelamento.
Agregue e faça a reprecificação completa. Normalize primeiro cada série e depois multiplique pela quantidade com sinal e pelo multiplicador. Use Delta, Gamma, Charm, Vanna e Vomma locais apenas para atribuição; como controle, execute cenários completos de preço à vista, tempo, volatilidade, skew, prazo, taxas, dividendos, aluguel e choques combinados.
Concilie modelo e execução. Compare versões de fornecedores e convenções de deslocamento, preços executáveis de compra e venda, quantidades discretas de hedge, liquidez, custos e execuções efetivas. Guarde as gregas antes e depois do choque, em vez de tratar uma sensibilidade no preço médio como hedge garantido.

Exemplos resolvidos

Relógio e sinal de Charm. Em uma ilustração Black-Scholes com rendimento contínuo, S=100, K=100, r=5%, q=2%, σ=20% e τ=0.5, tem-se d1=0.1767766953, d2=0.0353553391 e Delta da call de 0.5644849345. Aqui, Charm_τ=+0.0574497873 per year; logo, a deriva local de um dia ACT/365 é −0.0574497873/365=−0.0001573967. A reprecificação completa em τ=0.5−1/365=0.4972602740 produz Delta de 0.5643272616, uma mudança exata de um dia de −0.0001576729. Com multiplicador 100, o equivalente direcional passa de 56.4485 para 56.4327 shares, ou −0.0158 share; o resultado finito não é exatamente igual à estimativa derivada.
Diferença central e escala de Vanna. Com os mesmos dados, Delta da call é 0.5652807208 em σ=19% e 0.5638956602 em σ=21%. A estimativa centrada é (0.5638956602−0.5652807208)/(0.21−0.19)=−0.0692530319 per absolute volatility, ou −0.0006925303 Delta per vol point. O valor analítico local em 20% é Vanna_raw=−0.0687394860, equivalente a −0.0006873949 per vol point; assim, um contrato comprado com multiplicador 100 varia cerca de −0.0687395 delta-equivalent share para uma alta de um ponto na volatilidade implícita, antes da recalibração da superfície e de ordens superiores.
Vomma a partir da inclinação de Vega. Para uma call Black-Scholes com S=100, K=120, r=4%, q=1%, σ=25% e τ=1, Vega bruta é 35.1268247986, ou Vega exibida de 0.3512682480 price per vol point. A Vomma_raw=49.9650569089 analítica equivale a 0.0049965057 price per vol-point². Vega exibida é 0.3459770760 em 24% e 0.3559948122 em 26%; portanto, a estimativa centrada é (0.3559948122−0.3459770760)/2=0.0050088681 price per vol-point². A diferença em relação ao valor analítico é erro do deslocamento finito, e não uma nova grega.
Curvatura local versus reprecificação completa. No exemplo anterior com K=120, o preço do modelo sobe de 4.4188911173 com volatilidade implícita de 25% para 6.2276105891 com 30%, uma variação exata de +1.8087194718 per share ou +$180.8719472 para multiplicador 100. Vega isoladamente estima 0.3512682480×5=1.7563412399. Ao acrescentar Vomma, obtém-se 1.7563412399+0.5×0.0049965057×5²=1.8187975611, ou +$181.8797561 por contrato, ainda +$1.0078089 acima da reprecificação completa. A atribuição de segunda ordem melhora uma aproximação local, mas não substitui uma nova execução do modelo.

Riscos e controles de validação

Verifique a série exata, o direito contratual e o horário da avaliação.
Registre a família, a calibração e a versão de implementação do modelo.
Diferencie coordenadas de Delta à vista, a termo e ajustada pelo prêmio.
Guarde o retrato completo da superfície de volatilidade e sua interpolação.
Declare a convenção sticky-strike, sticky-delta ou outra para deslocar a superfície.
Preserve as premissas de taxas, dividendos, distribuições e custo de aluguel.
Modele o exercício americano e as fronteiras de exercício antecipado quando aplicáveis.
Trate dividendos discretos separadamente das fórmulas com rendimento contínuo.
Diferencie liquidação financeira de entrega física e a exposição após o exercício.
Fixe t versus τ e a convenção de sinal de Charm.
Fixe ACT/365, ACT/252, dias úteis ou uma escala já diária.
Converta volatilidade decimal e pontos de volatilidade sem erro de fator 100.
Converta Vega e Vomma brutas sem erro de fator 10.000.
Aplique de forma consistente sinal comprado ou vendido, quantidade, multiplicador e moeda.
Mantenha separadas as unidades por ação, por ponto, por contrato e da carteira.
Teste os deslocamentos de diferenças finitas quanto a truncamento e convergência.
Evite deslocamentos tão pequenos que o ruído de cotação ou numérico domine.
Estresse vencimentos, saltos, eventos, interrupções e pagamentos não suaves.
Não compense indiscriminadamente vencimentos, superfícies, modelos ou direitos de liquidação diferentes.
Concilie gregas de preço médio com hedges executáveis, custos e reprecificação completa.

Equívocos comuns

“Charm prevê o Delta de amanhã.” É uma derivada local sob uma convenção específica de relógio e dados congelados.
“Vanna é sempre positiva.” Seu sinal depende do direito, moneyness, tempo, modelo e convenção de coordenadas.
“Vomma é Vega e sempre é positiva.” Vomma é a curvatura de Vega; seu sinal e magnitude dependem do modelo e do estado.
“Valores de fornecedores são diretamente comparáveis.” Relógios, sinais, unidades de volatilidade, superfícies, modelos e escala contratual podem diferir.
“Gregas de segunda ordem eliminam a reprecificação completa ou garantem um hedge.” Choques finitos, efeitos cruzados, saltos, liquidez e contratos discretos permanecem.

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Fontes autorizadas

The Pricing of Options and Corporate Liabilities - Base europeia suave de volatilidade constante para derivadas locais; não define rótulos universais de gregas nem cobre universalmente exercício americano, dividendos discretos, sorriso ou saltos.
Option pricing: A simplified approach - Estrutura discreta em árvore e de convergência que pode sustentar exercício antecipado; não é uma convenção universal de gregas de ordem superior nem uma superfície ao vivo.
A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options - Mostra que dinâmica de volatilidade, correlação e vol-of-vol tornam as sensibilidades dependentes do modelo; não garante que uma calibração específica esteja correta.
Vanna-Volga and the Greeks - Trata diretamente Vanna e Volga em uma estrutura Vanna-Volga, com limites próprios de câmbio e do método, e não convenções universais de ações ou Charm.
How to Calculate Options Prices and Their Greeks: Exploring the Black Scholes Model from Delta to Vega - Tratamento prático de sensibilidades de primeira e segunda ordem; não é regra de bolsa, cotação executável nem escala universal de exibição.
NUMERICAL DERIVATIVE (LET) - Controles de diferenciação numérica e interpolação simétrica; não é modelo de opções, definição de derivada mista nem tamanho canônico de deslocamento.
Characteristics and Risks of Standardized Options - Limites contratuais, de exercício, atribuição e risco das opções padronizadas; não fornece fórmulas, valores, sinais ou unidades de gregas.
Cboe Volatility Index - Metodologia oficial de volatilidade implícita baseada em cotações, com controles de strikes, tempo e filtragem; não é superfície de uma opção individual, definição de grega de segunda ordem nem hedge executável.