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Charm、Vanna 與 Vomma：正負號、單位與完整重新定價

透過明確的時鐘、波動率單位、有限差分控制、部位縮放和模型邊界，衡量時間驅動的 Delta 漂移、Delta 與波動率的交互作用以及 Vega 曲率。

更新於

僅供教育參考，不構成投資建議；投資可能產生損失。

直接答案

Charm、Vanna 和 Vomma是某一明確選擇權定價函數的局部導數，而不是預測或合約到期損益。Charm 衡量 Delta 對時間的反應，Vanna 衡量現貨價格與波動率的交互作用，Vomma（通常也稱 Volga）衡量 Vega 對波動率的反應。只有明確時間方向、波動率尺度、模型座標、部位方向、數量和乘數後，一個數值才有意義。

對於價值函數 V(S,σ,τ,...)，定義 Delta=∂V/∂S，並將原始 Vega 定義為 Vega_raw=∂V/∂σ，其中波動率 σ 採小數形式，τ 是剩餘期間。在足夠平滑且座標一致的條件下，Vanna_raw=∂²V/(∂S∂σ)=∂Delta/∂σ=∂Vega_raw/∂S，而 Vomma_raw=∂²V/∂σ²=∂Vega_raw/∂σ。混合偏導數相等，並不表示真實市場的波動率曲面衝擊等同於模型中的單一變數擾動。

時間與顯示單位是最常見的報告陷阱。若 τ=T−t，則 Charm_τ=∂Delta/∂τ，但日曆時間 Charm 為 Charm_t=∂Delta/∂t=−Charm_τ。在其他輸入保持不變時，一個 ACT/365 日的局部變化為 −Charm_τ/365。波動率變動一個百分點等於小數波動率變動 0.01，因此 Vanna_1pt=0.01×Vanna_raw，Vomma_1pt²=0.0001×Vomma_raw。混用原始數值與顯示數值會造成 100 倍或 10,000 倍的錯誤。

七步希臘值控制流程

  1. 鎖定權利義務與模型狀態。 記錄評價時點、確切選擇權系列、多頭或空頭方向、數量、乘數、現貨或遠期價格、利率、股利、借券成本、波動率曲面、剩餘期間、履約方式、結算方式和模型版本。
  2. 聲明基礎導數與座標。 明確 Delta、Vega_raw、Vanna_raw 和 Vomma_raw；辨別現貨 Delta 與遠期 Delta、權利金調整與未調整口徑，以及曲面是按履約價、Delta 還是其他座標保持不變。
  3. 鎖定 Charm 的時鐘與正負號。 區分日曆時間 t 與剩餘期間 τ，明確採用 Charm_t 還是 Charm_τ，並註明每年、ACT/365、ACT/252 或已經按日顯示。絕不能再次用日數除數去除已經按日顯示的供應商數值。
  4. 鎖定波動率與曲率單位。 明確小數波動率與波動率點、原始 Vega 與顯示 Vega、平行純量擾動與履約價偏斜或 Delta 曲面擾動，並寫明 Vanna 和 Vomma 各自的換算方法。
  5. 用有限差分驗證。 在可行時優先採用中央差分；分別透過 Delta 對波動率的變化和 Vega 對現貨的變化驗證 Vanna，透過 Vega 的斜率和價格曲率驗證 Vomma；再縮小擾動幅度，以辨識截斷誤差或相消誤差。
  6. 彙總並完整重新定價。 先統一每個系列的口徑，再乘以帶正負號的數量和乘數。局部 Delta、Gamma、Charm、Vanna 與 Vomma 僅用於歸因；完整的現貨、時間、波動率、偏斜、期間、利率、股利、借券和組合情境才是控制手段。
  7. 核對模型與成交執行。 比較供應商版本和擾動口徑、可成交買賣價、離散避險數量、流動性、費用與實際成交。保存衝擊前後的希臘值，不要把中間價敏感度當作有保證的避險結果。

試算範例

  • Charm 的時鐘與正負號。 在採用連續收益率的 Black-Scholes 範例中，S=100、K=100、r=5%、q=2%、σ=20%、τ=0.5，d1=0.1767766953、d2=0.0353553391，買權 Delta 為 0.5644849345。此處 Charm_τ=+0.0574497873 per year，因此 ACT/365 日曆時間的局部漂移為 −0.0574497873/365=−0.0001573967。在 τ=0.5−1/365=0.4972602740 時完整重新定價，Delta 為 0.5643272616，一天的精確變化為 −0.0001576729。乘數為 100 時，方向等價曝險從 56.4485 股變為 56.4327 shares，即 −0.0158 share；有限變動結果並不與導數估計完全相同。
  • Vanna 的中央差分與尺度。 使用相同輸入，買權 Delta 為 0.5652807208（當 σ=19%），以及 0.5638956602（當 σ=21%）。中央差分估計為 (0.5638956602−0.5652807208)/(0.21−0.19)=−0.0692530319 per absolute volatility，即 −0.0006925303 Delta per vol point。在 20% 處的解析局部值為 Vanna_raw=−0.0687394860，等於 −0.0006873949 per vol point；因此，一份乘數為 100 的多頭合約在 IV 上升一個波動率點時，Delta 等價股數局部約變化 −0.0687395 delta-equivalent share，未計曲面重新校準和更高階影響。
  • 由 Vega 斜率計算 Vomma。 一份 Black-Scholes 買權的參數為 S=100、K=120、r=4%、q=1%、σ=25%、τ=1，原始 Vega 為 35.1268247986，顯示 Vega 為 0.3512682480 price per vol point。解析值 Vomma_raw=49.9650569089，等價於 0.0049965057 price per vol-point²。顯示 Vega 為 0.3459770760（在 24% 時），以及 0.3559948122（在 26% 時），所以中央差分估計為 (0.3559948122−0.3459770760)/2=0.0050088681 price per vol-point²。它與解析值之間的差異是有限擾動誤差，而不是新的希臘值。
  • 局部曲率與完整重新定價。 在前述 K=120 範例中，模型價格從 4.4188911173（IV 為 25%）上升至 6.2276105891（IV 為 30%），精確變化為 +1.8087194718 per share，即 +$180.8719472（乘數為 100）。僅用 Vega 得到的估計為 0.3512682480×5=1.7563412399。加入 Vomma 後為 1.7563412399+0.5×0.0049965057×5²=1.8187975611，即每份合約 +$181.8797561，仍比完整重新定價高 +$1.0078089。二階歸因改善了局部近似，但不能取代模型重算。

風險與驗證控制

  • 核實確切選擇權系列、權利義務和評價時點。
  • 記錄模型類別、校準方法和實作版本。
  • 區分現貨、遠期和權利金調整後的 Delta 座標。
  • 保存完整的波動率曲面快照和插值方法。
  • 明確保持履約價、保持 Delta 或其他曲面擾動口徑。
  • 保留利率、股利、分派和借券假設。
  • 在適用時模擬美式履約和提前履約邊界。
  • 將離散股利與連續收益率公式分開處理。
  • 區分現金結算與實物交割及履約後的曝險。
  • 鎖定 t 與 τ 的差異以及 Charm 正負號口徑。
  • 鎖定 ACT/365、ACT/252、交易日或已經按日顯示的時間尺度。
  • 換算小數波動率與波動率點時避免 100 倍錯誤。
  • 換算原始 Vega 與 Vomma 時避免 10,000 倍錯誤。
  • 一致套用多空正負號、數量、乘數和幣別。
  • 明確區分每股、每點、每份合約和投資組合單位。
  • 測試有限差分擾動的截斷誤差與收斂性。
  • 避免擾動過小而由報價雜訊或數值雜訊主導結果。
  • 壓力測試到期邊界、跳躍、事件、暫停交易和非平滑到期損益。
  • 不要盲目淨額處理不同到期日、曲面、模型或結算權利義務。
  • 將中間價希臘值與可執行避險、費用和完整重新定價核對。

常見誤解

  • 「Charm 能預測明天的 Delta。」 它是在明確的輸入凍結方式和時鐘口徑下計算的局部導數。
  • 「Vanna 總是正數。」 其正負號取決於權利義務、價內外程度、期間、模型和座標口徑。
  • 「Vomma 就是 Vega，而且總是正數。」 Vomma 是 Vega 的曲率；其正負號與大小取決於模型和狀態。
  • 「不同供應商的數值可以直接比較。」 時鐘、正負號、波動率單位、曲面、模型和合約縮放均可能不同。
  • 「二階希臘值不再需要完整重新定價，或可以保證避險。」 有限衝擊、交叉效應、跳躍、流動性和離散合約仍然存在。

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