Charm, Vanna e Vomma: segni, unità e rivalutazione completa

Misura la deriva di Delta dovuta al tempo, l'interazione tra Delta e volatilità e la curvatura di Vega con convenzioni temporali esplicite, unità di volatilità, controlli alle differenze finite, dimensionamento della posizione e limiti del modello.

Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

Risposta diretta

Charm, Vanna e Vomma sono derivate locali di una specifica funzione di valutazione delle opzioni, non previsioni né payoff contrattuali. Charm misura la risposta di Delta al tempo, Vanna misura l’interazione tra prezzo spot e volatilità e Vomma, spesso chiamata Volga, misura la risposta di Vega alla volatilità. Un valore ha significato solo se sono noti la direzione temporale, la scala di volatilità, le coordinate del modello, il segno della posizione, la quantità e il moltiplicatore.

Per il valore V(S,σ,τ,...), si definiscono Delta=∂V/∂S e la Vega grezza come Vega_raw=∂V/∂σ, dove la volatilità σ è espressa in forma decimale e τ è il tempo residuo. In presenza di sufficiente regolarità e di coordinate comuni, Vanna_raw=∂²V/(∂S∂σ)=∂Delta/∂σ=∂Vega_raw/∂S, mentre Vomma_raw=∂²V/∂σ²=∂Vega_raw/∂σ. L’uguaglianza delle derivate parziali miste non rende uno shock reale della superficie di mercato identico a una variazione incrementale del modello.

Le unità di tempo e di visualizzazione generano i maggiori errori di rendicontazione. Con τ=T−t, Charm_τ=∂Delta/∂τ, mentre Charm rispetto al tempo di calendario è Charm_t=∂Delta/∂t=−Charm_τ. L’effetto locale di un giorno ACT/365, a parità degli altri input, è −Charm_τ/365. Una variazione di un punto percentuale di volatilità equivale a 0.01 in volatilità decimale; quindi Vanna_1pt=0.01×Vanna_raw e Vomma_1pt²=0.0001×Vomma_raw. Confondere valori grezzi e visualizzati introduce fattori pari a 100 o 10,000.

Processo di controllo delle greche in sette fasi

Fissare il diritto e lo stato del modello. Registrare data e ora, serie esatta dell’opzione, segno lungo o corto, quantità, moltiplicatore, prezzo spot o forward, tassi, dividendi, costo del prestito titoli, superficie di volatilità, tempo residuo, stile di esercizio, regolamento e versione del modello.
Dichiarare le derivate primitive e le coordinate. Indicare Delta, Vega_raw, Vanna_raw e Vomma_raw; distinguere Delta spot da Delta forward, misure corrette o non corrette per il premio e precisare se la superficie è mantenuta per strike, Delta o altra coordinata.
Fissare l’orologio e il segno di Charm. Distinguere il tempo di calendario t dal tempo residuo τ, specificare Charm_t o Charm_τ e indicare se il valore è annuale, ACT/365, ACT/252 o già giornaliero. Non dividere nuovamente per il numero di giorni un dato del fornitore già espresso su base giornaliera.
Fissare le unità di volatilità e curvatura. Specificare volatilità decimale o punti di volatilità, Vega grezza o visualizzata, shock scalare parallelo o shock per strike-skew o superficie di Delta, nonché la conversione usata per Vanna e Vomma.
Validare con differenze finite. Preferire variazioni centrate quando possibile; confrontare Vanna tramite Delta rispetto alla volatilità e Vega rispetto allo spot, confrontare Vomma mediante la pendenza di Vega e la curvatura del prezzo e ripetere con variazioni più piccole per evidenziare errori di troncamento o cancellazione.
Aggregare ed effettuare la rivalutazione completa. Normalizzare prima ogni serie, poi moltiplicare per quantità con segno e moltiplicatore. Utilizzare Delta, Gamma, Charm, Vanna e Vomma locali solo per l’attribuzione; come controllo, eseguire scenari completi su spot, tempo, volatilità, skew, struttura per scadenza, tassi, dividendi, prestito titoli e shock combinati.
Riconciliare modello ed esecuzione. Confrontare versioni dei fornitori e convenzioni di shock, denaro e lettera eseguibili, quantità discrete di copertura, liquidità, commissioni ed eseguiti effettivi. Conservare le greche pre-shock e post-shock, anziché trattare una sensibilità al prezzo medio come una copertura garantita.

Esempi svolti

Orologio e segno di Charm. In un esempio Black-Scholes con rendimento continuo, S=100, K=100, r=5%, q=2%, σ=20% e τ=0.5, si hanno d1=0.1767766953, d2=0.0353553391 e Delta della call pari a 0.5644849345. Qui Charm_τ=+0.0574497873 per year; pertanto, la deriva locale di calendario per un giorno ACT/365 è −0.0574497873/365=−0.0001573967. La rivalutazione completa a τ=0.5−1/365=0.4972602740 produce Delta 0.5643272616, con variazione esatta giornaliera di −0.0001576729. Con moltiplicatore 100, l’equivalente direzionale passa da 56.4485 a 56.4327 shares, ossia −0.0158 share; il risultato finito non coincide esattamente con la stima derivata.
Differenza centrale e scala di Vanna. Con gli stessi input, Delta della call è 0.5652807208 a σ=19% e 0.5638956602 a σ=21%. La stima centrata è (0.5638956602−0.5652807208)/(0.21−0.19)=−0.0692530319 per absolute volatility, ossia −0.0006925303 Delta per vol point. Il valore analitico locale a 20% è Vanna_raw=−0.0687394860, pari a −0.0006873949 per vol point; un contratto lungo con moltiplicatore 100 varia quindi di circa −0.0687395 delta-equivalent share per un aumento di un punto della volatilità implicita, prima della ricalibrazione della superficie e degli ordini superiori.
Vomma dalla pendenza di Vega. Per una call Black-Scholes con S=100, K=120, r=4%, q=1%, σ=25% e τ=1, la Vega grezza è 35.1268247986, ossia una Vega visualizzata di 0.3512682480 price per vol point. La Vomma_raw=49.9650569089 analitica equivale a 0.0049965057 price per vol-point². La Vega visualizzata è 0.3459770760 al 24% e 0.3559948122 al 26%; la stima centrata è quindi (0.3559948122−0.3459770760)/2=0.0050088681 price per vol-point². Lo scarto dal valore analitico è un errore dovuto alla variazione finita, non una nuova greca.
Curvatura locale rispetto alla rivalutazione completa. Nel precedente esempio con K=120, il prezzo del modello sale da 4.4188911173 con volatilità implicita al 25% a 6.2276105891 al 30%, una variazione esatta di +1.8087194718 per share o +$180.8719472 con moltiplicatore 100. Vega da sola stima 0.3512682480×5=1.7563412399. Aggiungendo Vomma si ottiene 1.7563412399+0.5×0.0049965057×5²=1.8187975611, ossia +$181.8797561 per contratto, ancora +$1.0078089 al di sopra della rivalutazione completa. L’attribuzione di secondo ordine migliora un’approssimazione locale, ma non sostituisce una nuova esecuzione del modello.

Rischi e controlli di validazione

Verificare la serie esatta, il diritto contrattuale e la data e ora di valutazione.
Registrare famiglia, calibrazione e versione di implementazione del modello.
Distinguere le coordinate Delta spot, forward e corrette per il premio.
Conservare l’intera istantanea della superficie di volatilità e l’interpolazione.
Dichiarare la convenzione sticky-strike, sticky-delta o altra convenzione di shock.
Mantenere le ipotesi su tassi, dividendi, distribuzioni e costo del prestito titoli.
Modellare l’esercizio americano e le soglie di esercizio anticipato, se applicabili.
Trattare i dividendi discreti separatamente dalle formule con rendimento continuo.
Distinguere regolamento per cassa, consegna fisica ed esposizione successiva all’esercizio.
Fissare t rispetto a τ e la convenzione di segno di Charm.
Fissare ACT/365, ACT/252, giorni di negoziazione o una scala già giornaliera.
Convertire volatilità decimale e punti di volatilità senza errori di fattore 100.
Convertire Vega e Vomma grezze senza errori di fattore 10.000.
Applicare in modo coerente segno lungo o corto, quantità, moltiplicatore e valuta.
Tenere distinte le unità per azione, per punto, per contratto e di portafoglio.
Verificare troncamento e convergenza delle variazioni alle differenze finite.
Evitare variazioni tanto piccole da essere dominate dal rumore numerico o di quotazione.
Sottoporre a stress scadenze, salti, eventi, sospensioni e payoff non regolari.
Non compensare indiscriminatamente scadenze, superfici, modelli o diritti di regolamento diversi.
Riconciliare le greche al prezzo medio con coperture eseguibili, commissioni e rivalutazione completa.

Idee errate comuni

«Charm prevede il Delta di domani». È una derivata locale basata su una specifica convenzione temporale e su input mantenuti costanti.
«Vanna è sempre positiva». Il segno dipende da diritto, moneyness, tempo, modello e convenzione delle coordinate.
«Vomma è Vega ed è sempre positiva». Vomma è la curvatura di Vega; segno e grandezza dipendono da modello e stato.
«I valori dei fornitori sono direttamente confrontabili». Possono differire convenzioni temporali, segni, unità di volatilità, superfici, modelli e scala contrattuale.
«Le greche di secondo ordine eliminano la rivalutazione completa o garantiscono una copertura». Restano shock finiti, effetti incrociati, salti, liquidità e contratti discreti.

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Fonti autorevoli

The Pricing of Options and Corporate Liabilities - Fondamento a volatilità costante per opzioni europee regolari e derivate locali; non stabilisce etichette universali delle greche né copre universalmente esercizio americano, dividendi discreti, smile o salti.
Option pricing: A simplified approach - Struttura discreta ad albero e di convergenza che può sostenere la modellazione dell’esercizio anticipato; non è una convenzione universale per greche di ordine superiore né una superficie corrente.
A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options - Dimostra che dinamica della volatilità, correlazione e vol-of-vol rendono le sensibilità dipendenti dal modello; non garantisce la correttezza di una specifica calibrazione.
Vanna-Volga and the Greeks - Tratta direttamente Vanna e Volga in un quadro Vanna-Volga, con limiti specifici per il mercato valutario e per il metodo, non convenzioni universali per azioni o Charm.
How to Calculate Options Prices and Their Greeks: Exploring the Black Scholes Model from Delta to Vega - Trattazione operativa delle sensibilità di primo e secondo ordine; non è una regola di borsa, una quotazione eseguibile o una scala universale di visualizzazione.
NUMERICAL DERIVATIVE (LET) - Controlli di differenziazione numerica e interpolazione simmetrica; non è un modello di opzioni, una definizione di derivata mista o una dimensione canonica dello shock.
Characteristics and Risks of Standardized Options - Limiti contrattuali, di esercizio, assegnazione e rischio delle opzioni standardizzate; non fornisce formule, valori, segni o unità delle greche.
Cboe Volatility Index - Metodologia ufficiale di volatilità implicita basata sulle quotazioni, con controlli su strike, tempo e filtri; non è la superficie di una singola opzione, una definizione di greca di secondo ordine o una copertura eseguibile.