Charm、Vanna、Vomma：符号、単位、フル・リプライシング

時間による Delta のドリフト、Delta とボラティリティの相互作用、Vega の曲率を、明示的な時計、ボラティリティ単位、有限差分管理、ポジション換算、モデルの境界とともに測定します。

教育目的のみであり、投資助言ではありません。投資では損失が生じる可能性があります。

直接の回答

Charm、Vanna、Vomma は、特定のオプション価格関数に対する局所的な導関数であり、予測や契約上のペイオフではありません。Charm は時間に対する Delta の反応、Vanna は現物価格とボラティリティの相互作用、Vomma（Volga とも呼ばれます）はボラティリティに対する Vega の反応を測ります。時間の方向、ボラティリティの尺度、モデル座標、ポジションの符号、数量、乗数が明確になって初めて、数値に意味が生じます。

価値関数を V(S,σ,τ,...) とし、Delta=∂V/∂S、raw Vega を Vega_raw=∂V/∂σ と定義します。ボラティリティ σ は小数、τ は残存期間です。十分な滑らかさと共通の座標を仮定すれば、Vanna_raw=∂²V/(∂S∂σ)=∂Delta/∂σ=∂Vega_raw/∂S、Vomma_raw=∂²V/∂σ²=∂Vega_raw/∂σ となります。混合偏導関数が等しくても、実際の市場でのサーフェス変動がモデル上のバンプと同一になるわけではありません。

時間と表示単位は、報告値を読む際の最大の落とし穴です。τ=T−t とすれば Charm_τ=∂Delta/∂τ ですが、暦時間に対する Charm は Charm_t=∂Delta/∂t=−Charm_τ です。他の入力を固定した ACT/365 の1日経過は、局所的には −Charm_τ/365 です。ボラティリティの1パーセントポイントは小数ボラティリティの 0.01 なので、Vanna_1pt=0.01×Vanna_raw、Vomma_1pt²=0.0001×Vomma_raw です。raw 値と表示値を混同すると 100 倍または 10,000 倍の誤差が生じます。

グリークを管理する7つの手順

請求権とモデル状態を確定する。 評価時刻、正確なオプション銘柄、ロングまたはショートの符号、数量、乗数、現物またはフォワード、金利、配当、借株コスト、ボラティリティ・サーフェス、残存期間、行使方式、決済方法、モデルのバージョンを記録します。
基本導関数と座標を明示する。 Delta、Vega_raw、Vanna_raw、Vomma_raw を定義し、現物 Delta とフォワード Delta、プレミアム調整済みと未調整の指標を区別します。また、サーフェスをストライク、Delta、その他のどの座標で固定するかを示します。
Charm の時計と符号を固定する。 暦時間 t と残存期間 τ を区別し、Charm_t と Charm_τ のどちらを使うか、年率、ACT/365、ACT/252、または日次表示済みかを明示します。ベンダーがすでに日次換算した値を日数でもう一度割ってはいけません。
ボラティリティと曲率の単位を固定する。 小数ボラティリティとボラティリティ・ポイント、raw Vega と表示 Vega、平行なスカラー・バンプとストライク・スキューまたは Delta サーフェスのバンプを区別し、Vanna と Vomma の換算方法を明示します。
有限差分で検証する。 可能な限り中心差分を使い、Delta のボラティリティ勾配と Vega の現物勾配の両方から Vanna を、Vega の勾配と価格の曲率から Vomma を検証します。バンプを小さくして再計算し、打切り誤差や桁落ちを確認します。
集計し、フル・リプライシングを行う。 各銘柄の尺度をそろえた後、符号付き数量と乗数を掛けます。局所的な Delta、Gamma、Charm、Vanna、Vomma は要因分析にのみ用い、現物、時間、ボラティリティ、スキュー、期間、金利、配当、借株、複合シナリオの完全な再評価を管理手段とします。
モデルと執行を照合する。 ベンダーのバージョンとバンプ方法、執行可能な Bid と Ask、離散的なヘッジ数量、流動性、手数料、実際の約定を比較します。ミッド価格の感応度を確実なヘッジとみなさず、ショック前後のグリークをともに保存します。

計算例

Charm の時計と符号。 連続配当利回りを用いる Black-Scholes の例で、S=100、K=100、r=5%、q=2%、σ=20%、τ=0.5 とします。d1=0.1767766953、d2=0.0353553391、コールの Delta は 0.5644849345 です。ここでは Charm_τ=+0.0574497873 per year なので、ACT/365 の暦時間による局所的な変化は −0.0574497873/365=−0.0001573967 です。τ=0.5−1/365=0.4972602740 でフル・リプライシングすると Delta は 0.5643272616、1日の正確な変化は −0.0001576729 です。乗数 100 なら方向性等価額は 56.4485 株から 56.4327 shares へ、すなわち −0.0158 share 変化します。有限変化は導関数による推定と完全には一致しません。
Vanna の中心差分と尺度。 同じ入力では、コール Delta は 0.5652807208（σ=19% のとき）と 0.5638956602（σ=21% のとき）です。中心差分による推定値は (0.5638956602−0.5652807208)/(0.21−0.19)=−0.0692530319 per absolute volatility、すなわち −0.0006925303 Delta per vol point です。20% における解析的な局所値は Vanna_raw=−0.0687394860、つまり −0.0006873949 per vol point です。したがって乗数 100 のロング1枚は、サーフェスの再較正と高次項を除けば、IV が1ポイント上昇したとき Delta 等価株数が局所的に約 −0.0687395 delta-equivalent share 変化します。
Vega の勾配から求める Vomma。 S=100、K=120、r=4%、q=1%、σ=25%、τ=1 の Black-Scholes コールを考えます。raw Vega は 35.1268247986、表示 Vega は 0.3512682480 price per vol point です。解析的な Vomma_raw=49.9650569089 は 0.0049965057 price per vol-point² に相当します。表示 Vega は 0.3459770760（24% のとき）と 0.3559948122（26% のとき）なので、中心差分は (0.3559948122−0.3459770760)/2=0.0050088681 price per vol-point² です。解析値との差は有限バンプによる誤差であり、新しいグリークではありません。
局所的な曲率とフル・リプライシング。 直前の K=120 の例では、モデル価格が 4.4188911173（IV 25%）から 6.2276105891（IV 30%）に上昇し、正確な変化は +1.8087194718 per share、すなわち +$180.8719472（乗数 100）です。Vega だけの推定は 0.3512682480×5=1.7563412399 です。Vomma を加えると 1.7563412399+0.5×0.0049965057×5²=1.8187975611、1枚当たり +$181.8797561 となり、それでもフル・リプライシングを +$1.0078089 上回ります。二階の要因分析は局所近似を改善しますが、モデルの再計算に代わるものではありません。

リスクと検証項目

正確なオプション銘柄、請求権、評価時刻を確認する。
モデルの種類、較正方法、実装バージョンを記録する。
現物、フォワード、プレミアム調整済みの Delta 座標を区別する。
ボラティリティ・サーフェス全体のスナップショットと補間方法を保存する。
スティッキー・ストライク、スティッキー・デルタ、その他のサーフェス・バンプ方法を明示する。
金利、配当、分配、借株の前提を保存する。
必要に応じてアメリカン行使と早期行使境界をモデル化する。
離散配当は連続配当利回りの式と分けて扱う。
現金決済と現物決済、および行使後のエクスポージャーを区別する。
t と τ、および Charm の符号規約を固定する。
ACT/365、ACT/252、取引日、または日次表示済みの時間尺度を固定する。
小数ボラティリティとボラティリティ・ポイントの換算で100倍の誤差を避ける。
raw Vega と Vomma の換算で10,000倍の誤差を避ける。
ロングまたはショートの符号、数量、乗数、通貨を一貫して適用する。
1株当たり、1ポイント当たり、1枚当たり、ポートフォリオ全体の単位を区別する。
有限差分バンプの打切り誤差と収束を検証する。
バンプを小さくしすぎて、クオートや数値ノイズが支配しないようにする。
満期境界、ジャンプ、イベント、取引停止、滑らかでないペイオフをストレステストする。
異なる満期、サーフェス、モデル、決済請求権を安易に相殺しない。
ミッド価格のグリークを、執行可能なヘッジ、費用、フル・リプライシングと照合する。

よくある誤解

「Charm は明日の Delta を予測する。」 明示された入力固定方法と時計の規約に基づく局所導関数です。
「Vanna は常に正である。」 符号は請求権、マネーネス、期間、モデル、座標規約に依存します。
「Vomma は Vega と同じで、常に正である。」 Vomma は Vega の曲率であり、その符号と大きさはモデルと状態に依存します。
「ベンダーの数値はそのまま比較できる。」 時計、符号、ボラティリティ単位、サーフェス、モデル、契約の倍率が異なる場合があります。
「二階グリークがあればフル・リプライシングは不要で、ヘッジも保証される。」 有限ショック、交差効果、ジャンプ、流動性、離散的な契約は残ります。

権威ある情報源

オプション価格と企業負債 - 滑らかなヨーロピアン型・一定ボラティリティの局所導関数の基礎ですが、普遍的なグリークの名称、アメリカン行使、離散配当、スマイル、ジャンプを定めるものではありません。
オプション価格評価：簡略化されたアプローチ - 早期行使のモデル化に使える離散格子と収束の枠組みですが、普遍的な高階グリーク規約や実勢サーフェスを定めるものではありません。
確率的ボラティリティによるオプションの閉形式解と債券・通貨オプションへの応用 - ボラティリティの動学、相関、vol-of-vol によって感応度がモデル依存になることを示しますが、一つの確率的ボラティリティ較正の正しさを保証しません。
Vanna-Volga とグリーク - Vanna-Volga の枠組みで Vanna と Volga を直接扱いますが、外国為替と手法に固有の境界があり、株式オプションや Charm の普遍的規約ではありません。
オプション価格とグリークの計算方法：Delta から Vega までの Black-Scholes モデル - 一階・二階感応度を実務的に扱いますが、取引所規則、執行可能なクオート、普遍的な表示尺度ではありません。
数値微分（LET） - 数値微分と対称補間の確認方法を扱いますが、オプション・モデル、混合偏導関数の定義、標準バンプ幅を定めるものではありません。
標準化オプションの特性とリスク - 標準化オプションの契約、行使、割当、リスクの境界を扱いますが、グリークの式、値、符号、単位を提供しません。
Cboe ボラティリティ指数 - ストライク、時間、フィルタリングを管理する公式のクオートベースIV手法ですが、個別オプションのサーフェス、二階グリークの定義、執行可能なヘッジではありません。