Charm, Vanna и Vomma: знаки, единицы и полная переоценка

Измеряйте временной дрейф Delta, взаимодействие Delta с волатильностью и кривизну Vega, явно задавая часы, единицы волатильности, конечно-разностные проверки, масштаб позиции и границы модели.

Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.

Краткий ответ

Charm, Vanna и Vomma — локальные производные одной заданной функции оценки опциона, а не прогнозы или выплаты по контракту. Charm измеряет реакцию Delta на время, Vanna — взаимодействие спота и волатильности, а Vomma, часто называемая Volga, — реакцию Vega на волатильность. Число имеет смысл только при известных направлении времени, шкале волатильности, координатах модели, знаке позиции, количестве и мультипликаторе.

Для стоимости V(S,σ,τ,...) определим Delta=∂V/∂S и сырую Vega как Vega_raw=∂V/∂σ, где волатильность σ задана десятичной дробью, а τ — оставшееся время. При достаточной гладкости и общих координатах Vanna_raw=∂²V/(∂S∂σ)=∂Delta/∂σ=∂Vega_raw/∂S, тогда как Vomma_raw=∂²V/∂σ²=∂Vega_raw/∂σ. Равенство смешанных производных не делает реальный шок рыночной поверхности тождественным модельному сдвигу.

Главные ловушки отчетности создают единицы времени и отображения. При τ=T−t имеем Charm_τ=∂Delta/∂τ, однако Charm по календарному времени равен Charm_t=∂Delta/∂t=−Charm_τ. Один день ACT/365 при прочих неизменных входных данных локально равен −Charm_τ/365. Изменение волатильности на один процентный пункт равно 0.01 в десятичной шкале, поэтому Vanna_1pt=0.01×Vanna_raw, а Vomma_1pt²=0.0001×Vomma_raw. Смешение сырых и отображаемых значений дает ошибку в 100 или 10,000 раз.

Семь шагов контроля греков

Зафиксируйте требование и состояние модели. Запишите время оценки, точную серию опциона, знак длинной или короткой позиции, количество, мультипликатор, спот или форвард, ставки, дивиденды, стоимость займа, поверхность волатильности, оставшийся срок, стиль исполнения, расчет и версию модели.
Задайте первичные производные и координаты. Укажите Delta, Vega_raw, Vanna_raw и Vomma_raw; разграничьте спотовую и форвардную Delta, показатели с поправкой на премию и без нее, а также фиксацию поверхности по страйку, Delta или иной координате.
Зафиксируйте часы и знак Charm. Отличайте календарное время t от оставшегося τ, укажите Charm_t или Charm_τ и шкалу: годовую, ACT/365, ACT/252 либо уже дневную. Не делите дневное значение поставщика на число дней повторно.
Зафиксируйте единицы волатильности и кривизны. Укажите десятичную волатильность или пункты, сырую или отображаемую Vega, параллельный скалярный сдвиг либо сдвиг улыбки по страйку или поверхности по Delta, а также преобразования Vanna и Vomma.
Проверьте конечными разностями. По возможности используйте центральные сдвиги; сопоставьте Vanna по Delta относительно волатильности и Vega относительно спота, а Vomma — по наклону Vega и кривизне цены. Повторите расчет с меньшими сдвигами, чтобы выявить ошибку усечения или потери точности.
Агрегируйте и выполните полную переоценку. Сначала нормализуйте каждую серию, затем умножьте на количество со знаком и мультипликатор. Используйте локальные Delta, Gamma, Charm, Vanna и Vomma только для атрибуции; контроль — полные сценарии спота, времени, волатильности, улыбки, срочной структуры, ставок, дивидендов, займа и сочетаний шоков.
Сверьте модель с исполнением. Сопоставьте версии поставщиков и правила сдвигов, исполнимые bid и ask, дискретные объемы хеджей, ликвидность, комиссии и фактические сделки. Сохраняйте греки до и после шока и не считайте чувствительность по средней цене гарантированным хеджем.

Разобранные примеры

Часы и знак Charm. В иллюстрации Black-Scholes с непрерывной доходностью S=100, K=100, r=5%, q=2%, σ=20% и τ=0.5; d1=0.1767766953, d2=0.0353553391, а Delta колла равна 0.5644849345. Здесь Charm_τ=+0.0574497873 per year, поэтому локальный календарный дрейф ACT/365 равен −0.0574497873/365=−0.0001573967. Полная переоценка при τ=0.5−1/365=0.4972602740 дает Delta 0.5643272616, то есть точное однодневное изменение −0.0001576729. При мультипликаторе 100 направленный эквивалент меняется с 56.4485 до 56.4327 shares, или на −0.0158 share; конечный результат не обязан точно совпадать с оценкой производной.
Центральная разность и шкала Vanna. При тех же входных данных Delta колла равна 0.5652807208 при σ=19% и 0.5638956602 при σ=21%. Центральная оценка составляет (0.5638956602−0.5652807208)/(0.21−0.19)=−0.0692530319 per absolute volatility, или −0.0006925303 Delta per vol point. Аналитическое локальное значение при 20% равно Vanna_raw=−0.0687394860, то есть −0.0006873949 per vol point; поэтому один длинный контракт с мультипликатором 100 при росте IV на один пункт меняется примерно на −0.0687395 delta-equivalent share до перекалибровки поверхности и учета высших порядков.
Vomma из наклона Vega. Для колла Black-Scholes с S=100, K=120, r=4%, q=1%, σ=25% и τ=1 сырая Vega равна 35.1268247986, а отображаемая — 0.3512682480 price per vol point. Аналитическая Vomma_raw=49.9650569089, что соответствует 0.0049965057 price per vol-point². Отображаемая Vega равна 0.3459770760 при 24% и 0.3559948122 при 26%, поэтому центральная оценка составляет (0.3559948122−0.3459770760)/2=0.0050088681 price per vol-point². Расхождение с аналитическим значением — ошибка конечного сдвига, а не новый грек.
Локальная кривизна против полной переоценки. В предыдущем примере с K=120 модельная цена растет с 4.4188911173 при IV 25% до 6.2276105891 при 30%: точное изменение +1.8087194718 per share, или +$180.8719472 при мультипликаторе 100. Одна Vega дает оценку 0.3512682480×5=1.7563412399. С Vomma получается 1.7563412399+0.5×0.0049965057×5²=1.8187975611, или +$181.8797561 на контракт, что все еще на +$1.0078089 выше полной переоценки. Атрибуция второго порядка улучшает одну локальную аппроксимацию, но не заменяет повторный расчет модели.

Риски и меры проверки

Проверьте точную серию опциона, требование и время оценки.
Запишите семейство, калибровку и версию реализации модели.
Разграничьте спотовую, форвардную и скорректированную на премию Delta.
Сохраните полный снимок поверхности волатильности и интерполяцию.
Укажите правило sticky-strike, sticky-delta или иное правило сдвига поверхности.
Сохраните предположения о ставках, дивидендах, распределениях и займе.
Моделируйте американское и досрочное исполнение, где применимо.
Рассматривайте дискретные дивиденды отдельно от формул непрерывной доходности.
Разграничьте денежный и физический расчет и экспозицию после исполнения.
Зафиксируйте t против τ и правило знака Charm.
Зафиксируйте ACT/365, ACT/252, торговые дни или уже дневную шкалу.
Переводите десятичную волатильность в пункты без ошибки в 100 раз.
Переводите сырые Vega и Vomma без ошибки в 10,000 раз.
Последовательно применяйте знак позиции, количество, мультипликатор и валюту.
Разделяйте единицы на акцию, пункт, контракт и портфель.
Проверяйте конечные сдвиги на усечение и сходимость.
Не берите сдвиги настолько малыми, чтобы доминировал ценовой или численный шум.
Тестируйте границы экспирации, скачки, события, остановки и негладкие выплаты.
Не сворачивайте бездумно разные сроки, поверхности, модели и расчетные требования.
Сверяйте греки по средней цене с исполнимыми хеджами, комиссиями и полной переоценкой.

Распространенные заблуждения

«Charm предсказывает завтрашнюю Delta». Это локальная производная при заданных правилах замороженных входов и часов.
«Vanna всегда положительна». Знак зависит от требования, денежности, срока, модели и координат.
«Vomma — это Vega, и она всегда положительна». Vomma — кривизна Vega; знак и величина зависят от модели и состояния.
«Значения разных поставщиков можно сравнивать напрямую». Часы, знаки, единицы волатильности, поверхности, модели и масштаб контракта могут различаться.
«Греки второго порядка отменяют полную переоценку или гарантируют хедж». Остаются конечные шоки, перекрестные эффекты, скачки, ликвидность и дискретность контрактов.

Связанные темы

Авторитетные источники

The Pricing of Options and Corporate Liabilities - Основа гладкой европейской модели с постоянной волатильностью для локальных производных, но не универсальных названий греков, американского исполнения, дискретных дивидендов, улыбки или скачков.
Option pricing: A simplified approach - Дискретная сходящаяся решеточная схема, способная учитывать досрочное исполнение, но не универсальная конвенция греков высших порядков и не живая поверхность.
A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options - Подтверждает зависимость чувствительностей от динамики волатильности, корреляции и vol-of-vol, но не гарантирует правильность одной калибровки.
Vanna-Volga and the Greeks - Прямое рассмотрение Vanna и Volga в методе Vanna-Volga с валютными и методическими границами, а не универсальными правилами для акций или Charm.
How to Calculate Options Prices and Their Greeks: Exploring the Black Scholes Model from Delta to Vega - Практическое изложение чувствительностей первого и второго порядка, но не правило биржи, исполнимая котировка или универсальная шкала.
NUMERICAL DERIVATIVE (LET) - Проверки численного дифференцирования и симметричной интерполяции, но не опционная модель, определение смешанной производной или стандартный размер сдвига.
Characteristics and Risks of Standardized Options - Границы стандартизированного контракта, исполнения, назначения и риска, но не формулы, значения, знаки или единицы греков.
Cboe Volatility Index - Официальная котировочная методика подразумеваемой волатильности с контролем страйков, времени и фильтрации, но не поверхность отдельного опциона, определение греков второго порядка или исполнимый хедж.