แบบจำลอง Heston: ความแปรปรวนเป็นกลางต่อความเสี่ยง กลไกเชิงตัวเลข และการปรับเทียบ

ตรวจสอบ Heston ผ่านพารามิเตอร์เป็นกลางต่อความเสี่ยง ขอบเขตความแปรปรวน แรงกระทบที่สัมพันธ์กัน แบบแผนฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ การปรับเทียบถ่วงน้ำหนักด้วยราคา และการตรวจสอบเชิงตัวเลข

จัดทำขึ้นเพื่อการศึกษาเท่านั้น ไม่ใช่คำแนะนำการลงทุน การลงทุนอาจทำให้สูญเสียเงินลงทุนได้

คำตอบโดยตรง

ภายใต้มาตรวัดเป็นกลางต่อความเสี่ยงแบบหนึ่งที่ใช้กันทั่วไป Q แบบจำลอง Heston กำหนด dS_t / S_t = (r - q)dt + sqrt(v_t)dW_t^(S,Q) และ dv_t = kappa(theta - v_t)dt + xi sqrt(v_t)dW_t^(v,Q) โดยมี d<W^(S,Q), W^(v,Q)>_t = rho dt พารามิเตอร์กำหนดราคาหลักห้าตัวคือ v_0, theta, kappa, xi และ rho

พารามิเตอร์เหล่านี้เป็นพารามิเตอร์ปรับเทียบที่เป็นกลางต่อความเสี่ยง เว้นแต่จะระบุการแปลงค่าชดเชยความเสี่ยงด้านความแปรปรวนจากมาตรวัดเชิงกายภาพเป็นมาตรวัดเป็นกลางต่อความเสี่ยง แบบจำลองสร้างความแปรปรวนสุ่ม สกิวด้านขาลง และผลตามอายุได้ แต่ชุดพารามิเตอร์ที่ปรับให้เข้ากับราคาไม่ใช่ความจริงเพียงหนึ่งเดียวของตลาด ไม่ใช่การพยากรณ์ความผันผวน และไม่พิสูจน์คุณภาพการป้องกันความเสี่ยง

สร้าง ปรับเทียบ และตรวจสอบในเจ็ดขั้นตอน

กำหนดสิทธิเรียกร้อง กฎการใช้สิทธิและการชำระราคา สกุลเงิน เวลาประทับของตลาด ราคาฟอร์เวิร์ด เส้นอัตราคิดลด เงินปันผล ต้นทุนยืม และระบุว่างานใช้มาตรวัดเชิงกายภาพ P หรือมาตรวัดกำหนดราคา Q
ระบุสมการและหน่วย โดย v_0 กับ theta เป็นความแปรปรวนรายปี kappa มีหน่วย 1/year, xi มีหน่วย 1/sqrt(year) และ rho ไม่มีหน่วยโดยอยู่ใน [-1, 1] จัดทำเอกสารการแปลงค่าชดเชยความเสี่ยงด้านความแปรปรวนจาก P เป็น Q
กำหนดให้เครื่องหมายและสหสัมพันธ์อยู่ในช่วงที่ยอมรับได้ แล้วประเมิน 2 kappa theta >= xi^2 กระบวนการรากที่สองแบบแม่นตรงไม่ติดลบ เงื่อนไข Feller ที่เพียงพอเกี่ยวข้องกับการที่ศูนย์ไม่สามารถเข้าถึงได้หรือกระบวนการเป็นบวกอย่างเคร่งครัด ส่วนการไม่ผ่านเงื่อนไขไม่ได้ทำให้ความแปรปรวนแบบแม่นตรงติดลบหรือทำให้ราคาทั้งหมดใช้ไม่ได้
กำหนดแบบแผนฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ เช่น phi(u;T) = E^Q[exp(iu ln S_T)] พร้อมพิกัดลอการิทึมของราคาหรือฟอร์เวิร์ด เครื่องหมายฟูเรียร์ การทำให้ลดทอน การคิดลด กิ่งของรากที่สองเชิงซ้อนและลอการิทึมเชิงซ้อน ขอบเขตอินทิเกรต กริด และค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมรับได้
ทำความสะอาดข้อมูลราคาเสนอซื้อ ราคาเสนอขาย ขนาด ฟอร์เวิร์ด อัตราคิดลด เงินปันผล และเหตุการณ์ของบริษัทที่ตรงเวลากันและซื้อขายได้จริง ตัดราคาที่ล้าสมัย ไขว้กัน ไม่มีขนาด และละเมิดการทำกำไรโดยไร้ความเสี่ยงแบบสถิติตามกฎที่บันทึกไว้ พร้อมระบุว่าฟังก์ชันเป้าหมายให้น้ำหนักด้วยราคา ความผันผวนโดยนัย Vega ส่วนต่างราคา หรือค่าอื่น
ปรับเทียบจากจุดเริ่มต้นหลายจุด และรายงานขอบเขต ค่าปรับ Feller หากใช้ ชุดทางเลือกที่เกือบเหมาะที่สุด ค่าคงเหลือที่ปรับด้วยส่วนต่างราคา สภาพของเกรเดียนต์หรือจาโคเบียน และความไม่เสถียรของพารามิเตอร์ แทนการรายงานเพียง RMSE ค่าเดียว
ตรวจสอบความเท่าเทียมพุท-คอล ขีดจำกัดความผันผวนเชิงกำหนด การลู่เข้าของการหาปริพันธ์และ FFT การสอบทานด้วยวิธีผลต่างจำกัดหรือมอนติคาร์โล อคติของวิธีจำลอง ราคานอกกลุ่มตัวอย่าง และกำไรขาดทุนของการป้องกันความเสี่ยง จากนั้นทดสอบการกระโดด เหตุการณ์ สภาพคล่อง การปรับเทียบใหม่ และการชำระราคา

ตัวอย่างคำนวณสี่กรณี

โมเมนต์และการวินิจฉัย Feller กำหนด v_0 = 0.09, theta = 0.04, kappa = 2, xi = 0.30, rho = -0.70 และ t = 0.5 จะได้ E^Q[v_t] = 0.0583939721, sqrt(E^Q[v_t]) = 0.2416484473 ครึ่งชีวิตของการคืนสู่ค่าเฉลี่ยคือ 0.3465735903 year = 4.1588830834 months และ 2 kappa theta = 0.16 > xi^2 = 0.09 เงื่อนไขที่เพียงพอเป็นจริง แต่ sqrt(E[v_t]) ไม่ใช่ E[sqrt(v_t)] หรือความผันผวนโดยนัยของออปชัน
การสร้างแรงกระทบที่สัมพันธ์กัน เมื่อ rho = -0.70, Z_S = -1.2 และ Z_perp = 0.5 ที่เป็นอิสระ ใช้ Z_v = rho Z_S + sqrt(1 - rho^2)Z_perp = 1.1970714214 สำหรับ S = $100, v = 0.04, r = 4%, q = 1.5%, kappa = 2, theta = 0.04, xi = 0.30 และ Delta t = 1/252 การวินิจฉัยด้วยออยเลอร์อย่างง่ายให้ S_next = $98.4980627429, v_next = 0.0445245047 และ sqrt(v_next) = 0.2110083048 กรณีนี้ตรวจเครื่องหมายและหน่วย แต่ออยเลอร์อย่างง่ายไม่ใช่วิธีที่แนะนำสำหรับระบบใช้งานจริง
ความแปรปรวนสะสมที่คาดหมาย เมื่อใช้ชุดพารามิเตอร์แรกและ T = 1.5 จะได้ E^Q[integral_0^T v_t dt] = theta T + (v_0 - theta)(1 - e^(-kappa T))/kappa = 0.0837553233 variance-years ความแปรปรวนคาดหมายเฉลี่ยคือ 0.0558368822 และรากคือ 0.2362982907 ค่านี้ไม่ใช่ความแปรปรวนที่เกิดขึ้นจริงของเส้นทางหนึ่ง หรือความผันผวนโดยนัยของออปชันที่เสนอราคาโดยตรง
น้ำหนักการปรับเทียบเปลี่ยนผลวินิจฉัย ราคาเสนอสามชุดมีค่าราคาเสนอซื้อ/ราคาเสนอขาย/แบบจำลอง/Vega เท่ากับ (5.10, 5.30, 5.18, 12), (2.00, 2.10, 2.08, 4) และ (0.45, 0.55, 0.60, 1.5) ค่าคงเหลือจากราคากึ่งกลางคือ -0.02, +0.03 และ +0.10 ส่วนค่าคงเหลือที่ปรับด้วยครึ่งหนึ่งของส่วนต่างราคาคือ -0.2, +0.6 และ +2.0 ผลรวมกำลังสองของค่าคลาดเคลื่อนราคาเท่ากับ 0.0113 ค่าที่ถ่วงด้วยส่วนต่างราคาเท่ากับ 4.40 และค่าคงเหลือที่ปรับด้วย Vega เท่ากับ -0.0016667, +0.0075 และ +0.0666667 ในหน่วยทศนิยมของความผันผวน ฟังก์ชันเป้าหมายเปลี่ยนสิ่งที่ตัวหาค่าเหมาะที่สุดมองว่าเป็นข้อผิดพลาดสำคัญ

ความเสี่ยงของแบบจำลอง การปรับเทียบ และการคำนวณ

ปะปนพารามิเตอร์เชิงกายภาพกับพารามิเตอร์เป็นกลางต่อความเสี่ยง หรือละเลยค่าชดเชยความเสี่ยงด้านความแปรปรวน
สับสนระหว่างความแปรปรวนกับความผันผวน หรือแปลงด้วยรากที่สองผิดวิธี
ปะปนหน่วยปี วัน อัตราดอกเบี้ย เงินปันผล และการปรับความผันผวนเป็นรายปี
ใช้ข้อมูลฟอร์เวิร์ด อัตราคิดลด เงินปันผลต่อเนื่อง หรือเงินปันผลไม่ต่อเนื่องผิด
ยอมให้เครื่องหมายพารามิเตอร์ไม่ถูกต้องหรือ rho อยู่นอก [-1, 1]
ถือว่าการไม่ผ่านเงื่อนไข Feller หมายถึงความแปรปรวนแบบแม่นตรงติดลบหรือแบบจำลองใช้ไม่ได้โดยอัตโนมัติ
ใช้เส้นทางออยเลอร์แบบตรงไปตรงมาที่สร้างความแปรปรวนติดลบและผลตอบแทนตามสัญญาที่มีอคติ
ละเลยความต่างด้านอคติและการลู่เข้าระหว่างวิธีตัดค่า QE และวิธีแบบแม่นตรง
ปะปนแบบแผนลอการิทึมราคา ลอการิทึมฟอร์เวิร์ด เครื่องหมายฟูเรียร์ หรือฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ
เลือกกิ่งของรากที่สองหรือลอการิทึมเชิงซ้อนไม่สอดคล้องกันจนเกิด Little Heston Trap
ใช้ขอบเขตอินทิเกรต ความละเอียดการหาปริพันธ์ การทำให้ FFT ลดทอน หรือค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมรับได้ไม่เพียงพอ
ไม่ผ่านการทดสอบความผันผวนเชิงกำหนด ความเท่าเทียมพุท-คอล ความน่าจะเป็น และกลไกอิสระ
ปรับเทียบจากราคาที่ล้าสมัย ไม่พร้อมกัน เป็นเพียงราคาอ้างอิง ไขว้กัน หรือไม่มีขนาด
ป้อนพื้นผิวที่มีการละเมิดการทำกำไรโดยไร้ความเสี่ยงแบบสถิติหรือการบิดเบือนจากเหตุการณ์ของบริษัทเข้าสู่การปรับเทียบ
ถือว่าความคลาดเคลื่อนจากราคากึ่งกลางซื้อขายได้จริงโดยละเลยส่วนต่างราคาและขนาด
สมมติว่าฟังก์ชันเป้าหมายตามราคา IV, Vega และส่วนต่างราคาให้ผลเท่ากัน
เชื่อจุดเริ่มต้นเพียงจุดเดียวทั้งที่มีจุดต่ำสุดเฉพาะที่ ทิศทางราบ และการระบุค่าที่อ่อนแอ
ปรับเข้ากับพื้นผิวเดียวมากเกินไปโดยไม่ตรวจสอบราคาและการป้องกันความเสี่ยงนอกกลุ่มตัวอย่าง
สมมติว่า Heston แบบต่อเนื่องและพารามิเตอร์คงที่สะท้อนการกระโดด เหตุการณ์ การผิดนัด Smile ทั้งหมด และพลวัตพื้นผิวในอนาคต
ละเลยสภาพคล่อง ต้นทุน มาร์จิน การชำระราคาของผลิตภัณฑ์ การควบคุมการปรับเทียบใหม่ และธรรมาภิบาลแบบจำลอง

ความเข้าใจผิดที่พบบ่อย

“Heston พยากรณ์ความผันผวน” แบบจำลองกำหนดพลวัตแบบมีเงื่อนไขหลังเลือกมาตรวัดและพารามิเตอร์
“การไม่ผ่าน Feller ทำให้ความแปรปรวนติดลบและราคาทั้งหมดใช้ไม่ได้” พฤติกรรมขอบเขตแบบแม่นตรงกับการแบ่งช่วงเชิงตัวเลขเป็นคนละประเด็น
“รูปแบบปิดหมายถึงไม่ต้องใช้การคำนวณเชิงตัวเลข” การกำหนดราคา Heston ยังต้องกลับฟังก์ชันลักษณะเฉพาะและใช้การควบคุมเชิงตัวเลข
“ค่าที่ปรับเข้ากับราคาดีที่สุดระบุพลวัตและการป้องกันความเสี่ยงได้เพียงชุดเดียว” ชุดพารามิเตอร์และฟังก์ชันเป้าหมายต่างกันอาจปรับเข้ากับราคาได้ใกล้เคียงกัน
“ความผันผวนสุ่มสะท้อนการทรุดตัวและ Smile ทุกแบบ” Heston มาตรฐานยังเป็นการแพร่แบบต่อเนื่องที่มีพารามิเตอร์คงที่