Modèle de Heston : variance risque-neutre, méthodes numériques et calibration

Auditez Heston à travers les paramètres risque-neutres, les frontières de variance, les chocs corrélés, les conventions de fonction caractéristique, la calibration pondérée par les cotations et la validation numérique.

À des fins éducatives uniquement ; ne constitue ni un conseil en investissement ni une recommandation d’investissement. Les investissements peuvent entraîner des pertes.

Réponse directe

Sous une même mesure risque-neutre Q, le modèle de Heston spécifie dS_t / S_t = (r - q)dt + sqrt(v_t)dW_t^(S,Q) et dv_t = kappa(theta - v_t)dt + xi sqrt(v_t)dW_t^(v,Q), avec d<W^(S,Q), W^(v,Q)>_t = rho dt. Les cinq paramètres de valorisation centraux sont v_0, theta, kappa, xi et rho.

Sauf si une transformation de la prime de risque de variance entre mesure physique et mesure risque-neutre est explicitée, il s’agit de paramètres de calibration risque-neutres. Ils peuvent produire une variance stochastique, un skew baissier et des effets de maturité, mais un jeu calibré ne constitue ni une vérité de marché unique, ni une prévision de volatilité, ni une preuve de la qualité de la couverture.

Construire, calibrer et valider en sept étapes

Fixez la créance, les règles d’exercice et de règlement, la devise, l’horodatage de marché, le forward, la courbe d’actualisation, les dividendes, l’emprunt de titres et le choix entre mesure physique P et mesure de valorisation Q.
Énoncez l’EDS et les unités : v_0 et theta sont des variances annualisées, kappa s’exprime en 1/year, xi en 1/sqrt(year), et rho est sans dimension dans [-1, 1]. Documentez toute transformation de prime de risque de variance de P vers Q.
Imposez des signes et une corrélation admissibles, puis évaluez 2 kappa theta >= xi^2. Le processus exact en racine carrée est non négatif. La condition suffisante de Feller porte sur l’inaccessibilité de zéro ou la stricte positivité ; son non-respect ne rend ni la variance exacte négative ni tous les prix invalides.
Fixez la convention de la fonction caractéristique, par exemple phi(u;T) = E^Q[exp(iu ln S_T)], ainsi que les coordonnées log-prix ou log-forward, le signe de Fourier, l’amortissement, l’actualisation, les branches de la racine carrée et du logarithme complexes, la borne d’intégration, la grille et la tolérance.
Nettoyez des données synchronisées et exécutables de bid, ask, taille, forward, actualisation, dividendes et opérations sur titres. Écartez selon des règles documentées les cotations périmées, croisées, sans taille et les violations d’arbitrage statique ; précisez si l’objectif pondère le prix, la volatilité implicite, le Vega, le spread ou une autre mesure.
Calibrez depuis plusieurs points de départ et communiquez les bornes, les éventuelles pénalités de Feller, les jeux alternatifs presque optimaux, les résidus normalisés par le spread, les gradients ou le conditionnement du Jacobien et l’instabilité des paramètres, plutôt qu’un seul RMSE.
Validez la parité put-call, les limites de volatilité déterministe, la convergence de la quadrature et de la FFT, les contrôles croisés par différences finies ou Monte Carlo, le biais du schéma de simulation, les prix hors échantillon et le P/L de couverture ; soumettez ensuite les sauts, événements, la liquidité, la recalibration et le règlement à des scénarios de stress.

Quatre exemples détaillés

Moments et diagnostic de Feller. Soient v_0 = 0.09, theta = 0.04, kappa = 2, xi = 0.30, rho = -0.70 et t = 0.5. Alors E^Q[v_t] = 0.0583939721 et sqrt(E^Q[v_t]) = 0.2416484473 ; la demi-vie de la variance vaut 0.3465735903 year = 4.1588830834 months, et 2 kappa theta = 0.16 > xi^2 = 0.09. La condition suffisante est satisfaite, mais sqrt(E[v_t]) n’est ni E[sqrt(v_t)] ni une volatilité implicite d’option.
Construction de chocs corrélés. Avec rho = -0.70, Z_S = -1.2 et la variable indépendante Z_perp = 0.5, utilisez Z_v = rho Z_S + sqrt(1 - rho^2)Z_perp = 1.1970714214. Pour S = $100, v = 0.04, r = 4%, q = 1.5%, kappa = 2, theta = 0.04, xi = 0.30 et Delta t = 1/252, un diagnostic d’Euler simple donne S_next = $98.4980627429, v_next = 0.0445245047 et sqrt(v_next) = 0.2110083048. Il vérifie les signes et les unités ; l’Euler simple n’est pas la méthode recommandée en production.
Variance intégrée espérée. Avec le premier jeu de paramètres et T = 1.5, E^Q[integral_0^T v_t dt] = theta T + (v_0 - theta)(1 - e^(-kappa T))/kappa = 0.0837553233 variance-years. La variance moyenne espérée est 0.0558368822, dont la racine carrée vaut 0.2362982907. Ce n’est ni la variance réalisée d’une trajectoire, ni une IV d’option directement cotée.
Les pondérations de calibration modifient le diagnostic. Trois cotations ont pour valeurs bid/ask/modèle/Vega (5.10, 5.30, 5.18, 12), (2.00, 2.10, 2.08, 4) et (0.45, 0.55, 0.60, 1.5). Les résidus au mid sont -0.02, +0.03 et +0.10 ; les résidus normalisés par le demi-spread sont -0.2, +0.6 et +2.0. La SSE sur les prix vaut 0.0113, la SSE pondérée par le spread 4.40, et les résidus normalisés par le Vega valent -0.0016667, +0.0075 et +0.0666667 en décimales de volatilité. La fonction objectif modifie les erreurs que l’optimiseur considère comme importantes.

Risques de modèle, de calibration et numériques

Mélanger paramètres physiques et risque-neutres ou omettre la prime de risque de variance.
Confondre variance et volatilité ou appliquer une conversion par racine carrée incorrecte.
Mélanger les unités annualisées des années, jours, taux, dividendes et volatilités.
Utiliser des données erronées de forward, d’actualisation ou de dividendes continus et discrets.
Autoriser des signes de paramètres invalides ou rho hors de [-1, 1].
Assimiler l’échec de Feller à une variance exacte négative ou à l’invalidité automatique du modèle.
Utiliser des trajectoires d’Euler naïves qui créent une variance négative et des payoffs biaisés.
Ignorer les différences de biais et de convergence entre troncature, QE et schémas exacts.
Mélanger les conventions de log-prix, log-forward, signe de Fourier ou fonction caractéristique.
Choisir des branches incohérentes de la racine carrée ou du logarithme complexes et déclencher la Little Heston Trap.
Utiliser une borne d’intégration, une résolution de quadrature, un amortissement FFT ou une tolérance insuffisants.
Échouer aux tests de volatilité déterministe, de parité put-call, de probabilité et de moteurs indépendants.
Calibrer sur des cotations périmées, asynchrones, indicatives, croisées ou sans taille.
Alimenter la calibration avec une surface déformée par l’arbitrage statique ou des opérations sur titres.
Traiter les erreurs au mid comme exécutables en ignorant le bid-ask et la taille.
Supposer que les objectifs pondérés par le prix, l’IV, le Vega et le spread sont équivalents.
Se fier à un seul point initial malgré les minima locaux, les directions plates et l’identification faible.
Surajuster une surface sans validation hors échantillon des prix et de la couverture.
Supposer que Heston continu à paramètres constants capture les sauts, événements, défauts, tous les smiles et la dynamique future de la surface.
Omettre la liquidité, les coûts, la marge, le règlement du produit, les contrôles de recalibration et la gouvernance du modèle.

Idées reçues courantes

« Heston prédit la volatilité. » Il spécifie une dynamique conditionnelle après le choix de la mesure et des paramètres.
« L’échec de Feller rend la variance négative et tous les prix invalides. » Le comportement exact à la frontière et la discrétisation numérique sont deux questions distinctes.
« Une forme fermée supprime tout calcul numérique. » La valorisation de Heston exige toujours l’inversion de la fonction caractéristique et des contrôles numériques.
« Le meilleur ajustement identifie de façon unique la dynamique et la couverture. » Des jeux de paramètres et des objectifs différents peuvent produire des ajustements similaires.
« La volatilité stochastique capture les krachs et tous les smiles. » Le modèle de Heston standard reste une diffusion continue à paramètres constants.