Hestonモデル：リスク中立分散、数値エンジン、較正

リスク中立パラメータ、分散境界、相関ショック、特性関数の規約、クオート加重較正、数値検証からHestonモデルを監査します。

教育目的のみであり、投資助言ではありません。投資では損失が生じる可能性があります。

直接的な答え

一般的なリスク中立測度 Q の下で、Hestonモデルは dS_t / S_t = (r - q)dt + sqrt(v_t)dW_t^(S,Q) および dv_t = kappa(theta - v_t)dt + xi sqrt(v_t)dW_t^(v,Q) を定め、d<W^(S,Q), W^(v,Q)>_t = rho dt とします。中核となる五つの価格評価パラメータは v_0、theta、kappa、xi、rho です。

実確率測度からリスク中立測度への分散リスクプレミアムの写像を明示しない限り、これらはリスク中立較正パラメータです。確率的分散、下方スキュー、期間効果を生成できますが、適合したパラメータ組は市場の唯一の真実でも、ボラティリティ予測でも、ヘッジ品質の証明でもありません。

構築・較正・検証の七つの手順

請求権、権利行使・決済規則、通貨、市場時刻、フォワード、割引曲線、配当、借株、および実確率測度 P と価格評価測度 Q のどちらを使うかを固定します。
確率微分方程式と単位を明記します。v_0 と theta は年率分散、kappa の単位は 1/year、xi の単位は 1/sqrt(year)、rho は [-1, 1] 内の無次元量です。P から Q への分散リスクプレミアムの写像があれば記録します。
パラメータの符号と相関の許容性を確認し、2 kappa theta >= xi^2 を評価します。厳密な平方根過程は非負です。十分なFeller条件はゼロが到達不能か、過程が狭義に正かに関係しますが、不成立でも厳密な分散が負になるわけでも、すべての価格が無効になるわけでもありません。
phi(u;T) = E^Q[exp(iu ln S_T)] のような特性関数の規約に加え、対数現物価格または対数フォワード座標、Fourier符号、減衰、割引、複素平方根・対数の分岐、積分打切り、グリッド、許容誤差を固定します。
時刻を同期した執行可能な買い気配、売り気配、数量、フォワード、割引、配当、コーポレートアクションのデータを整備します。古いクオート、逆転市場、数量ゼロ、静的裁定違反を文書化した基準で除外し、価格、インプライド・ボラティリティ、Vega、スプレッドなど、目的関数の加重方法を定義します。
複数の初期値から較正し、パラメータ境界、採用したFellerペナルティ、ほぼ同等に最適な代替組、スプレッド基準化残差、勾配またはJacobianの条件、パラメータ不安定性を報告します。単一のRMSEだけで判断しません。
プット・コール・パリティ、決定論的ボラティリティ極限、求積とFFTの収束、有限差分またはMonte Carloとの照合、シミュレーション手法のバイアス、標本外価格とヘッジ損益を検証し、ジャンプ、イベント、流動性、再較正、決済をストレステストします。

四つの計算例

モーメントとFeller診断。 v_0 = 0.09、theta = 0.04、kappa = 2、xi = 0.30、rho = -0.70、t = 0.5 とします。このとき E^Q[v_t] = 0.0583939721、sqrt(E^Q[v_t]) = 0.2416484473、分散の半減期は 0.3465735903 year = 4.1588830834 months、また 2 kappa theta = 0.16 > xi^2 = 0.09 です。十分条件は成立しますが、sqrt(E[v_t]) は E[sqrt(v_t)] でもオプションのインプライド・ボラティリティでもありません。
相関ショックの構成。 rho = -0.70、Z_S = -1.2、独立な Z_perp = 0.5 とし、Z_v = rho Z_S + sqrt(1 - rho^2)Z_perp = 1.1970714214 を使います。S = $100、v = 0.04、r = 4%、q = 1.5%、kappa = 2、theta = 0.04、xi = 0.30、Delta t = 1/252 なら、単純Euler法の診断値は S_next = $98.4980627429、v_next = 0.0445245047、sqrt(v_next) = 0.2110083048 です。符号と単位を確認する例であり、単純Euler法を本番利用に推奨するものではありません。
期待積分分散。 最初のパラメータ組と T = 1.5 を使うと、E^Q[integral_0^T v_t dt] = theta T + (v_0 - theta)(1 - e^(-kappa T))/kappa = 0.0837553233 variance-years です。平均期待分散は 0.0558368822、その平方根は 0.2362982907 です。単一経路の実現分散でも、直接クオートされるオプションIVでもありません。
較正の重みで診断が変わる例。 三つのクオートの買い気配／売り気配／モデル価格／Vegaを (5.10, 5.30, 5.18, 12)、(2.00, 2.10, 2.08, 4)、(0.45, 0.55, 0.60, 1.5) とします。ミッド残差は -0.02、+0.03、+0.10、半スプレッド基準化残差は -0.2、+0.6、+2.0 です。価格SSEは 0.0113、スプレッド加重SSEは 4.40、Vega基準化残差はボラティリティの小数単位で -0.0016667、+0.0075、+0.0666667 です。目的関数により、最適化が重大とみなす誤差が変わります。

モデル、較正、数値計算のリスク

実確率測度とリスク中立パラメータを混同する、または分散リスクプレミアムを欠落させる。
分散とボラティリティを混同する、または平方根変換を誤る。
年、日、金利、配当、ボラティリティの年率単位を混在させる。
フォワード、割引、連続配当、離散配当の入力を誤る。
無効なパラメータ符号を許す、または rho を [-1, 1] の外に置く。
Feller条件の不成立を、厳密な分散が負またはモデルが自動的に無効だと解釈する。
負の分散やペイオフのバイアスを生む素朴なEuler経路を使う。
打切り法、QE法、厳密法のバイアスと収束性の差を無視する。
対数現物、対数フォワード、Fourier符号、特性関数の規約を混在させる。
複素平方根や対数の分岐を一貫させず、Little Heston Trapを引き起こす。
積分打切り、求積解像度、FFT減衰、許容誤差を不適切に設定する。
決定論的ボラティリティ、プット・コール・パリティ、確率、独立エンジンの検証に失敗する。
古い、非同期、参考値、逆転、数量ゼロのクオートを較正する。
静的裁定またはコーポレートアクションの歪みを含むサーフェスを較正に入れる。
ミッド価格誤差を執行可能とみなし、ビッド・アスクと数量を無視する。
価格、IV、Vega、スプレッド加重の目的関数が等価だと仮定する。
局所最小値、平坦な方向、弱い識別があるのに一つの開始点を信頼する。
一つのサーフェスに過剰適合し、標本外価格とヘッジを検証しない。
定数パラメータの連続Hestonがジャンプ、イベント、デフォルト、すべてのスマイル、将来のサーフェス動態を捉えると仮定する。
流動性、コスト、証拠金、商品決済、再較正統制、モデルガバナンスを省く。

よくある誤解

「Hestonはボラティリティを予測する。」 測度とパラメータを選んだ後の条件付き動態を規定するモデルです。
「Feller条件が不成立なら分散は負になり、すべての価格が無効になる。」 厳密な境界挙動と数値離散化は別の問題です。
「閉形式なら数値計算は不要である。」 Heston価格評価にも特性関数の反転と数値統制が必要です。
「最良適合は動態とヘッジを一意に識別する。」 異なるパラメータ組や目的関数が同程度に適合し得ます。
「確率的ボラティリティは暴落とすべてのスマイルを捉える。」 標準Hestonは定数パラメータの連続拡散です。