Hestonモデル：確率的分散、スキュー、較正リスク

教育目的のみであり、投資助言ではありません

直接的な答え

HestonモデルはBlack–Scholesの一定分散を、ランダムで平均回帰し資産価格と相関する分散過程に置き換えます。一般的なリスク中立式は dS = (r − q)S dt + sqrt(v)S dW_S と dv = κ(θ − v)dt + ξsqrt(v)dW_v、dW_S dW_v = ρdtです。

中核パラメータは初期分散v0、長期分散θ、回帰速度κ、分散の変動強度ξ、現物分散相関ρです。スキューと時変分散を生成できますが、較正値は市場の唯一の真実ではありません。

五つのパラメータと曲面

v0は短期、θは長期水準、κは回帰速度、ξは将来分散の幅とスマイル曲率、株式で多い負ρは下落と分散上昇を結び、下方Putを高くします。

期待分散は E[v(t)] = θ + (v0 − θ)e^(−κt)、半減期はln(2)/κ。十分なFeller条件2κθ ≥ ξ²は厳密な正値性に役立ちます。不成立でも直ちに無効ではなく境界・数値法の注意が増えます。連続拡散なのでジャンプ、イベント、費用、流動性は自動的に含まず、パラメータ同士も補償します。

一組のパラメータを読む

v0 = 0.09、θ = 0.04、κ = 2、ξ = 0.30、ρ = −0.70とします。

初期変動性：sqrt(0.09) = 30%。
長期水準：sqrt(0.04) = 20%。
半減期：ln(2)/2 = 0.347年、約4.16カ月。
半年期待分散：0.04 + (0.09 − 0.04)e^(−2×0.5) = 0.0584。
その平方根：sqrt(0.0584) = 24.16%。
Feller：2κθ = 0.16、ξ² = 0.09で成立。

24.16%は期待分散の平方根で、期待ボラティリティではありません。一般にsqrt(E[v]) ≠ E[sqrt(v)]です。負相関は下落時の分散上昇と下方スキューを作り、ρをゼロへ近づけると非対称性、ξを下げると曲率が弱まりやすくなります。

較正と検証のチェックリスト

同時刻の約定可能Bid/Ask、一貫したフォワード、割引、配当を使う。
古い、ゼロBid、交差、裁定境界違反、企業行動異常を規則で除く。
正パラメータに合理的範囲、ρに[−1,1]を設定する。
Vega・スプレッド信頼度で加重し、満期とマネーネス別に誤差を見る。
複数初期値で最適化し、不安定性と近似最適解を報告する。
モデル誤差を市場スプレッドと比較する。
特性関数、積分収束、複素分岐、シミュレーション偏りを確認する。
標本外とヘッジ損益を検証する。
ジャンプ、より負のρ、高いξ、期間断裂、再較正を別々に試す。

よくある誤解

「Hestonは変動性を予測する。」選択パラメータ下の条件動学です。
「適合が良ければヘッジも良い。」過適合と不安定性があります。
「各パラメータに唯一の意味がある。」相互に補償します。
「Feller違反は無効。」境界と数値問題を変えるだけで自動否定ではありません。
「確率的変動性は暴落を含む。」連続経路は価格ジャンプを含みません。
「一回の較正が全商品・全日に使える。」曲面、イベント、流動性、経路依存が変わります。