Heston 모형: 확률적 분산, 스큐와 보정 위험

교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다

직접 답변

Heston 모형은 Black–Scholes의 일정 분산을 무작위이고 평균회귀하며 자산가격과 상관된 분산 과정으로 바꿉니다. 일반적인 위험중립식은 dS = (r − q)S dt + sqrt(v)S dW_S, dv = κ(θ − v)dt + ξsqrt(v)dW_v, 그리고 dW_S dW_v = ρdt입니다.

핵심 매개변수는 초기분산 v0, 장기분산 θ, 회귀속도 κ, 분산 변동 강도 ξ, 현물·분산 상관 ρ입니다. 스큐와 시간가변 분산을 만들 수 있지만 보정된 값은 시장의 유일한 진실이 아닙니다.

다섯 매개변수가 표면을 만드는 방식

v0는 단기, θ는 장기 수준, κ는 회귀속도, ξ는 미래 분산 폭과 스마일 곡률을 좌우합니다. 주식에서 흔한 음의 ρ는 하락과 분산 상승을 연결해 하방 Put 가격을 높입니다.

기대분산은 E[v(t)] = θ + (v0 − θ)e^(−κt), 반감기는 ln(2)/κ입니다. 충분 Feller 조건 2κθ ≥ ξ²는 과정의 엄격한 양수성에 도움이 됩니다. 위반이 자동 무효는 아니지만 경계와 수치법에 더 주의해야 합니다. Heston은 여전히 연속 확산이라 점프, 이벤트, 비용과 유동성을 자동 포함하지 않으며 매개변수끼리 상쇄될 수 있습니다.

한 매개변수 세트 읽기

v0 = 0.09, θ = 0.04, κ = 2, ξ = 0.30, ρ = −0.70을 가정합니다.

초기 변동성: sqrt(0.09) = 30%.
장기 변동성 수준: sqrt(0.04) = 20%.
분산 반감기: ln(2)/2 = 0.347년, 약 4.16개월.
6개월 기대분산: 0.04 + (0.09 − 0.04)e^(−2×0.5) = 0.0584.
그 제곱근: sqrt(0.0584) = 24.16%.
Feller: 2κθ = 0.16, ξ² = 0.09로 조건 충족.

24.16%는 기대분산의 제곱근이지 기대변동성이 아닙니다. 일반적으로 sqrt(E[v]) ≠ E[sqrt(v)]입니다. 음의 상관은 하락 충격과 분산 상승을 묶어 하방 스큐를 가파르게 하며 ρ를 0으로 가까이 하면 비대칭, ξ를 낮추면 곡률이 약해지기 쉽습니다.

보정 및 검증 체크리스트

같은 시각의 실행 가능한 Bid/Ask와 일관된 선도, 할인, 배당을 사용합니다.
오래된 호가, 0 Bid, 교차, 차익경계 위반과 기업행위 이상을 규칙으로 제거합니다.
양수 매개변수에 합리적 범위, ρ에 [−1,1]을 둡니다.
Vega 또는 스프레드 신뢰도로 가중하고 만기·머니니스별 오차를 봅니다.
여러 초기값으로 최적화해 불안정성과 준최적 대안을 보고합니다.
모형 오차를 시장 스프레드와 비교합니다.
특성함수, 적분 수렴, 복소분기와 시뮬레이션 편향을 확인합니다.
표본외와 헤지 손익을 검증합니다.
점프, 더 음의 ρ, 높은 ξ, 기간구조 단절과 재보정을 따로 압박합니다.

흔한 오해

“Heston은 변동성을 예측한다.” 선택한 매개변수 아래 조건부 동학입니다.
“적합이 좋으면 헤지도 좋다.” 과적합과 불안정성이 표본외 성과를 악화시킬 수 있습니다.
“각 매개변수에 하나의 관측 의미가 있다.” 서로 상쇄할 수 있습니다.
“Feller 위반은 무효다.” 경계·수치 문제를 바꾸지만 모든 가격을 자동 부정하지 않습니다.
“확률적 변동성은 폭락을 담는다.” 연속 경로는 불연속 가격점프를 누락합니다.
“한 번의 보정이 모든 상품·날짜에 통한다.” 표면, 이벤트, 유동성과 경로의존이 변합니다.