Heston 모형: 위험중립 분산, 수치 엔진, 캘리브레이션

위험중립 매개변수, 분산 경계, 상관 충격, 특성함수 규약, 호가 가중 캘리브레이션, 수치 검증을 통해 Heston 모형을 점검합니다.

교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다. 투자로 손실이 발생할 수 있습니다.

직접 답변

일반적인 위험중립 측도 Q에서 Heston 모형은 dS_t / S_t = (r - q)dt + sqrt(v_t)dW_t^(S,Q)와 dv_t = kappa(theta - v_t)dt + xi sqrt(v_t)dW_t^(v,Q)를 규정하고, d<W^(S,Q), W^(v,Q)>_t = rho dt로 둡니다. 핵심 가격결정 매개변수 다섯 개는 v_0, theta, kappa, xi, rho입니다.

실제 측도에서 위험중립 측도로 옮기는 분산 위험 프리미엄의 대응 관계를 명시하지 않는 한, 이들은 위험중립 캘리브레이션 매개변수입니다. 확률적 분산, 하방 스큐, 만기 효과를 만들 수 있지만, 적합된 매개변수 집합은 유일한 시장의 진실도, 변동성 예측도, 헤지 품질의 증명도 아닙니다.

일곱 단계로 구축, 캘리브레이션, 검증하기

청구권, 행사 및 결제 규칙, 통화, 시장 시각, 선도가격, 할인곡선, 배당, 주식 대차, 그리고 작업이 실제 측도 P와 가격결정 측도 Q 중 어느 것을 쓰는지 확정합니다.
확률미분방정식과 단위를 명시합니다. v_0와 theta는 연율화 분산이고, kappa의 단위는 1/year, xi의 단위는 1/sqrt(year)이며, rho는 [-1, 1] 범위의 무차원 값입니다. P에서 Q로의 분산 위험 프리미엄 대응 관계가 있다면 기록합니다.
매개변수 부호와 상관계수의 허용성을 확인한 뒤 2 kappa theta >= xi^2를 평가합니다. 정확한 제곱근 과정은 음수가 되지 않습니다. 충분 Feller 조건은 0에 도달할 수 없는지 또는 과정이 엄격히 양수인지와 관련되지만, 조건을 충족하지 않는다고 해서 정확한 분산이 음수가 되거나 모든 가격이 무효가 되는 것은 아닙니다.
phi(u;T) = E^Q[exp(iu ln S_T)] 같은 특성함수 규약과 함께 로그 현물가격 또는 로그 선도가격 좌표, Fourier 부호, 감쇠, 할인, 복소 제곱근과 로그의 분기, 적분 절단점, 격자, 허용오차를 확정합니다.
시각이 일치하고 체결 가능한 매수호가, 매도호가, 수량, 선도, 할인, 배당, 기업행위 자료를 정제합니다. 문서화된 기준에 따라 오래된 호가, 역전 호가, 수량 0인 호가, 정적 무차익 조건 위반을 제거하고 목적함수가 가격, 내재변동성, Vega, 스프레드 또는 다른 기준 중 무엇으로 가중되는지 정합니다.
여러 시작점에서 캘리브레이션하고 매개변수 경계, 사용한 Feller 페널티, 거의 같은 최적값을 내는 대안 집합, 스프레드 표준화 잔차, 기울기 또는 Jacobian의 조건수, 매개변수 불안정성을 보고합니다. 하나의 RMSE만 제시해서는 안 됩니다.
풋-콜 패리티, 결정론적 변동성 극한, 구적법과 FFT 수렴, 유한차분법 또는 Monte Carlo 교차검증, 모의실험 방법의 편향, 표본 외 가격과 헤지 손익을 검증한 뒤 점프, 이벤트, 유동성, 재캘리브레이션, 결제에 스트레스 검사를 수행합니다.

네 가지 계산 예시

모멘트와 Feller 진단. v_0 = 0.09, theta = 0.04, kappa = 2, xi = 0.30, rho = -0.70, t = 0.5로 둡니다. 그러면 E^Q[v_t] = 0.0583939721, sqrt(E^Q[v_t]) = 0.2416484473이고, 분산 반감기는 0.3465735903 year = 4.1588830834 months이며, 2 kappa theta = 0.16 > xi^2 = 0.09입니다. 충분조건은 충족하지만 sqrt(E[v_t])는 E[sqrt(v_t)]도 옵션 내재변동성도 아닙니다.
상관 충격 구성. rho = -0.70, Z_S = -1.2, 독립인 Z_perp = 0.5로 두고 Z_v = rho Z_S + sqrt(1 - rho^2)Z_perp = 1.1970714214를 사용합니다. S = $100, v = 0.04, r = 4%, q = 1.5%, kappa = 2, theta = 0.04, xi = 0.30, Delta t = 1/252일 때 단순 Euler 진단값은 S_next = $98.4980627429, v_next = 0.0445245047, sqrt(v_next) = 0.2110083048입니다. 부호와 단위를 확인하기 위한 예시이며, 단순 Euler를 실무 모형의 권장 방식으로 제시하는 것은 아닙니다.
기대 적분분산. 첫 번째 매개변수 집합과 T = 1.5를 사용하면 E^Q[integral_0^T v_t dt] = theta T + (v_0 - theta)(1 - e^(-kappa T))/kappa = 0.0837553233 variance-years입니다. 평균 기대분산은 0.0558368822이고 그 제곱근은 0.2362982907입니다. 한 경로의 실현분산도 아니고 직접 호가되는 옵션 IV도 아닙니다.
캘리브레이션 가중치가 진단을 바꾸는 예시. 세 호가의 매수호가/매도호가/모형가격/Vega 값은 (5.10, 5.30, 5.18, 12), (2.00, 2.10, 2.08, 4), (0.45, 0.55, 0.60, 1.5)입니다. 중간값 잔차는 -0.02, +0.03, +0.10이고, 반 스프레드 표준화 잔차는 -0.2, +0.6, +2.0입니다. 가격 SSE는 0.0113, 스프레드 가중 SSE는 4.40, Vega 표준화 잔차는 변동성 소수 단위로 -0.0016667, +0.0075, +0.0666667입니다. 목적함수에 따라 최적화기가 심각하게 보는 오차가 달라집니다.

모형, 캘리브레이션, 수치 위험

실제 측도와 위험중립 매개변수를 혼용하거나 분산 위험 프리미엄을 누락하는 위험.
분산과 변동성을 혼동하거나 잘못된 제곱근 변환을 적용하는 위험.
연, 일, 금리, 배당, 변동성의 연율화 단위를 혼용하는 위험.
잘못된 선도, 할인, 연속배당 또는 이산배당 입력을 사용하는 위험.
허용되지 않는 매개변수 부호를 쓰거나 rho를 [-1, 1] 밖에 두는 위험.
Feller 조건 미충족을 정확한 분산이 음수이거나 모형이 자동으로 무효라는 뜻으로 해석하는 위험.
음의 분산과 페이오프 편향을 만드는 단순 Euler 경로를 사용하는 위험.
절단법, QE법, 정확법의 편향과 수렴 차이를 무시하는 위험.
로그 현물가격, 로그 선도가격, Fourier 부호, 특성함수 규약을 혼용하는 위험.
복소 제곱근 또는 로그 분기를 일관되지 않게 선택해 Little Heston Trap을 일으키는 위험.
적분 절단, 구적 해상도, FFT 감쇠 또는 허용오차를 부적절하게 설정하는 위험.
결정론적 변동성, 풋-콜 패리티, 확률, 독립 엔진 검증에 실패하는 위험.
오래되거나 비동기적이거나 참고용이거나 역전되었거나 수량이 0인 호가로 캘리브레이션하는 위험.
정적 차익거래 또는 기업행위 왜곡이 있는 표면을 캘리브레이션에 투입하는 위험.
중간가격 오차를 체결 가능한 오차로 보고 매수-매도 스프레드와 수량을 무시하는 위험.
가격, IV, Vega, 스프레드 가중 목적함수가 서로 동등하다고 가정하는 위험.
국소 최솟값, 평평한 방향, 약한 식별이 있는데도 한 시작점만 신뢰하는 위험.
한 표면에 과대적합하고 표본 외 가격과 헤지를 검증하지 않는 위험.
상수 매개변수 연속 Heston이 점프, 이벤트, 부도, 모든 스마일, 미래 표면 동학을 포착한다고 가정하는 위험.
유동성, 비용, 증거금, 상품 결제, 재캘리브레이션 통제, 모형 거버넌스를 누락하는 위험.

흔한 오해

“Heston은 변동성을 예측한다.” 측도와 매개변수를 선택한 뒤의 조건부 동학을 규정합니다.
“Feller 조건을 충족하지 않으면 분산이 음수가 되고 모든 가격이 무효다.” 정확한 경계 거동과 수치 이산화는 서로 다른 문제입니다.
“폐쇄형 해라면 수치 계산이 필요 없다.” Heston 가격결정에도 특성함수 역변환과 수치 통제가 필요합니다.
“최적 적합은 동학과 헤지를 유일하게 식별한다.” 서로 다른 매개변수 집합과 목적함수가 비슷한 적합도를 낼 수 있습니다.
“확률적 변동성은 급락과 모든 스마일을 포착한다.” 표준 Heston은 여전히 상수 매개변수의 연속 확산 모형입니다.