Modelo Heston: variancia neutra ao risco, motores numericos e calibracao

Audite Heston por parametros neutros ao risco, limites da variancia, choques correlacionados, convencoes da funcao caracteristica, calibracao ponderada por cotacoes e validacao numerica.

Somente para fins educacionais; nao constitui recomendacao nem aconselhamento de investimento. Investir pode causar perdas.

Resposta direta

Sob uma medida neutra ao risco comum Q, o modelo Heston especifica dS_t / S_t = (r - q)dt + sqrt(v_t)dW_t^(S,Q) e dv_t = kappa(theta - v_t)dt + xi sqrt(v_t)dW_t^(v,Q), com d<W^(S,Q), W^(v,Q)>_t = rho dt. Os cinco parametros de precificacao sao v_0, theta, kappa, xi e rho.

Eles sao parametros neutros ao risco, salvo se houver mapeamento fisico-neutro por premio de risco de variancia. Podem gerar variancia estocastica, skew de baixa e efeitos de prazo, mas um conjunto ajustado nao e verdade unica do mercado, previsao de volatilidade ou prova de qualidade do hedge.

Construa, calibre e valide em sete etapas

Fixe o direito contratual, regras de exercicio e liquidacao, moeda, horario de mercado, forward, curva de desconto, dividendos, aluguel e se a tarefa usa medida fisica P ou de precificacao Q.
Declare SDE e unidades: v_0 e theta sao variancias anualizadas, kappa tem unidades 1/year, xi tem 1/sqrt(year) e rho e adimensional em [-1, 1]. Documente qualquer mapeamento P para Q do premio de risco de variancia.
Exija sinais e correlacao admissiveis e avalie 2 kappa theta >= xi^2. O processo exato de raiz quadrada e nao negativo; a condicao suficiente de Feller trata de zero ser inatingivel ou da positividade estrita, enquanto a falha nao torna negativa a variancia exata nem invalida todo preco.
Fixe a convencao da funcao caracteristica, como phi(u;T) = E^Q[exp(iu ln S_T)], junto a coordenadas log-price ou log-forward, sinal de Fourier, amortecimento, desconto, ramos complexos de raiz e logaritmo, corte de integracao, grade e tolerancia.
Limpe bid, ask, tamanho, forward, desconto, dividendos e eventos societarios sincronizados e executaveis. Remova por regras documentadas dados obsoletos, cruzados, sem tamanho e com arbitragem estatica; defina se o objetivo pondera preco, IV, Vega, spread ou outra medida.
Calibre a partir de varios inicios e relate limites, penalidades Feller, conjuntos quase otimos, residuos normalizados por spread, gradientes ou condicionamento do Jacobiano e instabilidade de parametros, nao apenas um RMSE.
Valide paridade put-call, limites de volatilidade determinista, convergencia de quadratura e FFT, verificacoes por diferencas finitas ou Monte Carlo, vies do esquema, precos fora da amostra e P/L de hedge; estresse saltos, eventos, liquidez, recalibracao e liquidacao.

Quatro exemplos desenvolvidos

Momentos e diagnostico Feller. Considere v_0 = 0.09, theta = 0.04, kappa = 2, xi = 0.30, rho = -0.70 e t = 0.5. Entao E^Q[v_t] = 0.0583939721, sqrt(E^Q[v_t]) = 0.2416484473, a meia-vida e 0.3465735903 year = 4.1588830834 months e 2 kappa theta = 0.16 > xi^2 = 0.09. A condicao suficiente vale, mas sqrt(E[v_t]) nao e E[sqrt(v_t)] nem IV de uma opcao.
Construcao de choques correlacionados. Com rho = -0.70, Z_S = -1.2 e o independente Z_perp = 0.5, use Z_v = rho Z_S + sqrt(1 - rho^2)Z_perp = 1.1970714214. Para S = $100, v = 0.04, r = 4%, q = 1.5%, kappa = 2, theta = 0.04, xi = 0.30 e Delta t = 1/252, um diagnostico Euler simples da S_next = $98.4980627429, v_next = 0.0445245047 e sqrt(v_next) = 0.2110083048. Verifica sinal e unidades; Euler simples nao e recomendacao de producao.
Variancia integrada esperada. Com o primeiro conjunto e T = 1.5, E^Q[integral_0^T v_t dt] = theta T + (v_0 - theta)(1 - e^(-kappa T))/kappa = 0.0837553233 variance-years. A variancia media esperada e 0.0558368822, com raiz 0.2362982907. Nao e variancia realizada de um caminho nem IV cotada diretamente.
Pesos mudam o diagnostico. Tres cotacoes tem bid/ask/modelo/Vega (5.10, 5.30, 5.18, 12), (2.00, 2.10, 2.08, 4) e (0.45, 0.55, 0.60, 1.5). Residuos no midpoint sao -0.02, +0.03 e +0.10; normalizados pelo semispread, -0.2, +0.6 e +2.0. A SSE de preco e 0.0113, a SSE por spread 4.40 e residuos por Vega -0.0016667, +0.0075 e +0.0666667 decimais de volatilidade. O objetivo muda qual erro o otimizador considera grave.

Riscos de modelo, calibracao e numericos

Misturar parametros fisicos e neutros ao risco ou omitir premio de risco de variancia.
Confundir variancia e volatilidade ou aplicar conversao de raiz errada.
Misturar unidades anualizadas de ano, dia, taxa, dividendo e volatilidade.
Usar forward, desconto ou dividendos continuos ou discretos errados.
Permitir sinais invalidos ou rho fora de [-1, 1].
Tratar falha de Feller como variancia exata negativa ou invalidade automatica.
Usar Euler ingenuo que cria variancia negativa e payoffs enviesados.
Ignorar vies e convergencia entre truncamento, QE e esquemas exatos.
Misturar convencoes log-price, log-forward, sinal Fourier ou funcao caracteristica.
Escolher ramos complexos incoerentes e acionar Little Heston Trap.
Usar corte, resolucao, damping FFT ou tolerancia insuficientes.
Falhar limites deterministas, paridade, probabilidade e testes independentes.
Calibrar cotacoes obsoletas, assincronas, indicativas, cruzadas ou sem tamanho.
Alimentar calibracao com superficie de arbitragem estatica ou distorcao societaria.
Tratar erros no midpoint como executaveis ignorando bid-ask e tamanho.
Supor equivalentes objetivos por preco, IV, Vega e spread.
Confiar em um inicio apesar de minimos locais, direcoes planas e identificacao fraca.
Sobreajustar uma superficie sem validacao de preco e hedge fora da amostra.
Supor que Heston continuo constante captura saltos, eventos, default, todos os sorrisos e dinamica futura.
Omitir liquidez, custos, margem, liquidacao, controles de recalibracao e governanca.

Equivocos comuns

“Heston preve volatilidade.” Especifica dinamica condicional apos escolher medida e parametros.
“Falhar Feller torna a variancia negativa e invalida precos.” Limite exato e discretizacao numerica sao temas distintos.
“Forma fechada significa sem numerica.” Precificacao ainda exige inversao da funcao caracteristica e controles numericos.
“O melhor ajuste identifica unicamente dinamica e hedge.” Diferentes conjuntos e objetivos podem ajustar de modo semelhante.
“Volatilidade estocastica captura crashes e todo sorriso.” Heston padrao continua sendo difusao continua de parametros constantes.