Модель Хестона: риск-нейтральная дисперсия, численные методы и калибровка

Проверяйте Хестона через риск-нейтральные параметры, границы дисперсии, коррелированные шоки, соглашения характеристической функции, взвешенную по котировкам калибровку и численную валидацию.

Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.

Краткий ответ

В распространенной спецификации под риск-нейтральной мерой Q модель Хестона задает dS_t / S_t = (r - q)dt + sqrt(v_t)dW_t^(S,Q) и dv_t = kappa(theta - v_t)dt + xi sqrt(v_t)dW_t^(v,Q), где d<W^(S,Q), W^(v,Q)>_t = rho dt. Пять основных параметров ценообразования — v_0, theta, kappa, xi и rho.

Это риск-нейтральные калибровочные параметры, если явно не задан переход от физической меры к риск-нейтральной через премию за риск дисперсии. Они способны создавать стохастическую дисперсию, нисходящий скью и срочные эффекты, но подобранная совокупность не является единственной истиной о рынке, прогнозом волатильности или доказательством качества хеджирования.

Построение, калибровка и проверка в семь шагов

Зафиксируйте требование, правила исполнения и расчетов, валюту, рыночную временную метку, форвард, кривую дисконтирования, дивиденды, заем и используемую меру: физическую P или ценовую Q.
Запишите SDE и единицы: v_0 и theta — годовые дисперсии, kappa имеет размерность 1/year, xi — 1/sqrt(year), а безразмерный rho лежит в [-1, 1]. Документируйте переход премии за риск дисперсии из P в Q.
Потребуйте допустимые знаки и корреляцию, затем проверьте 2 kappa theta >= xi^2. Точный корневой процесс неотрицателен; достаточное условие Феллера определяет недостижимость нуля или строгую положительность, а его невыполнение не делает точную дисперсию отрицательной и не аннулирует все цены.
Зафиксируйте соглашение характеристической функции, например phi(u;T) = E^Q[exp(iu ln S_T)], координаты логарифма цены или форварда, знак Фурье, затухание, дисконтирование, ветви комплексных квадратного корня и логарифма, предел интегрирования, сетку и допуск.
Очистите синхронные исполнимые данные бид, аск, размера, форварда, дисконта, дивидендов и корпоративных событий. По документированным правилам удалите устаревшие, пересеченные, нулевого размера котировки и нарушения статического арбитража; определите веса по цене, подразумеваемой волатильности, веге, спреду или иной величине.
Калибруйте из нескольких начальных точек и сообщайте границы, штрафы Феллера, если они применяются, альтернативные почти оптимальные наборы, нормированные на спред остатки, обусловленность градиента или якобиана и нестабильность параметров, а не только один RMSE.
Проверяйте паритет пут-колл, предел детерминированной волатильности, сходимость квадратуры и FFT, сверки методом конечных разностей или Монте-Карло, смещение схем моделирования, цены и P/L хеджа вне выборки, затем стрессируйте скачки, события, ликвидность, повторную калибровку и расчеты.

Четыре расчетных примера

Моменты и диагностика Феллера. Пусть v_0 = 0.09, theta = 0.04, kappa = 2, xi = 0.30, rho = -0.70 и t = 0.5. Тогда E^Q[v_t] = 0.0583939721, sqrt(E^Q[v_t]) = 0.2416484473, период полураспада равен 0.3465735903 year = 4.1588830834 months, а 2 kappa theta = 0.16 > xi^2 = 0.09. Достаточное условие выполнено, но sqrt(E[v_t]) не равно E[sqrt(v_t)] и не является подразумеваемой волатильностью опциона.
Построение коррелированного шока. При rho = -0.70, Z_S = -1.2 и независимом Z_perp = 0.5 используйте Z_v = rho Z_S + sqrt(1 - rho^2)Z_perp = 1.1970714214. Для S = $100, v = 0.04, r = 4%, q = 1.5%, kappa = 2, theta = 0.04, xi = 0.30 и Delta t = 1/252 простая диагностика Эйлера дает S_next = $98.4980627429, v_next = 0.0445245047 и sqrt(v_next) = 0.2110083048. Это проверка знаков и единиц; простой Эйлер не рекомендуется для промышленного применения.
Ожидаемая интегрированная дисперсия. Для первого набора параметров и T = 1.5 получаем E^Q[integral_0^T v_t dt] = theta T + (v_0 - theta)(1 - e^(-kappa T))/kappa = 0.0837553233 variance-years. Средняя ожидаемая дисперсия равна 0.0558368822, ее корень — 0.2362982907. Это не реализованная дисперсия отдельной траектории и не котируемая непосредственно IV опциона.
Веса калибровки меняют диагноз. Три котировки имеют значения бид/аск/модель/вега (5.10, 5.30, 5.18, 12), (2.00, 2.10, 2.08, 4) и (0.45, 0.55, 0.60, 1.5). Остатки относительно середины равны -0.02, +0.03 и +0.10, а нормированные на полуспред — -0.2, +0.6 и +2.0. Ценовая SSE равна 0.0113, взвешенная по спреду SSE — 4.40, остатки, нормированные на вегу, — -0.0016667, +0.0075 и +0.0666667 в десятичных единицах волатильности. Целевая функция меняет значимость ошибки для оптимизатора.

Модельные, калибровочные и численные риски

Смешение физических и риск-нейтральных параметров или пропуск премии за риск дисперсии.
Смешение дисперсии с волатильностью или неверное извлечение квадратного корня.
Смешение единиц года, дня, ставок, дивидендов и годовой волатильности.
Неверные форвард, дисконт, непрерывные или дискретные дивиденды.
Недопустимые знаки параметров или выход rho за [-1, 1].
Трактовка невыполнения Феллера как отрицательной точной дисперсии или автоматической непригодности модели.
Наивные траектории Эйлера, создающие отрицательную дисперсию и смещенные выплаты.
Игнорирование различий смещения и сходимости между усечением, QE и точными схемами.
Смешение координат лог-цены, лог-форварда, знака Фурье или соглашений характеристической функции.
Несогласованные ветви комплексных корня или логарифма, вызывающие «малую ловушку Хестона».
Недостаточный предел интегрирования, разрешение квадратуры, затухание FFT или допуск.
Провал тестов детерминированной волатильности, паритета, вероятности и независимого движка.
Калибровка по устаревшим, асинхронным, индикативным, пересеченным или нулевого размера котировкам.
Подача в калибровку поверхности с нарушениями статического арбитража или искажениями корпоративных событий.
Трактовка ошибок относительно середины как исполнимых при игнорировании спреда и размера.
Предположение об эквивалентности целей по цене, IV, веге и спреду.
Доверие одной начальной точке при локальных минимумах, плоских направлениях и слабой идентификации.
Переобучение на одной поверхности без проверки цен и хеджа вне выборки.
Предположение, что непрерывный Хестон с постоянными параметрами отражает скачки, события, дефолт, все улыбки и будущую динамику поверхности.
Пропуск ликвидности, затрат, маржи, расчетов по продукту, контроля повторной калибровки и управления моделью.

Распространенные заблуждения

“Хестон предсказывает волатильность.” Он задает условную динамику после выбора меры и параметров.
“Невыполнение Феллера делает дисперсию отрицательной, а все цены недействительными.” Точное поведение на границе и численная дискретизация — разные вопросы.
“Закрытая форма исключает численные методы.” Ценообразование Хестона все равно требует обращения характеристической функции и численного контроля.
“Лучшая подгонка однозначно определяет динамику и хедж.” Разные параметры и целевые функции могут давать сходную подгонку.
“Стохастическая волатильность отражает крахи и любую улыбку.” Стандартный Хестон остается непрерывной диффузией с постоянными параметрами.