Heston 模型：隨機變異數、偏斜與校準風險

僅供教育參考，不構成投資建議

直接答案

Heston 模型用隨機、均值回歸且與資產價格相關的變異數過程，取代 Black–Scholes 的固定變異數。常見風險中性形式為 dS = (r − q)S dt + sqrt(v)S dW_S，以及 dv = κ(θ − v)dt + ξsqrt(v)dW_v，其中 dW_S dW_v = ρdt。

核心參數是初始變異數 v0、長期變異數 θ、回歸速度 κ、變異數波動強度 ξ 及現價—變異數相關係數 ρ。它能產生偏斜和時變變異數，但校準參數不是市場唯一真相。

五個參數如何塑造曲面

v0 錨定短期，θ 是長期回歸水準，κ 決定速度，ξ 拓寬未來變異數分布並增加曲率，股票市場常見負 ρ 將下跌與變異數上升連結，使下行 Put 更貴。

預期變異數為 E[v(t)] = θ + (v0 − θ)e^(−κt)，半衰期為 ln(2)/κ。充分 Feller 條件 2κθ ≥ ξ² 有助過程保持嚴格正值；不滿足不代表所有價格無效，但邊界與數值方法需更謹慎。Heston 仍是連續擴散，未自動涵蓋跳躍、事件、成本和流動性，參數也會互相補償。

讀取一組參數

假設 v0 = 0.09、θ = 0.04、κ = 2、ξ = 0.30、ρ = −0.70：

初始波動率：sqrt(0.09) = 30%。
長期波動率水準：sqrt(0.04) = 20%。
半衰期：ln(2)/2 = 0.347 年，約 4.16 個月。
半年預期變異數：0.04 + (0.09 − 0.04)e^(−2×0.5) = 0.0584。
其平方根：sqrt(0.0584) = 24.16%。
Feller：2κθ = 0.16，ξ² = 0.09，條件成立。

24.16% 是預期變異數的平方根，不是預期波動率；一般 sqrt(E[v]) ≠ E[sqrt(v)]。負相關使下跌衝擊伴隨變異數上升；把 ρ 調向零會減弱不對稱，降低 ξ 通常減小微笑曲率。

校準與驗證清單

使用同步可成交 Bid/Ask，統一遠期、折現、股息和時點。
按規則清理陳舊、零 Bid、交叉、違反套利邊界和公司行動異常報價。
為正參數設合理範圍，ρ 限於 [−1,1]。
依 Vega 或價差可靠性加權，按期限與價性檢查誤差。
從多個初值最佳化，報告參數不穩與近似最優替代組。
將模型誤差與市場價差比較。
檢查特徵函數、積分收斂、複數分支與模擬偏差。
做樣本外及避險損益驗證。
獨立壓測跳躍、更負 ρ、更高 ξ、期限斷裂及重新校準。

常見誤區

「Heston 預測波動率。」它在參數給定後規定條件動態。
「擬合更好就避險更好。」過度擬合與不穩參數會惡化樣本外結果。
「每個參數有唯一可觀察含義。」參數會互相補償。
「違反 Feller 就無效。」它改變邊界與數值問題，不自動否定全部價格。
「隨機波動率捕捉崩盤。」連續路徑仍遺漏跳躍。
「一次校準適用所有商品與日期。」曲面、事件、流動性和路徑依賴都會改變。