バタフライ裁定：行使価格の凸性、加重スプレッド、執行

等間隔・不等間隔のバタフライでヨーロピアン・コール価格の凸性を検証し、板の厚み、費用、決済、口座制約を踏まえて、フィット値や中値の違反と執行可能な静的裁定を区別します。

教育目的のみであり、投資助言ではありません。投資では損失が生じる可能性があります。

直接回答

同一の原資産と満期を持ち、条件が一致するヨーロピアン・コールでは、無裁定価格は行使価格に対して非増加かつ凸でなければなりません。行使価格が等間隔で K_1 = K − h、K_2 = K、K_3 = K + h のとき、ロング +1:−2:+1 コール・バタフライの費用は B = C(K_1) − 2C(K_2) + C(K_3) で、満期ペイオフは非負です。したがって摩擦のないモデルでは B ≥ 0 です。

負のフィット値や中値は診断にすぎません。執行可能な静的裁定には、買う両ウイングの同期した売気配、売る胴体コール2枚の買気配、十分な数量、一致する契約仕様が必要であり、手数料、取引所費用、資金調達、証拠金、税、決済費用を差し引いても初期純受取額が正でなければなりません。組合せの満期ペイオフが非負でも、アメリカン行使、現物受渡し、部分アサインメント、レッグ執行、ブローカーによる強制清算は途中の義務を生じさせます。

凸性と執行を検証する7段階

一致する一組の請求権を固定する。 原資産、オプション・ルート、コール側、K_1 < K_2 < K_3、満期、行使方式、決済、乗数、受渡物、調整状況、通貨、取引所、気配時刻、公式終値の定義を記録します。仕様の異なるコールを一つの静的凸性検証に使うことはできません。
行使価格の幾何構造を正規化する。 等間隔では K_2 − K_1 = K_3 − K_2 を要求し、比率 +1:−2:+1 を使います。不等間隔では w = (K_3 − K_2) ÷ (K_3 − K_1) と定義し、C(K_2) ≤ wC(K_1) + (1 − w)C(K_3) を検証します。等価な整数数量は (K_3 − K_2):−(K_3 − K_1):(K_2 − K_1) に比例し、可能なら公約数で約分します。
調査用評価値と執行可能な価格方向を分ける。 同期した気配と条件を使います。ロング・バタフライは正の両ウイングを売気配で買い、負の胴体コールを買気配で売ります。最終約定、異なる時刻の気配、理論値、中値はサーフェス診断には使えても受取額を立証しません。
領域別に満期ペイオフを証明する。 S_T ≤ K_1、K_1 < S_T ≤ K_2、K_2 < S_T < K_3、S_T ≥ K_3 を、正確な比率と公式 S_T を用いて評価します。等間隔では両裾がゼロで、ピークは h、その位置は K_2 となり、不等間隔の加重構成も両裾がゼロで内側は非負です。
優位性を口座で執行可能な現金に換算する。 符号付き純クレジットに実際の乗数と完全なパッケージ数量を掛け、建玉時と予想ライフサイクル費用をすべて差し引きます。全レッグの同時板数量で取引量を制限し、比率、建玉制限、証拠金、資本、借入れ、ブローカー権限を守ります。
ライフサイクルの破綻をストレス検証する。 複合注文の拒否、部分約定、レッグ執行、気配取消、取引停止、アメリカンの早期・部分アサインメント、自動権利行使、反対指図、現物株式と行使代金、公式現金決済、調整、ブローカー清算を検証します。非負の満期恒等式が各レッグを実務上連動させるわけではありません。
照合して証拠を保存する。 元の気配、フィードまたは取引所、時刻、数量、注文比率、指値、約定、費用、アサインメント・決済書類、税務ロット、残存ポジションを保存します。完成パッケージを再評価し、フィット形状の違反、執行可能な気配機会、受理された注文、完全決済後の実現結果を区別します。

計算例

中値違反と執行可能パッケージ。 等間隔の行使価格を K_1 = $90、K_2 = $100、K_3 = $110 とします。コール中値 $15.00、$10.00、$4.00 は B_mid = $15.00 − 2 × $10.00 + $4.00 = −$1.00、すなわち理論上 $100 のクレジットを示し、乗数は 100 です。満期ペイオフは $10 × 100 = $1,000 でピークとなり、その位置は S_T = $100 です。しかしウイングの売気配 $15.30 と $4.25、胴体の買気配 $9.75 では B_exec = $15.30 − 2 × $9.75 + $4.25 = $0.05、すなわち $5 のデビットです。中値曲線は凸性に違反しますが、この執行可能な価格方向には裁定がありません。
不等間隔行使価格と整数比率。 K_1 = $90、K_2 = $100、K_3 = $115 とします。w = ($115 − $100) ÷ ($115 − $90) = 0.60 なので、凸な曲線は C($100) ≤ 0.60C($90) + 0.40C($115) を満たします。同期した執行可能値が C($90) = $16.00、C($100) = $11.20、C($115) = $3.00 なら右辺は $10.80 で、正規化された違反は $0.40 です。取引比率は +15:−25:+10 から +3:−5:+2 に約分され、費用は 3 × $16.00 − 5 × $11.20 + 2 × $3.00 = −$2.00、すなわち $200 のクレジットで、乗数は 100 です。非負ペイオフは $30 × 100 = $3,000 のピークとなり、その位置は S_T = $100 です。
完全に執行可能なヨーロピアン現金決済例。 一致するヨーロピアン現金決済コールの同期 +1:−2:+1 複合注文が $0.12 のクレジット、乗数 100 で約定したとします。総受取額は $0.12 × 100 = $12 です。4枚の約定費用が各 $1 per contract なら初期純受取額は $12 − $4 = $8 です。S_T = $103 のとき、行使価格 100/105/110 の満期オプション・ペイオフは ($103 − $100) × 100 = $300、税引前合計は $8 + $300 = $308 です。いずれの裾でもペイオフはゼロで $8 が残ります。これは明示した一致性、執行可能性、資金調達、回収可能性の仮定下でのみ裁定です。
板数量が実現可能規模を制限する。 複合気配は $0.15 のクレジットを示しますが、同期表示数量は下側ウイング4枚、中央コール12枚、上側ウイング10枚です。したがって +1:−2:+1 の比率では10組でなく min(4, 12 ÷ 2, 10) = 4 組だけが完成します。総クレジットは 4 × $0.15 × 100 = $60 です。1枚当たりの費用が $0.65 per contract、契約総数が 4 × 4 = 16 なら、費用は $10.40、残額は $60 − $10.40 = $49.60 です。残る6組の執行可能性は立証されず、胴体コールを先に売ればヘッジされていないショート・コールが残ります。

リスクと検証統制

原資産、ルート、コール側、満期、行使方式、決済、乗数、受渡物、通貨、調整状況を一致させます。
等間隔比率または加重比率を選ぶ前に、行使価格の順序と正確な間隔を確認します。
不等間隔比率はペイオフの重みを変えず、有効な整数契約数に約分します。
買うコールには同期した執行可能な売気配、売るコールには買気配を使い、中値や最終約定を使いません。
気配の出所、取引所、時刻、セッション、条件、表示数量、遅延を記録します。
完全パッケージの板数量を確認します。等間隔バタフライでは胴体に1組当たり2枚が必要です。
利用可能なら比率の正しい複合注文を出します。レッグ執行はデルタ、ガンマ、ベガ、ギャップのリスクを生じさせます。
注文受理と完全約定を区別します。部分約定は裸のショート・コールを残すことがあります。
委託、取引所、清算、ルーティング、資金調達、決済、税の費用を含めます。
戦略・ポートフォリオ・ブローカー独自の証拠金処理を確認します。資本使用額は初期優位性を上回り得ます。
建玉・行使制限、口座権限、集中度、ブローカーの強制清算方針を確認します。
アメリカンかヨーロピアンかという行使方式と、現物・現金・先物決済を分けます。
ショート胴体コールの早期・部分アサインメントをモデル化します。ロング・ウイングは自動的には機能しません。
自動権利行使、反対指図、ブローカー締切、ピンリスク、時間外変動を確認します。
契約に基づき S_T を定義します。終値、リアルタイム指数、ETF、先物価格は公式決済値と一致しない場合があります。
株式分割、合併、分配その他の受渡物調整後に再計算します。
負のフィット密度は、執行可能な気配で確認されるまではモデルまたはデータの診断として扱います。
生データと不確実性を隠さず、サーフェスの単調減少、凸性、カレンダー整合性を適用します。
古い気配、クロス市場、取引停止、寄付き遅延、訂正、退出不能をストレス検証します。
最終書類後にプレミアム、株式、行使代金、決済、証拠金、担保、費用、税務ロットを照合します。

よくある誤解

「中値バタフライが負なら無料の利益である。」 中値は執行できず、同期した自然な価格方向では見かけのクレジットがデビットに変わり得ます。
「+1:−2:+1 は任意の三つの行使価格に使える。」 等間隔が必要です。不等間隔では、多数の契約を要することもある加重比率を使います。
「満期ペイオフが非負ならすべてのリスクが消える。」 部分約定、アサインメント、資金、証拠金、決済、ブローカー、税のリスクが残ります。
「負のフィット密度は取引の存在を証明する。」 平滑化、補間、古い気配、クロス気配が、執行可能なパッケージなしに診断上の違反を生むことがあります。
「小さな優位性も表示価格で拡大できる。」 最も薄いレッグと正確な比率が同期数量を制限し、費用と市場インパクトが優位性を消し得ます。

権威ある情報源

Prices of State-Contingent Claims Implicit in Option Prices - モデル仮定下で、行使価格微分、状態価格、非負密度を結び付ける基礎研究です。
Nonparametric Option Pricing under Shape Restrictions - 執行可能な取引の証拠ではなく、形状制約を用いたオプション価格曲線の推定です。
Long Call Butterfly - 一致する等幅ウイング戦略とライフサイクル・リスクに関するOptions Industry Councilの説明です。
Characteristics and Risks of Standardized Options - 標準化オプションの権利、義務、リスクに関するOCCの開示です。
OCC By-Laws & Rules - 行使、アサインメント、清算、決済に関するOCC規則です。
Cboe Titanium U.S. Options Complex Book Process - Cboe固有の複合比率、オークション、パッケージ処理、部分執行です。
4210. Margin Requirements - FINRAの規制証拠金要件とオプション・スプレッド規定です。
S&P 500 Index Options Product Specifications - SPX固有の行使、決済、乗数、取引慣行です。