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Zomma : comment la volatilité implicite modifie Gamma

Définir précisément Zomma, normaliser son signe et ses unités, le vérifier par différences finies et effectuer une revalorisation complète lors de fortes variations de volatilité ou de surface.

Mis à jour

Contenu éducatif uniquement ; ne constitue pas un conseil individuel en investissement, juridique ou fiscal. Les options comportent des risques et peuvent entraîner des pertes.

Réponse directe

Zomma est la dérivée partielle du Gamma d’une option par rapport à une entrée donnée de volatilité implicite, les autres paramètres du modèle de valorisation étant maintenus constants :

Zomma = ∂Gamma/∂σ = ∂³V/(∂S²∂σ)

Gamma décrit la variation locale de Delta pour un petit mouvement du sous-jacent ; Zomma décrit la variation locale de ce Gamma pour un petit mouvement de l’IV. C’est une sensibilité d’ordre supérieur dépendante du modèle, et non un flux négociable séparément, une prévision de l’IV ou une garantie du Gamma après un mouvement important du marché.

Périmètre : les formules ci-dessous décrivent un modèle Black–Scholes européen avec S > 0, K > 0, σ > 0 et T > 0, capitalisation et rendement du dividende continus, et volatilité constante. Elles ne couvrent pas à elles seules l’exercice américain, les dividendes discrets, les sauts, les barrières ou une surface mobile. L’exemple n’est ni une cotation ni un calcul de compte. Les documents FINRA et OCC concernent les options cotées aux États-Unis ; produits, règles, autorisations, marge, fiscalité et disponibilité juridique varient selon le compte, la juridiction et la date. Aucune donnée de marché en direct ni donnée client n’est utilisée. Consulter les documents officiels à jour et des professionnels qualifiés.

Formule, signe et unités

Pour une option européenne de type Black-Scholes à capitalisation continue avec un rendement en dividende q :

Gamma = e^(−qT) φ(d₁) / (Sσ√T)

Zomma = Gamma × (d₁d₂ − 1) / σ

où :

d₁ = [ln(S/K) + (r − q + σ²/2)T] / (σ√T)

d₂ = d₁ − σ√T

Dans ce modèle, les Calls et Puts de même prix d’exercice et de même échéance ont le même Gamma et le même Zomma. Près de l’ATM, d₁d₂ est souvent inférieur à 1, donc Zomma est généralement négatif : une IV plus élevée répartit la transition de Delta sur une plage de prix plus large et réduit le pic de Gamma. Loin de l’ATM, le signe peut changer. C’est un résultat du modèle, pas une règle empirique universelle.

Les unités doivent être explicites. Si Gamma est la variation de Delta par mouvement de $1 du sous-jacent et σ l’IV annualisée en décimal, Zomma est la variation de Gamma pour une variation d’IV de 1.00. Un affichage par point de volatilité (1% = 0.01) indique Zomma_decimal / 100. Les fournisseurs peuvent aussi mettre à l’échelle Gamma, le mouvement spot, le multiplicateur ou la quantité ; leurs valeurs brutes ne sont pas comparables sans convention.

Zomma est une dérivée partielle : spot, temps, taux, dividendes et nœuds de surface non choqués restent fixes. Sur le marché, ces facteurs peuvent évoluer ensemble. Relation spot-IV, changements de skew et de structure par terme, passage du temps, sauts et exercice anticipé peuvent dominer la sensibilité isolée.

Estimation locale et revalorisation complète

Supposons qu’une option ait :

  • Gamma 0.040 par mouvement de $1 du sous-jacent ;
  • Zomma −0.060 par 1.00 décimal IV ;
  • multiplicateur standard 100.

Pour une petite augmentation IV de 40% à 41%, Δσ = +0.01 :

ΔGamma ≈ Zomma × Δσ = −0.060 × 0.01 = −0.0006

Le nouveau Gamma estimé est 0.0394. Pour un contrat standard, la variation de Delta mise à l’échelle par Gamma lors d’un mouvement de $1 passe d’environ 4.00 à 3.94 équivalents-actions, selon la convention indiquée.

Considérons maintenant un événement IV passant de 80% à 35%, donc Δσ = −0.45. Une extrapolation linéaire donnerait :

ΔGamma ≈ −0.060 × (−0.45) = +0.027

et un Gamma estimé de 0.067. Ce n’est pas une prévision fiable de l’événement : Zomma varie le long du parcours, le temps passe, le spot peut ouvrir avec un gap et la surface peut être revalorisée. Recalculer chaque option et le portefeuille avec une surface post-événement documentée ; n’utiliser le résultat linéaire que pour la direction initiale et l’ordre de grandeur.

Analyse et contrôle des risques

  • Consigner l’horodatage, le modèle, le style d’exercice, la convention spot ou forward, les taux, les dividendes, la convention de temps, la source d’IV, la construction de surface et la qualité des données.
  • Indiquer si l’IV est exprimée en décimal, pourcentage ou points de volatilité et si Gamma et Zomma incluent multiplicateur, quantité, signe de position ou conversion de devise.
  • Vérifier Zomma avec [Γ(σ+h) − Γ(σ−h)]/(2h). Imposer h > 0 et σ−h > 0, comparer plusieurs valeurs stables de h et éviter les ruptures du modèle ou les nœuds invalides.
  • Recalculer chaque prix d’exercice et échéance ; ne pas appliquer un Zomma représentatif à un portefeuille hétérogène.
  • Appliquer conjointement des chocs au spot, au temps, au niveau d’IV, au skew et à la structure par terme, surtout autour des événements et près de l’échéance.
  • Utiliser une revalorisation complète pour les fortes variations d’IV, gaps, barrières, dividendes discrets, exercice anticipé, ailes peu renseignées ou résultats instables selon le bump.
  • Agréger de façon cohérente signe long/court, quantité, multiplicateur et devise ; un faible Zomma net peut masquer des risques par compartiment qui se compensent.
  • Comparez les changements prévus et réalisés dans Gamma, Delta et P&L ; un résidu inexpliqué est un risque de modèle, de données, de surface ou d’exécution.
  • Donner la priorité à Delta, Gamma, Vega, à la liquidité, à la perte maximale et au règlement avant de s’appuyer sur une sensibilité de troisième ordre.
  • Lire les spécifications à jour et les informations OCC ; Zomma ne modifie pas les obligations contractuelles d’exercice, d’assignation, de règlement ou de financement.

Idées fausses courantes

  • « Zomma prédit la volatilité implicite. » Il mesure une sensibilité conditionnelle ; il ne prévoit pas la direction de l’IV.
  • « Zomma négatif est baissier. » Le signe décrit la réponse de Gamma à IV, et non le rendement attendu du sous-jacent.
  • « Zomma est identique à Vega. » Vega change la valeur de l’option avec IV ; Zomma change Gamma avec IV.
  • « Les Calls et Puts de même prix d’exercice ont des Zomma opposés. » Dans le modèle européen indiqué, leur Gamma et leur Zomma sont identiques.
  • « Un mouvement IV d’un point signifie 1.00. » Un point de volatilité est normalement 0.01 en entrée décimale-IV.
  • « Le numéro d’un fournisseur peut être copié dans un autre système. » Les hypothèses d’échelle, de modèle, de surface, d’horloge et de dividende diffèrent.
  • « Le Zomma linéaire explique un IV crush. » Un choc événementiel important exige une revalorisation complète avec la surface modifiée.
  • « Davantage de Grecs améliorent automatiquement le contrôle des risques. » Un nombre précis d’ordre supérieur ne peut pas réparer les mauvais prix, la liquidité, la taille ou la planification de l’expiration.

Sujets connexes

Sources faisant autorité

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