Relation Gamma-Theta : unités, portage, trajectoires et revalorisation complète

Auditez Gamma et Theta avec des unités de position signées, des conventions temporelles explicites, le portage de la PDE, des registres de couverture exécutables, la revalorisation complète et les contrôles du cycle de vie.

À des fins éducatives uniquement ; ne constitue ni un conseil en investissement ni une recommandation d’investissement. Les investissements peuvent entraîner des pertes.

Réponse directe

La relation Gamma-Theta est une relation locale de modèle, pas un prix fixe de la convexité. Pour une quantité signée q et un multiplicateur M, on définit Delta_pos = q x M x Delta, Gamma_pos = q x M x Gamma et Theta_pos = q x M x Theta. Le Gamma unitaire doit préciser l’unité de prix du sous-jacent ; Theta doit indiquer s’il est exprimé par an, jour calendaire ou jour de bourse.

Pour des calls et puts vanilla ordinaires achetés, Gamma est généralement positif et Theta négatif dans le modèle déclaré. Cette intuition de signe peut échouer pour des portefeuilles, payoffs exotiques, frontières d’exercice ou différentes régions de marché. La performance effective provient des valorisations complètes des options, du stock de couverture, de la trésorerie, du portage et des coûts ; l’attribution par les grecques explique cette performance, mais ne doit pas y être ajoutée de nouveau.

Construire un registre Gamma-Theta cohérent

Figez chaque série d’options, quantité signée, multiplicateur, livrable, devise, style d’exercice, mode de règlement, stock existant du sous-jacent et cible Delta.
Déclarez la source et la coordonnée des grecques : par action ou contrat, déjà mises à l’échelle de la position ou non, unité de prix spot de Gamma, convention temporelle de Theta et expression de Vega par 1 vol point ou par 1.00 de volatilité.
Enregistrez simultanément bid, ask et tailles exécutables des options et du sous-jacent, ainsi que spot, forward, surface de volatilité, taux, dividendes, emprunt, FX, durée jusqu’à l’échéance et horodatages exacts.
Agrégez une seule fois Delta, Gamma, Theta et Vega bruts et nets signés. Pour un état local figé, utilisez Delta V_pos ~= Delta_pos x Delta S + 0.5 x Gamma_pos x (Delta S)^2 + Theta_pos x Delta t + Vega_pos x Delta sigma, avec des unités et signes compatibles.
Traitez le seuil local comme un simple diagnostic. Sous les hypothèses de Black-Scholes avec rendement continu du dividende q_div, l’identité est Theta + 0.5 x sigma^2 x S^2 x Gamma + (r - q_div) x S x Delta - r x V = 0 ; financement et portage du dividende font donc partie de la relation.
Revalorisez intégralement spot, temps, niveau de volatilité, skew, structure par terme, taux, dividendes, gaps, tendances, oscillations et calendriers alternatifs de couverture. En couverture dynamique, mettez à jour actions et trésorerie uniquement à partir des exécutions effectives et séparez le registre autofinancé de l’attribution par les grecques.
Avant et après l’échéance, rapprochez opérations de clôture, exercice, assignation, règlement physique ou en espèces, livrables ajustés, actions résiduelles, dénouement de la couverture, financement, emprunt, dividendes, commissions, fiscalité et tout résidu entre modèle et réalité.

Quatre exemples détaillés

Seuil journalier figé avec coûts. Un contrat acheté présente un Gamma unitaire de 0.08 Delta/$/share, un Theta affiché de -$0.18/share/calendar day, un multiplicateur M = 100 et des coûts aller-retour de $4/contract. Le seuil local sans coûts est sqrt(2 x 0.18 / 0.08) = $2.1213203436 ; affecter le coût de $0.04/share donne sqrt(2 x (0.18 + 0.04) / 0.08) = $2.3452078799. Un mouvement de $2 produit $16 - $18 - $4 = -$6 ; un mouvement de $2.50 produit $25 - $18 - $4 = +$3. Ce sont des diagnostics sur une période à grecques figées, et non des seuils exécutables ou des points morts à l’échéance.
Le portage de la PDE ne se limite pas à Gamma contre Theta. Pour un call européen avec S = K = $100, T = 0.5, r = 4%, q_div = 1% et sigma = 25%, supposons V = $7.721552230288, Delta = 0.565932317133, Gamma = 0.022120576997 et Theta = -$8.301615173889/share/year. Le terme Gamma est $6.912680311701/share/year ; le terme combiné de financement et dividende est $1.388934862188/share/year ; ensemble, ils valent $8.301615173889, soit -Theta. Diviser par 365 donne environ -$0.022744151161/share/calendar day, mais la convention journalière affichée par un fournisseur peut différer.
Trajectoire autofinancée avec exécutions effectives. Une position long Gamma couverte en Delta commence et finit avec un spot de $100. Après une hausse, elle vend 100 shares à $101.95 ; après le retournement, elle achète 100 shares à $100.05. Le flux de trésorerie de couverture est +$190 ; les deux exécutions coûtent $10 ; et la valorisation complète des options varie de -$150. Le P/L combiné est $190 - $10 - $150 = +$30. Il ne faut pas ajouter à nouveau un gain idéalisé de $200 ou un terme Gamma local.
Grecques locales contre revalorisation complète. Avec les mêmes données de modèle, après un jour calendaire et un mouvement vers S_1 = $105, les termes locaux par action sont Delta $2.829661585667, Gamma $0.276507212468 et Theta -$0.022744151161, soit un total de $3.083424646974. La valeur complète à volatilité inchangée est $10.794375525849 ; la variation effective est $3.072823295561 et l’erreur de Taylor $0.010601351413. La couverture Delta initiale laisse $0.243161709894/share. Si la volatilité passe à 30%, la valeur complète devient $12.136197003065, la variation de l’option $4.414644772777 et le résultat couvert $1.584983187110/share ; l’écart n’est ni du pur Gamma, ni du pur Theta, ni de la pure variance réalisée.

Risques de mesure, d’exécution et de cycle de vie

Appliquer une quantité, un signe, un multiplicateur, un livrable, une valeur de point ou une conversion FX erronés.
Multiplier une deuxième fois un flux déjà mis à l’échelle du contrat ou de la position.
Laisser indéfinie l’unité de prix spot de Gamma ou mélanger chocs en dollars et en pourcentage.
Mélanger conventions annuelle, par jour calendaire, jour de bourse, week-end et durée jusqu’à l’échéance pour Theta.
Multiplier une Vega par point de volatilité par une variation décimale sans conversion.
Considérer qu’une couverture Delta initiale reste neutre pendant les changements de spot et de temps.
Extrapoler un Gamma local sur un grand mouvement alors que Speed et les ordres supérieurs évoluent.
Supposer Gamma et Theta constants lorsque spot, temps et volatilité changent.
Omettre taux, dividendes, emprunt, rendement de détention et financement de l’option dans la PDE.
Utiliser l’approximation de Taylor hors de son domaine local de modèle et de coordonnées.
Ajouter l’attribution par les grecques à une valorisation complète et compter deux fois la même variation.
Traiter un choc final comme une trajectoire couverte dynamiquement ou un flux de gamma scalping.
Mélanger échantillonnage de variance réalisée, conventions de jours, rendements overnight et gaps.
Traiter une IV d’entrée comme variance payée ou condition suffisante de profit.
Ignorer niveau de volatilité, skew, structure par terme, Vanna, Volga, Charm et termes croisés.
Substituer midpoints ou valeurs théoriques aux cotations, tailles et exécutions effectives.
Ignorer exécutions partielles, rejets, latence, spread, impact, commissions et déclencheurs manqués.
Supposer qu’un gap, une suspension, une séance fermée ou un stop préserve la trajectoire modélisée.
Omettre marge, financement, dividendes, disponibilité ou rappel de l’emprunt et liquidation forcée.
Omettre exercice anticipé, assignation, contrats ajustés, règlement physique ou en espèces, inventaire résiduel, fiscalité ou rapprochement final.

Idées fausses courantes

« Un Gamma élevé suffit à rendre une option attractive. » Prix, Theta, dynamique de surface, trajectoire et coûts exécutables déterminent encore le résultat.
« Un Theta positif est un intérêt journalier ou un revenu gratuit. » C’est une dérivée conditionnelle du modèle assortie d’autres risques et termes de portage.
« Gamma et Theta se négocient à un rapport fixe toute la journée. » Tous deux varient avec l’état du modèle, la position et la convention temporelle.
« Le seuil local est le point mort de l’opération ou de l’échéance. » Ce n’est ni un mouvement implicite ni un déclencheur exécutable garanti.
« Une couverture Delta ou une prime limitée élimine le risque. » Gaps, revalorisation de volatilité, liquidité, marge, assignation et pertes répétées subsistent.