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Zomma：インプライド・ボラティリティが Gamma をどう変えるか

Zomma の定義、符号と単位、有限差分による検証、大きなボラティリティ変動時のフル・リプライシングを解説します。

更新日

教育目的の一般情報であり、個別の投資・法律・税務助言ではありません。オプションには損失リスクがあります。

要点

Zomma は、価格モデルの他の入力を固定したとき、指定したインプライド・ボラティリティ入力に対してオプションの Gamma がどれだけ変化するかを表す偏微分です。

Zomma = ∂Gamma/∂σ = ∂³V/(∂S²∂σ)

Gamma は原資産価格の小幅な変化に対する Delta の局所的な変化、Zomma は IV の小幅な変化に対するその Gamma の局所的な変化です。Zomma はモデル依存の高次感応度であり、単独で取引されるキャッシュフローでも、IV の予測でも、大幅な市場変動後の Gamma を保証する指標でもありません。

適用範囲：以下の式は、S > 0、K > 0、σ > 0、T > 0、連続複利、連続配当利回り、一定のボラティリティ入力を前提とする欧州型 Black–Scholes モデルを扱います。米国型の早期行使、離散配当、ジャンプ、バリア、変動するボラティリティ・サーフェスは式だけでは捉えられません。例は気配値でも口座単位の計算でもありません。FINRA と OCC の資料は米国の上場オプションが対象であり、商品、市場規則、取引承認、証拠金、税務、法的な利用可否は口座、法域、日付によって異なります。ライブ市場データや顧客データは使用していません。最新の公式資料と適格な専門家を確認してください。

式、符号、単位

上記モデルで、連続複利の配当利回りを q とすると：

Gamma = e^(−qT) φ(d₁) / (Sσ√T)

Zomma = Gamma × (d₁d₂ − 1) / σ

ここで：

d₁ = [ln(S/K) + (r − q + σ²/2)T] / (σ√T)

d₂ = d₁ − σ√T

このモデルでは、権利行使価格と満期が同じ Call と Put の Gamma と Zomma は等しくなります。ATM 付近では d₁d₂ が 1 を下回ることが多く、Zomma は一般に負です。IV が上がると Delta の遷移がより広い価格帯に分散し、Gamma のピークが低下するためです。ATM から遠い場合は符号が異なることがあります。これはモデル上の結果であり、普遍的な実証則ではありません。

単位は明記しなければなりません。Gamma が原資産の $1 変動当たりの Delta 変化、σ が小数表記の年率 IV なら、Zomma は IV が 1.00 変化したときの Gamma 変化です。一ボラティリティ・ポイント（1% = 0.01）当たりで表示する場合は Zomma_decimal / 100 です。ベンダーによって Gamma、現物価格の変化、契約乗数、ポジション数量のスケールも異なるため、規約をそろえずに数値を比較できません。

Zomma は偏微分なので、現物価格、時間、金利、配当、バンプしないサーフェスのノードは固定されます。実際の市場ではこれらが同時に動きます。現物と IV の連動、スキューや期間構造の変化、時間経過、価格ジャンプ、早期行使の影響が、単独の感応度を上回ることがあります。

局所推定とフル・リプライシング

あるオプションについて、次を仮定します。

  • Gamma は 0.040、原資産の動きは $1 当たり。
  • Zomma は −0.060、小数表記 IV の動きは 1.00 当たり。
  • 標準契約乗数は 100。

IV が 40% から 41% に小幅上昇し、Δσ = +0.01 の場合：

ΔGamma ≈ Zomma × Δσ = −0.060 × 0.01 = −0.0006

新しい Gamma の推定値は 0.0394 です。上記の局所的な単位規約では、標準契約一枚について、原資産が $1 動いたときの Gamma 換算 Delta 変化は約 4.00 株相当から 3.94 株相当に低下します。

次に、イベント後に IV が 80% から 35% へ低下し、Δσ = −0.45 となる場合を考えます。線形外挿では：

ΔGamma ≈ −0.060 × (−0.45) = +0.027

Gamma の推定値は 0.067 です。しかし、これは信頼できるイベント予測ではありません。経路上で Zomma が変わり、時間が経過し、現物がギャップし、サーフェス全体が再評価され得るためです。記録したイベント後サーフェスで各オプションとポートフォリオを再計算し、線形結果は初期方向と概算規模の把握にだけ使います。

分析とリスク管理

  • 評価時刻、モデル、行使方式、現物または先渡しの規約、金利、配当、時間計測、IV の出所、サーフェス構築法、データ品質を記録します。
  • IV が小数、パーセント、ボラティリティ・ポイントのどれか、Gamma と Zomma に乗数、数量、ポジション符号、通貨換算が含まれるかを明示します。
  • 中心差分 [Γ(σ+h) − Γ(σ−h)]/(2h) で検証します。h > 0 かつ σ−h > 0 とし、安定した複数の h を比較し、モデルの折れ目や無効なサーフェス・ノードをまたぐバンプを避けます。
  • 各権利行使価格と満期を再計算し、代表的な Zomma を異質なポートフォリオ全体に適用しません。
  • 特にイベント前後や満期直前には、現物、時間、IV 水準、スキュー、期間構造を同時にストレスします。
  • IV の大幅変化、価格ギャップ、バリア、離散配当、早期行使、疎なウイング、バンプ幅で不安定になる結果にはフル・リプライシングを使います。
  • ロング・ショートの符号、数量、乗数、通貨を一貫して集計します。小さなネット Zomma が相殺されたバケット別リスクを隠すことがあります。
  • Gamma、Delta、損益の予測変化と実現変化を比較します。残差にはモデル、データ、サーフェス、流動性、執行のリスクが含まれ得ます。
  • 三階感応度に依存する前に、Delta、Gamma、Vega、流動性、最大損失、決済、アサインメント、証拠金を優先します。
  • 最新の商品仕様と OCC の開示を読みます。Zomma は契約上の行使、アサインメント、決済、資金手当ての義務を変更しません。

よくある誤解

  • 「Zomma は IV を予測する」 条件付き感応度であり、IV の方向を予測しません。
  • 「Zomma が負なら弱気である」 符号は IV に対する Gamma の反応であり、原資産の期待収益率ではありません。
  • 「Zomma は Vega と同じである」 Vega は IV に対するオプション価値、Zomma は IV に対する Gamma の変化です。
  • 「同一権利行使価格の Call と Put は Zomma の符号が逆である」 上記の欧州型モデルでは Gamma と Zomma は同じです。
  • 「IV の一点変化は 1.00 である」 IV を小数入力する場合、一ボラティリティ・ポイントは 0.01 です。
  • 「ベンダー間で数値をそのまま移せる」 スケール、モデル、サーフェス、時計、配当の仮定が異なります。
  • 「線形 Zomma で IV crush を説明できる」 大きなイベント・ショックでは、変化後のサーフェスでフル・リプライシングが必要です。
  • 「グリークスが多いほど管理が自動的に良くなる」 精密な高次数値でも、不適切な入力、流動性、規模、満期管理は補えません。

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