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Zomma Greek：インプライド・ボラティリティによる Gamma の変化

教育目的のみであり、投資助言ではありません

直接の答え

Section titled “直接の答え”

Zomma は、モデルの他の入力を固定したとき、インプライド・ボラティリティによって Gamma がどう変わるかを測ります。

Zomma = ∂Gamma/∂σ = ∂³V/(∂S²∂σ)

Gamma は原資産の小さな変化に対する Delta の局所変化、Zomma は IV 変化によるその局所曲率の再形成を表します。高次でモデル依存の感応度であり、独立した取引可能キャッシュフロー、方向予測、大きな市場変化後の Gamma の保証ではありません。

式、符号、単位

Section titled “式、符号、単位”

連続複利配当利回り q を含む Black-Scholes 型ヨーロピアンモデルでは：

Gamma = e^(−qT) φ(d₁) / (Sσ√T)

Zomma = Gamma × (d₁d₂ − 1) / σ

ここで：

d₁ = [ln(S/K) + (r − q + σ²/2)T] / (σ√T)

d₂ = d₁ − σ√T

同じ行使価格・満期の Call と Put は、このモデルで同じ Gamma と Zomma を持ちます。ATM 付近では d₁d₂ が 1 未満になりやすく、Zomma は一般に負です。IV 上昇は Delta の遷移を広い価格域へ分散してピーク Gamma を低下させ、IV 低下は行使価格付近へ集中させます。ATM から遠いと符号は変わり得ます。

単位を明示します。Gamma が原資産 $1 変化当たりの Delta 変化、σ が年率小数 IV なら、Zomma は IV 1.00 変化当たりの Gamma 変化です。1ボラティリティ・ポイント（1% = 0.01）表示なら Zomma_decimal / 100 です。Gamma、現物、乗数、比率変化を縮尺するシステムもあり、慣行なしにベンダー値を比較できません。

Zomma は偏微分であり、現物、時間、金利、配当、残りのサーフェスを固定します。現実にはスポット-IV依存、スキュー、時間、ジャンプ、早期行使が同時変化し、この単独感応度を上回ります。

局所推定と完全再評価

Section titled “局所推定と完全再評価”

あるオプションの Gamma が原資産 $1 当たり 0.040、Zomma が小数 IV 1.00 当たり −0.060、標準乗数 100 とします。

IV が 40% から 41% へ小幅上昇すると Δσ = +0.01：

ΔGamma ≈ Zomma × Δσ = −0.060 × 0.01 = −0.0006

新 Gamma は 0.0394 と推定されます。上記局所慣行で、1契約の原資産 $1 変化に対する Gamma 換算 Delta 変化は約 4.00 株相当から 3.94 株相当へ下がります。

イベント後に IV が 80% から 35% へ低下し、Δσ = −0.45 とします。線形外挿は：

ΔGamma ≈ −0.060 × (−0.45) = +0.027

Gamma 0.067 を示しますが、信頼できるイベント予測ではありません。ショックが大きく、Zomma は経路で変わり、時間が経過し、現物がギャップし、スキューも再評価されます。イベント後サーフェスで全オプションとポートフォリオを再評価し、線形値は初期方向と概算規模だけに使います。

分析とリスク管理

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  • 評価モデル、行使方式、現物/フォワード慣行、金利、配当、時間時計、IV ソース、サーフェス補間を記録します。
  • IV が小数、百分率、ボラティリティ・ポイントのどれか、Gamma/Zomma に乗数を含むか明示します。
  • 中央差分で検証します。σ + h と σ − h で Gamma を再計算し、複数 h の [Γ(σ+h) − Γ(σ−h)]/(2h) を比較します。
  • 行使価格・満期ごとに再計算し、一つの代表 Zomma を異質なポートフォリオ全体へ掛けません。
  • 特にイベント・満期付近では現物、時間、IV 水準、スキュー、期間構造を同時にショックします。
  • 大きな IV 変化、ギャップ、バリア、離散配当、早期行使、疎なウィングは完全再評価します。
  • 売買符号、数量、乗数、通貨を統一集計します。ネット Zomma は相殺するバケットリスクを隠します。
  • 予測と実際の Gamma、Delta、損益を比較し、残差をモデル、データ、サーフェス、執行リスクとします。
  • 三階感応度の前に Delta、Gamma、Vega、流動性、最大損失、決済を管理します。
  • 商品仕様と OCC 開示を読みます。Zomma は行使、アサイン、証拠金義務を変えません。

よくある誤解

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  • 「Zomma は IV を予測する。」 条件付き感応度であり IV 方向を予測しません。
  • 「負の Zomma は弱気である。」 Gamma の IV 反応であり原資産リターン予想ではありません。
  • 「Zomma は Vega と同じである。」 Vega は価値、Zomma は Gamma の IV 変化です。
  • 「同一行使価格 Call と Put は逆の Zomma である。」 上記モデルでは同じです。
  • 「IV 1ポイントは 1.00 である。」 通常、小数 IV の 0.01 です。
  • 「ベンダー値はそのまま移せる。」 縮尺、モデル、サーフェス、時計、配当が異なります。
  • 「線形 Zomma で IV クラッシュを説明できる。」 大きなイベントショックは完全再評価が必要です。
  • 「Greek が多いほど自動的に管理が良くなる。」 高次の精密値は悪い価格、流動性、サイズ、満期計画を補えません。

関連トピック

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権威ある情報源

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