Volatilité forward : unités, coordonnées, fourchettes de cotation et variance événementielle

Extrayez la variance d'un intervalle futur à partir de deux horizons en maîtrisant unités, décompte des jours, coordonnées de surface, fourchettes bid-ask, bases événementielles et négociabilité.

À des fins éducatives uniquement ; ne constitue ni un conseil en investissement ni une recommandation d’investissement. Les investissements peuvent entraîner des pertes.

Réponse directe

La volatilité forward est une mesure synthétique, exprimée comme taux de volatilité annualisé, inférée pour un intervalle futur. À un même instant de valorisation, soient 0 < T1 < T2 les fractions d’année. On définit le taux de variance annualisé V(T) en unités décimales au carré par an et la variance totale W(T) = T x V(T) en unités sans dimension de rendement logarithmique au carré. Alors :

V_fwd(T1,T2) = [W(T2) - W(T1)] / (T2 - T1) et sigma_fwd = sqrt(V_fwd).

Si les données d’entrée sont des volatilités annualisées comparables sigma(T), alors W(T) = sigma(T)^2 x T. La soustraction porte sur la variance totale, non sur les pourcentages de volatilité. Le résultat dépend du modèle, de la surface, des cotations, de la coordonnée et des conventions ; il ne garantit pas la volatilité réalisée, ne prévoit pas la direction et ne constitue pas automatiquement un prix négociable.

Construire une mesure d’intervalle comparable

Nommez l’objet comparé : IV Black-Scholes à un strike, interpolation ATM d’une surface, mesure de variance implicite indépendante du modèle, strike de swap de variance, méthodologie d’indice ou instrument de variance coté en bourse.
Figez un seul instant de valorisation, les heures exactes d’expiration, le fuseau, le calendrier et les conventions de décompte des jours et d’annualisation ; utilisez des fractions d’année plutôt que des libellés mensuels arrondis.
Relevez de façon synchronisée bid, ask, taille, forward, taux, dividendes, coût d’emprunt, règlement et devise pour les deux horizons.
Fixez une coordonnée comparable telle que k = ln(K/F), une convention Delta documentée ou ATM-forward, ainsi que les règles d’interpolation, lissage, troncature des strikes et extrapolation des ailes.
Convertissez chaque horizon en variance totale W, calculez la différence d’intervalle et le taux annualisé, puis contrôlez non-négativité, arbitrage calendaire, enveloppe de cotations et unités avant d’extraire la racine carrée.
Distinguez le scalaire inféré d’une prévision, d’un smile futur, du prix d’une option forward-start, d’un spread calendaire, d’un swap de variance, d’un future VIX ou d’un future sur variance ; testez événements, sauts, bases, rotations de surface et exécution.
Conservez la version des données et la méthodologie, puis rapprochez séparément les exécutions d’une position réelle, la définition de variance réalisée, le règlement, la marge, la contrepartie, les frais et la fiscalité.

Pour un objet de variance attendue réellement comparable et additif, W(T2) - W(T1) est par construction la variance totale de l’intervalle. Assimiler deux IV ponctuelles à cet objet constitue l’approximation dépendante du modèle. Le strike d’un swap de variance est coté en unités de variance ; celui d’un swap de volatilité n’est généralement pas sa racine carrée en raison de la convexité. VIX, les futures VIX et les futures sur variance cotés sont également des instruments et méthodologies distincts.

Deux extrémités n’identifient qu’un taux de variance moyen sur l’intervalle. Elles n’identifient ni le chemin suivi dans l’intervalle, ni le smile futur, ni l’IV ATM future, ni la distribution jointe nécessaire à une option forward-start, ni la volatilité réalisée. De même, sqrt(E[variance]) n’est généralement pas E[sqrt(variance)].

Quatre exemples détaillés

Décompte exact des jours : sous ACT/365, soient T1 = 30/365, sigma1 = 40%, T2 = 90/365 et sigma2 = 30%. On obtient W1 = 0.0131506849315, W2 = 0.0221917808219, Delta W = 0.00904109589041 et Delta T = 0.164383561644. Ainsi, V_fwd = 0.055000000000 et sigma_fwd = 23.4520787991%, et non 40% - 30%.
Coordonnées non concordantes : soient T1 = 0.25 et T2 = 0.50. Avec des coordonnées ATM-forward concordantes, sigma1 = 20% et sigma2 = 25% donnent W1 = 0.010000, W2 = 0.031250, V_fwd = 0.085000 et sigma_fwd = 29.1547594742%. L’utilisation mécanique d’un même strike monétaire dont les IV valent 24% et 22% donne W1 = 0.014400, W2 = 0.024200, V_fwd = 0.039200 et sigma_fwd = 19.7989898732%. L’écart de 9.3557696010 percentage points provient de la non-concordance des coordonnées.
Enveloppe de cotations : avec T1 = 0.25, la volatilité bid/ask de l’échéance courte est 24% / 26% ; avec T2 = 0.50, celle de l’échéance longue est 25% / 27%. Après conversion des quatre cotations dans le même objet de variance, un taux prudent côté vendeur vaut [0.25^2 x 0.50 - 0.26^2 x 0.25] / 0.25 = 0.0574, soit 23.9582971014% ; le taux côté acheteur vaut [0.27^2 x 0.50 - 0.24^2 x 0.25] / 0.25 = 0.0882, soit 29.6984848098%. Les inputs mid 25% / 26% donnent 26.9629375254%. Il s’agit d’une fourchette de diagnostic, non d’une garantie d’exécution du package.
Résiduel événementiel : une fenêtre totale de dix jours affiche sigma_total = 45% ; la base ordinaire documentée pour neuf jours sans événement est sigma_base = 25%. Ainsi, W_total = 0.45^2 x 10/365 = 0.00554794520548, W_base = 0.25^2 x 9/365 = 0.00154109589041 et v_event = 0.00400684931507. L’écart-type du rendement logarithmique de la fenêtre événementielle vaut sqrt(v_event) = 6.3299678633%. Annualiser ce résiduel d’un jour donne 120.9338662245%, mais aucun de ces nombres ne représente une direction, une probabilité, un rendement absolu attendu ou un mouvement garanti.

Erreurs de calcul et de négociation

Les deux entrées décrivent des objets différents de variance, volatilité, indice, future ou swap.
Les surfaces sont relevées à des instants différents ou après le mouvement de l’un des marchés.
Les heures d’expiration sont réduites à des dates et les fractions intrajournalières sont perdues.
Décompte des jours, annualisation, calendrier, décimales, points de volatilité ou unités de variance sont mélangés.
Sous-jacent, devise, style d’exercice, règlement ou convention d’observation diffèrent.
Le même strike monétaire est confondu avec la même moneyness forward.
Les inputs de forward, taux, dividendes, emprunt de titres ou change sont erronés ou incohérents.
Les coordonnées Delta utilisent des modèles, côtés de cotation ou inputs de volatilité différents.
Les cotations sont périmées, croisées, verrouillées, sans taille ou non exécutables conjointement.
Bid et ask sont combinés avec une orientation acheteuse ou vendeuse incorrecte.
Strikes rares, troncature, intégration discrète ou cotations erronées déforment la variance indépendante du modèle.
Interpolation du smile, lissage et extrapolation des ailes créent une sensibilité cachée.
Un Delta W négatif est silencieusement ramené à zéro au lieu d’être examiné.
Une IV ATM ou à strike unique est présentée comme variance attendue indépendante du modèle.
Les strikes de swaps de variance et de volatilité, ou leur ajustement de convexité, sont confondus.
VIX, futures VIX, futures sur variance et instrument OTC sur mesure sont considérés comme interchangeables.
Dates d’événements, bases ordinaires, catalyseurs qui se chevauchent ou longueurs de fenêtres sont erronés.
Sauts, rendements overnight, opérations sur titres, observation discrète et prime de risque de variance sont ignorés.
Un seul scalaire forward est supposé déterminer un smile futur, une loi jointe ou une valeur forward-start.
Greeks du spread calendaire, assignment, exécution, marge, crédit OTC, règlement, frais et fiscalité sont omis.

Idées reçues

« Il suffit de soustraire les deux IV. » Ce sont les variances totales comparables pondérées par le temps qui sont soustraites.
« La volatilité forward garantit une prévision de volatilité réalisée future. » Elle découle des inputs et hypothèses actuels.
« Un scalaire détermine le smile futur ou le prix forward-start. » Il n’identifie qu’une moyenne d’intervalle selon la construction retenue.
« Une valeur négative signifie une volatilité négative prévue ou garantit un arbitrage. » Elle signale généralement un problème de données, coordonnées, cotations, interpolation ou méthodologie.
« Un spread calendaire ou la courbe des futures VIX négocie directement et exclusivement ce nombre. » Ces positions portent sur d’autres instruments, surfaces, Greeks et risques d’exécution et de cycle de vie.