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Color: sensibilità locale di Gamma al tempo

Definisce Color con segni espliciti per tempo di calendario e tempo residuo, ricava un riferimento Black-Scholes, normalizza le unità, convalida le differenze finite, aggrega le posizioni e controlla il rischio di modello.

Aggiornato

Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

Risposta diretta

Color è il termine usato dagli operatori per indicare la sensibilità locale di Gamma al passare del tempo. È una derivata terza di una specifica funzione di valutazione, non un campo standardizzato da una borsa, una previsione della Gamma di domani, un ordine di copertura o un risultato economico. Due fornitori possono pubblicare segni opposti o fattori di 252, 365, del prezzo del sottostante o del moltiplicatore contrattuale ed essere entrambi internamente coerenti.

Sia t il tempo di calendario, T l’istante esatto di scadenza e τ=T−t il tempo residuo. Per il valore dell’opzione V(S,σ,τ,…), Δ=∂V/∂S e Γ=∂²V/∂S²=∂Δ/∂S. La convenzione del tempo residuo definisce Color_τ=∂Γ/∂τ; quella del tempo di calendario definisce Color_t=∂Γ/∂t=−Color_τ, mantenendo costanti spot, coordinate della superficie di volatilità, tassi, dividendi, costo del prestito titoli e ogni altro input del modello.

La Gamma grezza è la variazione di Delta per un’unità di prezzo del sottostante. Una visualizzazione di “Gamma per movimento dell’1% dello spot” la scala invece a 0.01SΓ. Color eredita l’unità di Gamma per l’unità temporale dichiarata. Prima di confrontare o aggregare occorre normalizzare le convenzioni per azione, per punto, per contratto, in valuta, di Gamma monetaria, annuale, giornaliera ACT/365 e su 252 giorni di negoziazione. Se un fornitore espone già Color giornaliero, dividerlo di nuovo per la base giornaliera è un errore.

Come calcolarlo e controllarlo

  1. Fissare esattamente diritto e stato: serie, call o put, quantità lunga o corta, moltiplicatore, oggetto da consegnare, valuta, S, K, T esatto, stile di esercizio, regolamento, tassi, dividendi continui o discreti, prestito titoli, superficie di volatilità, modello, istante di calibrazione e versione.
  2. Dichiarare coordinate e unità prima del numero: Delta basata su spot o forward, Gamma grezza per unità di prezzo o Gamma scalata per movimento percentuale, tempo di calendario t o residuo τ, frazione d’anno e tipo di giorno, esposizione per azione o contratto e qualsiasi convenzione di Gamma monetaria, inclusa l’eventuale presenza di 1/2.
  3. Per un riferimento europeo Black-Scholes-Merton con rendimento da dividendo continuo y, definire d₁=[ln(S/K)+(r−y+σ²/2)τ]/(σ√τ) e Γ=e^(−yτ)φ(d₁)/(Sσ√τ).
  4. In tale riferimento, ∂d₁/∂τ=[(r−y+σ²/2)τ−ln(S/K)]/(2στ^(3/2)) e Color_τ=Γ[−y−d₁(∂d₁/∂τ)−1/(2τ)]; quindi cambiare segno per Color_t. Questa forma chiusa non disciplina esercizio americano, dividendi discreti, salti, volatilità stocastica o superfici proprietarie.
  5. Convalidare con spostamenti centrati della data: stimare Color_τ≈[Γ(τ+h)−Γ(τ−h)]/(2h), ripetere con h più piccolo e confrontare con un effettivo avanzamento dell’orologio di un giorno. Controllare errori di troncamento, cancellazione, griglia, calibrazione, festività, frazioni di giornata e prossimità alla scadenza.
  6. Normalizzare ogni serie, quindi moltiplicare per la quantità contrattuale con segno e il moltiplicatore effettivo. Compensare solo valute, coordinate, scadenze, superfici, modelli, stili e regolamenti compatibili; l’azione stessa ha Gamma e Color pari a zero, pur potendo coprire Delta.
  7. Rivalutare integralmente scenari di spot, livello IV, skew, struttura a termine, tassi, dividendi, prestito titoli, tempo, salti, esercizio e regolamento. Riconciliare l’output del modello con bid-ask eseguibili, dimensione discreta della copertura, liquidità, commissioni, eseguiti reali, eventi del ciclo di vita e Greeks successivi allo shock, anziché estrapolare Color.

Esempi svolti

  • Segno analitico e orologio. Per un’opzione europea con S=K=100, r=5%, y=2%, σ=20% e τ=0.5, d₁=0.176776695297 e Γ=0.027495794412. I risultati analitici sono Color_τ=−0.028904953876/year e Color_t=+0.028904953876/year; con ACT/365, il Color giornaliero locale è +0.000079191654/day. I segni differiscono solo perché τ diminuisce con l’avanzare di t.
  • Differenza centrata ed errore del passo finito. Nello stesso riferimento, con h=1/365, Γ(τ+h)=0.027416921734, Γ(τ)=0.027495794412 e Γ(τ−h)=0.027575307959. La stima centrata è [Γ(τ+h)−Γ(τ−h)]/(2h)=−0.028905485995/year, distante solo −0.000000532119/year dal Color_τ analitico. Un avanzamento di un giorno intero modifica Gamma di +0.000079513547, non esattamente del valore locale +0.000079191654; il movimento finito unilaterale include troncamento e curvatura.
  • Color può cambiare segno e le posizioni devono avere un segno. Con S=80, K=100, r=3%, y=1%, σ=25% e τ=0.25, d₁=−1.682648410514, Γ=0.009660822757, Color_τ=+0.041952095723/year e quindi Color_t=−0.041952095723/year o −0.000114937249/day. Una rivalutazione completa dopo un giorno produce Γ=0.009545008312, variazione effettiva di −0.000115814445. La Gamma prossima alla scadenza non aumenta sempre, e una posizione corta inverte ogni contributo con segno.
  • L’estrapolazione lineare fallisce vicino alla scadenza. Per S=K=100, r=3%, y=1%, σ=25% e τ=10/365, la Gamma iniziale è Γ₀=0.096326878660, Color_t=1.760952872868/year e il Color locale ACT/365 è 0.004824528419/day. Dopo un giorno intero Gamma è 0.101546073059, variazione di +0.005219194399. Dopo cinque giorni è 0.136284663571, con variazione effettiva di +0.039957784911, mentre cinque volte il Color giornaliero iniziale prevede solo +0.024122642094. La derivata locale attribuisce sensibilità allo stato iniziale; non prevede un percorso di più giorni.

Lista di controllo per modello, unità ed esecuzione

  • Verificare serie, istante di valutazione, istante di scadenza e frazione di giornata residua.
  • Dichiarare il segno della posizione; contratti lunghi e corti invertono lo stesso Greek per opzione.
  • Distinguere t da τ e registrare quale direzione definisce Color positivo.
  • Dichiarare ACT/365, ACT/252, giorno di negoziazione, giorno di calendario o altra convenzione di frazione d’anno.
  • Evitare doppia conversione annuale-giornaliera ed errori su fine settimana o festività.
  • Distinguere coordinate spot e forward e registrare eventuali convenzioni di Delta corretta per il premio.
  • Separare Gamma per movimento di $1 da 0.01SΓ per movimento di 1% dello spot.
  • Definire esplicitamente la Gamma monetaria, incluso se la visualizzazione usa ΓS², ΓS²/100, ΓS²/10000 o un fattore 1/2.
  • Separare unità del sottostante, punto, contratto, quantità con segno, moltiplicatore e oggetto della consegna rettificato.
  • Normalizzare valuta, conversione FX, trattamento quanto e unità di quotazione contrattuale.
  • Fissare o specificare sticky-strike, sticky-delta o un’altra regola di movimento della superficie di volatilità.
  • Sottoporre a stress livello IV, skew, struttura a termine e variazioni di calibrazione o estrapolazione.
  • Riconciliare tassi, dividendi continui o discreti, distribuzioni, prestito titoli e operazioni societarie.
  • Usare un modello compatibile con l’esercizio per diritti americani e verificare le frontiere di esercizio anticipato.
  • Distinguere regolamento per contanti e fisico e modellare la posizione dopo esercizio o assegnazione.
  • Confrontare spostamenti centrati e unilaterali, variare h e individuare troncamento e cancellazione numerica.
  • Raffinare griglie ad albero, PDE, quadratura o simulazione vicino alla scadenza e alle frontiere non regolari del payoff.
  • Non compensare alla cieca scadenze, superfici, modelli, stili, regolamenti, valute o istanti incompatibili o obsoleti.
  • Rivalutare integralmente salti, gap, movimenti da evento, cambiamenti di percorso e più giorni invece di estrapolare Color locale.
  • Includere ampiezza bid-ask, liquidità, contratti discreti di copertura, commissioni, riserve di modello, esecuzione e operazioni del ciclo di vita.

Idee errate comuni

  • Color positivo garantisce che Gamma sarà maggiore domani.
  • Color è Theta o il decadimento temporale del prezzo dell’opzione.
  • Ogni call o put lunga ha lo stesso segno di Color e i campi dei fornitori non richiedono normalizzazione.
  • Moltiplicare il Color giornaliero per i giorni prevede Gamma futura o la quantità di copertura.
  • Un Greek di ordine superiore più preciso garantisce una copertura eseguibile o un risultato certo.

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