Relazione Gamma-Theta: unità, carry, percorsi e rivalutazione completa

Verifica Gamma e Theta con unità di posizione con segno, convenzioni temporali esplicite, carry della PDE, registri di copertura eseguibili, rivalutazione completa e controlli del ciclo di vita.

Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

Risposta diretta

La relazione Gamma-Theta è una relazione locale di modello, non un prezzo fisso della convessità. Per la quantità con segno q e il moltiplicatore M, si definiscono Delta_pos = q x M x Delta, Gamma_pos = q x M x Gamma e Theta_pos = q x M x Theta. Il Gamma unitario deve specificare l’unità di prezzo del sottostante; Theta deve indicare se è annuo, per giorno di calendario o per giorno di negoziazione.

Per normali call e put vanilla acquistate, Gamma è generalmente positivo e Theta negativo nel modello dichiarato. Questa intuizione sui segni può fallire per portafogli, payoff esotici, frontiere di esercizio o diverse regioni di mercato. La performance effettiva deriva da valutazioni complete delle opzioni, inventario di copertura, cassa, carry e costi; l’attribuzione tramite greche spiega la performance, ma non va sommata di nuovo.

Costruire un registro Gamma-Theta coerente

Fissa ogni serie di opzioni, quantità con segno, moltiplicatore, consegnabile, valuta, stile di esercizio, modalità di regolamento, inventario esistente del sottostante e obiettivo Delta.
Dichiara fonte e coordinata delle greche: per azione o contratto, già scalate per posizione oppure no, unità del prezzo spot per Gamma, convenzione temporale di Theta e se Vega è espressa per 1 vol point o per 1.00 di volatilità.
Acquisisci in modo sincronizzato bid, ask e quantità eseguibili di opzioni e sottostante, nonché spot, forward, superficie di volatilità, tassi, dividendi, prestito, FX, tempo alla scadenza e timestamp esatti.
Aggrega una sola volta Delta, Gamma, Theta e Vega lordi e netti con segno. Per uno stato locale congelato, usa Delta V_pos ~= Delta_pos x Delta S + 0.5 x Gamma_pos x (Delta S)^2 + Theta_pos x Delta t + Vega_pos x Delta sigma, con unità e segni compatibili.
Considera la soglia locale solo diagnostica. Sotto le ipotesi Black-Scholes con rendimento continuo da dividendi q_div, l’identità è Theta + 0.5 x sigma^2 x S^2 x Gamma + (r - q_div) x S x Delta - r x V = 0; finanziamento e carry dei dividendi fanno quindi parte della relazione.
Rivaluta integralmente spot, tempo, livello di volatilità, skew, struttura a termine, tassi, dividendi, gap, trend, oscillazioni e calendari alternativi di copertura. Nella copertura dinamica aggiorna azioni e cassa solo dagli eseguiti effettivi e separa il registro autofinanziato dall’attribuzione tramite greche.
Prima e dopo la scadenza, riconcilia operazioni di chiusura, esercizio, assegnazione, regolamento fisico o per contanti, consegnabili rettificati, azioni residue, chiusura della copertura, finanziamento, prestito, dividendi, commissioni, imposte e ogni residuo tra modello e realtà.

Quattro esempi svolti

Soglia giornaliera congelata con costi. Un contratto acquistato ha Gamma unitario 0.08 Delta/$/share, Theta visualizzato -$0.18/share/calendar day, moltiplicatore M = 100 e costi di andata e ritorno di $4/contract. La soglia locale senza costi è sqrt(2 x 0.18 / 0.08) = $2.1213203436; allocare il costo di $0.04/share produce sqrt(2 x (0.18 + 0.04) / 0.08) = $2.3452078799. Un movimento di $2 produce $16 - $18 - $4 = -$6; uno di $2.50 produce $25 - $18 - $4 = +$3. Sono diagnostiche di un periodo a greche congelate, non soglie eseguibili né pareggi alla scadenza.
Il carry della PDE non è solo Gamma contro Theta. Per una call europea con S = K = $100, T = 0.5, r = 4%, q_div = 1% e sigma = 25%, supponi V = $7.721552230288, Delta = 0.565932317133, Gamma = 0.022120576997 e Theta = -$8.301615173889/share/year. Il termine Gamma è $6.912680311701/share/year; il termine combinato di finanziamento e dividendi è $1.388934862188/share/year; insieme equivalgono a $8.301615173889, cioè -Theta. Dividere per 365 dà circa -$0.022744151161/share/calendar day, ma la convenzione giornaliera mostrata da un fornitore può differire.
Percorso autofinanziato con eseguiti effettivi. Una posizione long Gamma con copertura Delta inizia e termina con lo spot a $100. Dopo un rialzo vende 100 shares a $101.95; dopo l’inversione acquista 100 shares a $100.05. Il flusso di cassa della copertura è +$190; due eseguiti costano $10; la valutazione completa delle opzioni cambia di -$150. Il P/L combinato è $190 - $10 - $150 = +$30. Non si deve sommare nuovamente un guadagno idealizzato di $200 o un termine Gamma locale.
Greche locali contro rivalutazione completa. Con gli stessi dati di modello, dopo un giorno di calendario e un movimento a S_1 = $105, i termini locali per azione sono Delta $2.829661585667, Gamma $0.276507212468 e Theta -$0.022744151161, per un totale di $3.083424646974. Il valore completo a volatilità invariata è $10.794375525849; la variazione effettiva è $3.072823295561 e l’errore di Taylor $0.010601351413. La copertura Delta iniziale lascia $0.243161709894/share. Se la volatilità sale al 30%, il valore completo diventa $12.136197003065, la variazione dell’opzione $4.414644772777 e il risultato coperto $1.584983187110/share; la differenza non è puro Gamma, Theta o varianza realizzata.

Rischi di misurazione, esecuzione e ciclo di vita

Applicare quantità, segno, moltiplicatore, consegnabile, valore per punto o conversione FX errati.
Moltiplicare una seconda volta un feed già scalato per contratto o posizione.
Lasciare indefinita l’unità del prezzo spot di Gamma o mescolare shock in dollari e percentuali.
Mescolare convenzioni annuali, per giorno di calendario, di negoziazione, fine settimana e tempo alla scadenza per Theta.
Moltiplicare una Vega per punto di volatilità per una variazione decimale senza conversione.
Trattare la copertura Delta iniziale come neutrale durante variazioni di spot e tempo.
Estrapolare un Gamma locale su un grande movimento mentre cambiano Speed e ordini superiori.
Supporre Gamma e Theta costanti al variare di spot, tempo e volatilità.
Omettere tassi, dividendi, prestito, rendimento di convenienza e finanziamento dell’opzione dalla PDE.
Usare l’approssimazione di Taylor fuori dal suo dominio locale di modello e coordinate.
Sommare l’attribuzione tramite greche alla valutazione completa e duplicare la variazione.
Trattare uno shock finale come percorso coperto dinamicamente o flusso di gamma scalping.
Mescolare campionamento della varianza realizzata, conteggi dei giorni, rendimenti overnight e gap.
Trattare una IV iniziale come varianza pagata o condizione sufficiente di profitto.
Ignorare livello di volatilità, skew, struttura a termine, Vanna, Volga, Charm e termini incrociati.
Sostituire quotazioni, quantità ed eseguiti effettivi con midpoint o valori teorici.
Ignorare eseguiti parziali, rifiuti, latenza, spread, impatto, commissioni e trigger mancati.
Supporre che gap, sospensione, sessione chiusa o stop preservi il percorso modellizzato.
Omettere margine, finanziamento, dividendi, disponibilità o richiamo del prestito e liquidazione forzata.
Omettere esercizio anticipato, assegnazione, contratti rettificati, regolamento fisico o per contanti, inventario residuo, imposte o riconciliazione finale.

Errori comuni

“Un Gamma elevato rende da solo un’opzione interessante.” Prezzo, Theta, dinamica della superficie, percorso e costi eseguibili continuano a determinare il risultato.
“Theta positivo è interesse giornaliero o reddito gratuito.” È una derivata condizionale del modello accompagnata da altri rischi e termini di carry.
“Gamma e Theta sono negoziati a un rapporto fisso per tutto il giorno.” Entrambi cambiano con stato del modello, posizione e convenzione temporale.
“La soglia locale è il pareggio dell’operazione o della scadenza.” Non è né un movimento implicito né un trigger eseguibile garantito.
“Una copertura Delta o un premio limitato eliminano il rischio.” Restano gap, rivalutazione della volatilità, liquidità, margine, assegnazione e perdite ripetute.