Volatilità locale di Dupire: da una superficie di opzioni a una diffusione

Verifica la volatilità locale di Dupire nelle coordinate di prezzo, forward e varianza totale, includendo fit senza arbitraggio, stabilità delle derivate, riprezzamento e controlli del modello dinamico.

Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

Risposta diretta

La volatilità locale di Dupire è un coefficiente di diffusione istantaneo deterministico σ_loc(S,t), ricavato da una superficie sufficientemente regolare e priva di arbitraggio dei prezzi delle opzioni europee. Nel modello di carry neutrale al rischio prescelto, costruisce una diffusione le cui distribuzioni marginali a ogni istante riproducono i prezzi correnti delle opzioni vanilla per diversi strike e scadenze.

È un risultato di calibrazione, non la volatilità implicita allo stesso strike, una previsione della volatilità realizzata o la prova che il mercato segua un’unica legge delle traiettorie di volatilità locale. Il riprezzamento esatto delle opzioni vanilla può coesistere con dinamiche future dello smile, prezzi delle barriere, risultati di copertura e comportamento dei salti non corretti.

Modello, coordinate e processo di controllo

Fissare l’esatto payoff europeo, il sottostante, il valore di regolamento, l’ora della quotazione, la valuta, le unità di strike e scadenza e l’istante di valutazione. Il valore di esercizio anticipato delle opzioni americane e i salti dovuti a dividendi discreti richiedono un’esplicita europeizzazione o un modello diverso.
Costruire input deterministici di sconto e carry: D_d(T)=exp(−∫₀ᵀr(u)du), D_q(T)=exp(−∫₀ᵀq(u)du) e F(T)=S₀D_q(T)/D_d(T). Riconciliare i forward mediante la parità put-call sincronizzata, senza combinare osservazioni non contemporanee di azione, opzioni, tassi o dividendi.
Pulire le quotazioni denaro e lettera, scartare mercati obsoleti o incrociati e convertire put e call in modo coerente. Imporre limiti verticali, prezzi delle call decrescenti e convessi rispetto allo strike, densità non negativa e coerenza temporale in un’unica coordinata di sconto e forward prima di calcolare le derivate.
Adattare una superficie regolare di prezzi o varianza totale con regole dichiarate di interpolazione ed estrapolazione sulle ali e nel tempo. Per call europee scontate al tempo zero C(K,T) e tassi istantanei deterministici r(T) e q(T), la formula nelle coordinate di prezzo è σ_loc²(K,T)=[C_T+(r(T)−q(T))K C_K+q(T)C]/[0.5K²C_KK], dove C_T mantiene fisso K e C_KK=D_d(T)f_Q(K)≥0.
Associare ogni derivata alla propria coordinata. Con k=K/F(T) e la call normalizzata c(k,T)=C(kF(T),T)/(D_d(T)F(T)), vale σ_loc²(kF(T),T)=2c_T|k/(k²c_kk). Con log-moneyness forward y=ln(K/F(T)) e varianza implicita totale w(y,T)=σ_BS²(y,T)T, definire g=(1−y w_y/(2w))²−(w_y²/4)(1/w+1/4)+w_yy/2 e usare σ_loc²=w_T|y/g. Occorre imporre w_T|y≥0 e g>0: le derivate con K, k e y fissi non sono intercambiabili.
Scartare, anziché imporre silenziosamente un limite minimo, una varianza locale negativa o instabile. Perturbare quotazioni, forward, dividendi, nodi, interpolazione, griglie e condizioni al contorno; quindi riprezzare le opzioni di calibrazione e di validazione con implementazioni basate sulla densità forward o su PDE backward e Monte Carlo.
Confrontare barriere, altri diritti dipendenti dal percorso e il P/L della copertura in scenari di volatilità locale, volatilità stocastica e salti. Registrare la versione delle quotazioni, i filtri, le curve, i parametri della superficie, lo schema di derivazione, i nodi non validi, l’estrapolazione, le tolleranze del solver e le modifiche di ricalibrazione.

Quattro esempi svolti

Una superficie piatta di Black-Scholes recupera il proprio input. Siano S₀=K=100, T=0.5, r=4%, q=1% e σ_BS=25%. La superficie esatta fornisce C=7.721552230288, C_K=−0.488716794830, C_KK=0.022120576997 e C_T=8.301615173889. Il numeratore è 6.912680311701 e il denominatore è 110.602884987209; pertanto σ_loc²=0.0625 e σ_loc=25%.
Le derivate seconde amplificano minimi errori di prezzo. Sulla stessa superficie piatta, le call agli strike 99/100/101 valgono 8.221364125112/7.721552230288/7.243855394654. Con passo h=$1, la stima centrale è C_KK≈0.022115059190, da cui σ_loc≈25.0031186% usando le altre derivate esatte. Aumentando soltanto la call centrale di $0.01, la stima diventa C_KK≈0.002115059190 e σ_loc≈80.8494317%; aumentandola di $0.05 si ottengono C_KK≈−0.077884940810 e σ_loc²≈−0.017751006138, un risultato non valido e non una previsione di volatilità.
La normalizzazione forward richiede una derivata temporale a k fisso. Siano D_d=0.98, F=102, k=1, c=0.08, c_T|k=0.032 e c_kk=3.20. Allora C=7.9968, C_KK=0.030745098039, il numeratore nelle coordinate di prezzo è 3.19872 e il denominatore è 159.936. Entrambe le formule danno σ_loc²=0.020000000000 e σ_loc=14.1421356237%. Una derivata temporale calcolata a strike fisso non può essere inserita come c_T|k senza il termine di conversione delle coordinate.
Il denominatore della varianza totale è un indicatore di arbitraggio. In y=−0.1, siano w=0.04, w_y=−0.10, w_yy=0.50 e w_T|y=0.02. Si ottengono g=0.9525, σ_loc²=0.020997375328 e σ_loc=14.4904711200%. Se solo w_yy cambia in −1.50, allora g=−0.0475 e la formula produce σ_loc²=−0.421052631579; la superficie o il nodo adattato deve essere scartato o corretto, non troncato e presentato come calibrato.

Lista di controllo della calibrazione

Il valore di esercizio di un’opzione americana può contaminare una superficie trattata come europea.
Dividendi discreti o incerti violano, alle date degli eventi, l’ipotesi di una diffusione regolare con dividend yield continuo.
Curve dei tassi, capitalizzazione, convenzioni di conteggio dei giorni e orari di scadenza possono essere incoerenti.
Le coordinate di spot, strike, forward, log-moneyness e premio normalizzato possono essere confuse.
Le quotazioni possono essere obsolete, asincrone, incrociate o riferite a quantità incompatibili.
I prezzi medi denaro-lettera non sono eseguibili e possono nascondere mercati ampi o unilaterali.
La parità put-call e i forward ricavati possono essere alterati dal prestito titoli, dai dividendi o da differenze temporali.
I limiti verticali e la monotonia delle call possono essere violati prima dell’adattamento della superficie.
La convessità butterfly e le condizioni di densità positiva possono non valere localmente o nelle ali.
Le condizioni di calendario devono essere verificate in coordinate coerenti di sconto e forward.
Scadenze brevi e strike radi rendono instabili le derivate.
L’estrapolazione sulle ali e sulle lunghe scadenze può dominare la valutazione dei prodotti esotici.
Differenze finite, spline e differenziazione automatica possono amplificare il rumore delle quotazioni in modo diverso.
Una densità prossima a zero rende mal condizionato il denominatore della varianza locale.
Un numeratore o una varianza locale negativi indicano input incoerenti, arbitraggio o problemi numerici.
Troncamenti o limiti minimi silenziosi possono nascondere una calibrazione fallita e distorcere il riprezzamento.
Le implementazioni PDE, densità, Monte Carlo, griglia e condizioni al contorno possono divergere.
Il fit delle distribuzioni marginali a un solo istante non determina lo smile futuro né la dinamica dei percorsi.
Salti, volatilità stocastica, barriere e copertura discreta generano rischio di modello residuo.
Versione dei dati, filtri, versioni dei parametri, nodi non validi e ricalibrazione richiedono governance.

Errori comuni

“La volatilità locale è la volatilità implicita allo stesso strike.” Sono oggetti diversi, collegati attraverso l’intera superficie.
“Una superficie dall’aspetto regolare deve produrre una volatilità locale stabile.” La regolarità, da sola, non garantisce l’assenza di arbitraggio né derivate ben condizionate.
“Il riprezzamento esatto delle opzioni vanilla dimostra che prezzi e coperture degli esotici sono corretti.” Convalida distribuzioni marginali statiche, non la vera dinamica.
“La varianza locale negativa è un’informazione di mercato.” In genere segnala quotazioni, arbitraggio, coordinate, interpolazione o calcoli numerici incoerenti.
“La superficie odierna prevede in modo univoco la volatilità realizzata o il processo reale.” Molte dinamiche possono condividere le stesse distribuzioni vanilla a ogni istante.