Volatilità forward: unità, coordinate, intervalli di quotazione e varianza di evento

Ricava la varianza di un intervallo futuro da due orizzonti controllando unità, day count, coordinate della superficie, intervalli bid-ask, baseline di evento e negoziabilità.

Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

Risposta diretta

La volatilità forward è una misura sintetica, espressa come tasso di volatilità annualizzato, ricavata per un intervallo futuro. A una stessa data e ora di valutazione, siano 0 < T1 < T2 le frazioni d’anno. Si definiscano il tasso di varianza annualizzato V(T) in unità decimali al quadrato per anno e la varianza totale W(T) = T x V(T) in unità adimensionali di rendimento logaritmico al quadrato. Allora:

V_fwd(T1,T2) = [W(T2) - W(T1)] / (T2 - T1) e sigma_fwd = sqrt(V_fwd).

Se gli input sono volatilità annualizzate comparabili sigma(T), allora W(T) = sigma(T)^2 x T. Si sottrae la varianza totale, non le percentuali di volatilità. Il risultato dipende da modello, superficie, quotazioni, coordinata e convenzioni; non garantisce la volatilità realizzata, non prevede la direzione e non è automaticamente un prezzo negoziabile.

Costruire una misura di intervallo comparabile

Identificare l’oggetto confrontato: IV Black-Scholes di un singolo strike, interpolazione ATM di superficie, misura di varianza implicita model-free, strike di un variance swap, metodologia di indice o strumento di varianza quotato in borsa.
Fissare un unico istante di valutazione, orari esatti di scadenza, fuso, calendario e convenzioni di day count e annualizzazione; usare frazioni d’anno anziché etichette mensili arrotondate.
Acquisire in modo sincronizzato bid, ask, quantità, forward, tassi, dividendi, costo del prestito titoli, regolamento e valuta per entrambi gli orizzonti.
Fissare una coordinata comparabile come k = ln(K/F), una convenzione Delta documentata o ATM-forward, oltre alle regole di interpolazione, smoothing, troncamento degli strike ed estrapolazione delle ali.
Convertire ogni orizzonte in varianza totale W, calcolare differenza dell’intervallo e tasso annualizzato e verificare non negatività, arbitraggio di calendario, intervallo di quotazione e unità prima di estrarre la radice quadrata.
Distinguere lo scalare ricavato da previsione, smile futura, prezzo di un’opzione forward-start, calendar spread, variance swap, future sul VIX o future sulla varianza; sottoporre a stress eventi, salti, baseline, rotazioni della superficie ed esecuzione.
Conservare versione dei dati e metodologia, quindi riconciliare separatamente gli eseguiti di una posizione reale, la definizione di varianza realizzata, regolamento, margine, controparte, commissioni e fiscalità.

Per un oggetto di varianza attesa realmente comparabile e additivo, W(T2) - W(T1) è per costruzione la varianza totale dell’intervallo. Trattare due IV puntuali come tale oggetto è l’approssimazione dipendente dal modello. Lo strike di un variance swap è quotato in unità di varianza; quello di un volatility swap, per effetto della convessità, non è generalmente la sua radice quadrata. VIX, future sul VIX e future sulla varianza quotati sono anch’essi strumenti e metodologie distinti.

Due estremi identificano soltanto un tasso medio di varianza per l’intervallo. Non identificano il percorso interno, la smile futura, l’IV ATM futura, la distribuzione congiunta necessaria a un’opzione forward-start o la volatilità realizzata. Analogamente, sqrt(E[variance]) non coincide in generale con E[sqrt(variance)].

Quattro esempi svolti

Day count esatto: con ACT/365, siano T1 = 30/365, sigma1 = 40%, T2 = 90/365 e sigma2 = 30%. Si ottengono W1 = 0.0131506849315, W2 = 0.0221917808219, Delta W = 0.00904109589041 e Delta T = 0.164383561644. Pertanto V_fwd = 0.055000000000 e sigma_fwd = 23.4520787991%, non 40% - 30%.
Coordinate non omogenee: siano T1 = 0.25 e T2 = 0.50. A coordinate ATM-forward coincidenti, sigma1 = 20% e sigma2 = 25% producono W1 = 0.010000, W2 = 0.031250, V_fwd = 0.085000 e sigma_fwd = 29.1547594742%. L’uso meccanico di un unico strike monetario le cui IV sono 24% e 22% produce W1 = 0.014400, W2 = 0.024200, V_fwd = 0.039200 e sigma_fwd = 19.7989898732%. La differenza è 9.3557696010 percentage points e riflette la mancata corrispondenza delle coordinate.
Intervallo di quotazione: con T1 = 0.25, la volatilità bid/ask della scadenza breve è 24% / 26%; con T2 = 0.50, quella della scadenza lunga è 25% / 27%. Dopo aver ricondotto tutte e quattro le quotazioni allo stesso oggetto di varianza, un tasso prudente sul lato venditore è [0.25^2 x 0.50 - 0.26^2 x 0.25] / 0.25 = 0.0574, cioè 23.9582971014%; il tasso sul lato compratore è [0.27^2 x 0.50 - 0.24^2 x 0.25] / 0.25 = 0.0882, cioè 29.6984848098%. Gli input mid 25% / 26% danno 26.9629375254%. È un intervallo diagnostico, non una garanzia di esecuzione del pacchetto.
Residuo di evento: una finestra totale di dieci giorni ha sigma_total = 45%; la baseline ordinaria documentata per nove giorni senza evento è sigma_base = 25%. Quindi W_total = 0.45^2 x 10/365 = 0.00554794520548, W_base = 0.25^2 x 9/365 = 0.00154109589041 e v_event = 0.00400684931507. La deviazione standard del rendimento logaritmico della finestra dell’evento è sqrt(v_event) = 6.3299678633%. Annualizzare tale residuo giornaliero dà 120.9338662245%, ma nessuna delle due cifre indica direzione, probabilità, rendimento assoluto atteso o movimento garantito.

Errori di calcolo e negoziazione

I due input descrivono oggetti diversi di varianza, volatilità, indice, future o swap.
Le superfici sono acquisite in istanti diversi o dopo che uno dei mercati si è mosso.
Gli orari di scadenza sono ridotti a date e si perdono le frazioni intraday.
Si mescolano day count, annualizzazione, calendario, decimali, punti di volatilità o unità di varianza.
Sottostante, valuta, stile di esercizio, regolamento o convenzione di osservazione differiscono.
Lo stesso strike monetario è scambiato per la stessa moneyness forward.
Forward, tassi, dividendi, prestito titoli o input FX sono errati o incoerenti.
Le coordinate Delta usano modelli, lati di quotazione o input di volatilità diversi.
Le quotazioni sono obsolete, incrociate, bloccate, prive di quantità o non eseguibili congiuntamente.
Bid e ask sono combinati con un orientamento long o short errato.
Pochi strike, troncamento, integrazione discreta o quotazioni errate distorcono la varianza model-free.
Interpolazione della smile, smoothing ed estrapolazione delle ali generano sensibilità nascoste.
Un Delta W negativo viene posto silenziosamente a zero anziché essere indagato.
Un’IV ATM o di singolo strike viene presentata come varianza attesa model-free.
Si confondono gli strike di variance swap e volatility swap o il relativo aggiustamento di convessità.
VIX, future sul VIX, future sulla varianza e uno strumento OTC personalizzato sono considerati intercambiabili.
Date degli eventi, baseline ordinarie, catalizzatori sovrapposti o ampiezze delle finestre sono errati.
Si ignorano salti, rendimenti overnight, operazioni societarie, osservazione discreta e premio per il rischio di varianza.
Si presume che un solo scalare forward determini smile futura, legge congiunta o valore forward-start.
Si omettono Greeks del calendar spread, assignment, esecuzione, margine, credito OTC, regolamento, commissioni e fiscalità.

Errori comuni

“Si sottraggono le due IV.” Si sottraggono varianze totali comparabili ponderate per il tempo.
“La volatilità forward garantisce una previsione della volatilità realizzata futura.” È un’implicazione degli input e delle ipotesi correnti.
“Un solo scalare determina la smile futura o il prezzo forward-start.” Identifica soltanto una media dell’intervallo nella costruzione scelta.
“Un valore negativo significa volatilità negativa prevista o garantisce arbitraggio.” Di solito segnala problemi di dati, coordinate, quotazioni, interpolazione o metodologia.
“Un calendar spread o la curva dei future sul VIX negozia questo numero in modo diretto e puro.” Tali posizioni hanno strumenti, superfici, Greeks e rischi di esecuzione e ciclo di vita diversi.