オプション価格と金利：曲線、キャリー、Rho

金利気配を割引係数へ変換し、整合的なフォワードを構築してRhoを正しく換算し、曲線、配当、行使、約定のシナリオをフル・リプライシングします。

教育目的のみであり、投資助言ではありません。投資では損失が生じる可能性があります。

直接の答え

金利は、割引係数、原資産のフォワード、資金調達、行使と決済のキャッシュフロー時点を通じてオプション価値に反映されます。あらゆる場面に共通する単一金利はありません。明示した担保または資金調達規約の下で、通貨と満期が整合する曲線が必要です。政策目標、翌日物のフィキシング、国債パー・イールド、ゼロ金利は異なる対象です。

前提を固定したヨーロピアン型株式オプションの比較では、スポット、配当、借株、ボラティリティなどを一定にすると、金利上昇は一般にコール価値を高め、プット価値を下げます。この符号は市場利益のルールでも、アメリカン型の権利、債券価格オプション、利回りオプション、先物オプション、キャップ、フロア、スワップションに共通する結果でもありません。Rhoは局所的なモデル導関数であり、予測でも完全な曲線リスク尺度でもありません。

管理された手順

権利と時計を確定します。原資産、コールまたはプット、行使価格、通貨、評価時刻、満期日、行使日、決済日、アメリカン型またはヨーロピアン型、現金または現物決済、乗数、符号付きポジションを確認します。
曲線の用途を定義します。割引、担保、資金調達、借株のいずれかを明示し、情報源、気配側、時刻、採用商品を記録します。政策金利や一つの固定満期利回りを完全な曲線の代わりに使いません。
単利、割引、名目、連続複利の気配を、それぞれの日数計算規約に従って正の割引係数 D(0,t) へ変換します。記録した規則でキャッシュフロー日をブートストラップし、補間します。負のゼロ金利から有効な D(0,t)>1 が得られる場合もあります。
キャリーを整合的に構築します。一定の連続複利金利なら D(0,T)=exp(-r*T)、F=S*exp((r-q)*T) です。確定した現金配当がある場合は FP=S-PV(dividends) と F=FP/D(0,T) を使います。配当、借株、外貨キャリー、コーポレートアクションを分けます。
モデルを行使方式とペイオフに合わせます。ヨーロピアン型パリティや閉形式は適合する権利にだけ使います。アメリカン型には行使を扱えるツリーまたは偏微分方程式、債券・利回り・先物・金利のペイオフには商品固有モデルを使います。
リスク単位を明示します。未調整の Rho_raw=partial V/partial r、Rho_100bp=Rho_raw*0.01、Rho_1bp=Rho_raw*0.0001 が1株、1契約、符号付きポジションのどれに対応するかを示します。曲線を再構築し、平行、スティープ化、フラット化、キーレートのショックをフル・リプライシングします。
モデル帰属と、約定可能な買い気配・売り気配、約定、手数料、資金調達、借株、証拠金、担保、税金を分けます。保存した曲線版に対し、実際の現金日、行使または割当て、決済、損益を照合します。

計算例

厳密なヨーロピアン型パリティ： S=100、K=100、T=2、q=0、連続複利 r=2% の場合、割引係数は 0.960789439152、割引後行使価格は 96.078943915232、C-P=3.921056084768 です。r=5% ではそれぞれ 0.904837418036、90.483741803596、9.516258196404 となり、コールとプットの差は1株当たり 5.595202111636 変化します。これは前提を固定した相対価値の恒等式であり、利益予測ではありません。
複利と日数計算： ACT/360で 182 日の単利気配 5.25% から D=1/(1+0.0525*182/360)=0.974144579291 が得られます。T=182/365=0.498630136986 なら、等価な連続複利ゼロ金利は 5.2535026897% です。連続配当利回りが q=1%、S=100 なら、整合的なフォワードは 102.143576091945 です。5.25%を異なる規約へそのまま代入すると結果が変わります。
Rhoの単位とフル・リプライシング： ヨーロピアン型オプションの S=K=100、T=2、q=1%、sigma=25%、r=2% とすると、コールは 14.609621487800、プットは 12.668698072357、未調整コールRhoは 86.885943346376、未調整プットRhoは -105.271944484089 です。100 bp当たりでは 0.868859433464 と -1.052719444841 です。r=3% でフル・リプライシングするとコール 15.491134163794、プット 11.647720191543、変化は +0.881512675994 と -1.020977880814 です。旧Rhoによる線形近似の誤差は1株当たり +0.012653242530 と +0.031741564027 です。
アメリカン型の行使下限： S=80、K=100、T=1、r=5%、q=0、sigma=20% の場合、ヨーロピアン・プットは 16.982362022884 で、即時行使価値 20 を下回ります。アメリカン・プットは少なくとも 20 の価値が必要です。差 3.017637977116 は、ヨーロピアン型公式ではこの行使権を評価できないことを示します。また r=-1% でも D=1.010050167084 は有効であり、負の金利をゼロに切り上げてはいけません。

リスクと検証

通貨のリスク： 通貨が違う曲線では異なるキャッシュ・クレームを割り引きます。
用途のリスク： 担保、資金調達、割引、借株の曲線は交換可能ではありません。
気配のリスク： パー・イールド、ゼロ金利、フォワード金利、政策目標は異なる対象です。
複利のリスク： 単利、割引、名目、連続複利の気配は変換が必要です。
日数計算のリスク： ACT/360、ACT/365F、30/360で年数と価値が変わります。
時計のリスク： 評価、満期、行使、受渡し、現金決済の日付は異なります。
時刻のリスク： 古い、または同期していない曲線とオプション入力は、見せかけのRhoを生みます。
ブートストラップのリスク： 採用商品、補間、外挿が各節点の割引係数に影響します。
ショックのリスク： 一つの平行移動では、スティープ化、フラット化、局所変動を捉えられません。
負金利のリスク： 金利や割引係数を切り上げると、有効な経済関係が壊れます。
配当のリスク： 金額、権利落ち日、支払日の誤りはフォワードを動かします。
二重計上のリスク： 連続配当利回りと同じ離散配当を同時に使ってはいけません。
借株のリスク： リベートと借りにくい銘柄の借株料は、キャリーと行使動機を変えます。
座標のリスク： 曲線ショック後はスポットとフォワードのマネーネスが異なる動きをし得ます。
行使方式のリスク： ヨーロピアン型とアメリカン型ではパリティと行使処理が異なります。
ライフサイクルのリスク： 保有者の行使と売り手への割当てでは、行為とキャッシュフローが異なります。
単位のリスク： 未調整、100bp、1bpのRhoや、1株・1契約の単位を混同し得ます。
Greeksのリスク： 局所Rhoは曲線再構築とフル・リプライシングの代わりになりません。
複合変動のリスク： スポット、IV、スキュー、配当、資金調達は金利と同時に動きがちです。
約定のリスク： 気配差、手数料、流動性、証拠金、税金により、モデル変化と損益は異なります。

よくある誤解

「政策金利がすべての満期に適した入力である。」 各キャッシュフロー日には整合的な割引係数が必要です。
「金利上昇ならすべてのコールまたはポジションが利益を得る。」 権利の種類、他の入力、行使権が支配的になり得ます。
「未調整Rhoに100を掛ければ100bpの変化になる。」 100bpの小数ショックは 0.01 で、単位をそろえる必要があります。
「金利と配当は交換可能である。」 異なるキャッシュフローから生じ、二重計上してはいけません。
「株式オプションのRho符号がすべての金利商品に当てはまる。」 債券、利回り、先物、金利オプションではペイオフの方向が異なります。

権威ある情報源

連邦準備制度H.15 — 観測された一部の金利であり、普遍的なオプション割引曲線ではありません。
米国債イールドカーブ算出方法 — パー・カーブ構築と参考入力であり、約定可能なゼロ金利または資金調達金利ではありません。
ニューヨーク連銀SOFR平均 — 過去実績型の翌日物複利規約であり、完全なフォワード曲線の用途規定ではありません。
OIC Rho — 局所感応度と一般的な換算に関する教育資料であり、完全な曲線リスクや損益ではありません。
OCC標準化オプションの特性とリスク — 契約とライフサイクルのリスクを扱い、数値的な曲線構築方法は示しません。
Cboe理論オプション算出方法 — 公表された行使方式、曲線、配当の規約であり、全取引デスクに共通する真値や約定値ではありません。
BlackとScholes — ヨーロピアン型・一定金利モデルの基礎であり、アメリカン型行使や実際の約定は扱いません。
Merton『合理的オプション価格理論』 — 仮定下のキャリー、配当、無裁定理論であり、現在の契約規則を定めるものではありません。