Будущая стоимость: как капитализация увеличивает деньги со временем

Изучите формулы будущей стоимости для разовых сумм, регулярных взносов, переменной доходности, комиссий и инфляции, согласуя ставки, периоды и сроки денежных потоков.

Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.

Краткий ответ

Будущая стоимость (FV) — сумма, которой один или несколько денежных потоков достигнут на указанную будущую дату при заданной траектории роста или доходности. Для разовой суммы с постоянной доходностью за период:

FV = PV × (1 + r)^n

PV — стоимость на начальную дату, r — эффективная доходность одного периода начисления, n — число совпадающих периодов. Обратная формула: PV = FV / (1 + r)^n. После выбора входных данных расчёт детерминирован, но он не делает неопределённые доходность акции, реинвестирование, инфляцию или налоги гарантированными.

Необходимо указать дату оценки, валюту, номинальную или реальную базу, сроки потоков, правило доходности, частоту начисления и учёт распределений, комиссий и налогов. Иначе два внешне правильных значения могут отвечать на разные вопросы.

Как это работает

Стройте расчёт в таком порядке:

Зафиксируйте шкалу и единицы. Запишите даты начала и цели, валюту, правило дней или периодов и базу до или после налогов и комиссий. Цена акции, индекс полной доходности, баланс счёта и доступные деньги — разные величины.
Разместите все потоки. Разделите исходный капитал, взносы, снятия, денежные и реинвестированные дивиденды, налоги и комиссии. Взнос в начале периода капитализируется на один период дольше идентичного взноса в конце.
Согласуйте ставку и период. Если APR — номинальная годовая ставка с начислением m раз в год в течение t лет, используйте FV = PV × (1 + APR / m)^(m × t). Эффективная годовая ставка: EAR = (1 + APR / m)^m - 1. Не делите уже эффективную годовую доходность на m.
Капитализируйте разовую сумму. При постоянной эффективной доходности умножайте на 1 + r в каждом периоде. Простые проценты PV × (1 + r × n) не реинвестируют прошлый процент и являются другой моделью.
Добавьте равные взносы. Для взноса C, доходности r и n платежей в конце периода FV_end = C × ((1 + r)^n - 1) / r. Для платежей в начале FV_begin = FV_end × (1 + r). При r = 0 стоимость взносов равна C × n. Отдельно капитализированный исходный капитал добавьте лишь один раз.
При переменной доходности используйте фактическую траекторию. Для суммы без внешних потоков FV = PV × Π(1 + r_t); порядок тех же доходностей не меняет произведение. При промежуточных взносах и снятиях порядок важен, поскольку разная сумма испытывает каждый результат. Арифметическое среднее не заменяет геометрическую капитализацию.
Согласованно преобразуйте базу. Приближение для постоянной инфляции: real FV = nominal FV / (1 + inflation)^n. Упрощённая ежегодная комиссия после валовой доходности даёт net growth factor = (1 + gross return) × (1 - fee rate). Реальные продукты, налоги и комиссии имеют иные сроки, базы и уровни: моделируйте договорные условия, а не механически вычитайте проценты.

Для нерегулярных дат или неравных потоков используйте датированный график: FV_T = Σ(CF_i × growth factor from t_i to T). Укажите календарь, правило подсчёта дней и интервал доходности; не навязывайте месячную, квартальную или годовую формулу несовпадающим датам.

Пример

Используйте четыре самостоятельных сценария:

Разовая сумма: $20,000 при ежегодных 7.0000% за 10 лет даёт FV = $20,000 × (1.07)^10 = $39,343.03. При 4.0000% результат $29,604.89, при 10.0000% — $51,874.85. Это чувствительность, не вероятности.
Ежемесячное начисление и взносы: номинальные 7.0000% APR с ежемесячным начислением означают ставку 0.0700 / 12, 120 периодов и EAR 7.2290%. Исходные $20,000 растут до $40,193.23. Взносы $500 в конце месяца — до $86,542.40, общий FV $126,735.63. Взносы в начале месяца — $87,047.23, общий $127,240.46, на $504.83 больше.
Переменная доходность и последовательность: 20.0000%, -10.0000% и 5.0000% увеличивают $20,000 до $22,680.00; накопленная доходность 13.4000%, геометрическая годовая 4.2808%, а не арифметические 5.0000%. Без потоков перестановка не меняет $22,680.00. Если после первого года внести $5,000, траектория ($20,000 × 1.20 + $5,000) × 0.90 × 1.05 заканчивается на $27,405.00, а ($20,000 × 0.90 + $5,000) × 1.20 × 1.05 — на $28,980.00, разница $1,575.00.
Инфляция и комиссии: дефлирование $39,343.03 на ежегодные 2.5000% даёт $30,734.71 покупательной способности начальной даты. При упрощённой ежегодной комиссии 1.0000% после валовых 7.0000% фактор роста равен 1.07 × 0.99 = 1.0593; FV $35,581.13, на $3,761.90 ниже сценария без комиссии до налогов.

Риски

Укажите даты начала и цели, валюту и точный объект оценки.
Пометьте каждую сумму как номинальную или реальную, до или после налогов.
Согласуйте интервал доходности с числом и сроками периодов начисления.
Отличайте номинальный APR от эффективной годовой доходности и не делите EAR на частоту.
Уточните единицы: десятичная дробь, процент, процентный или базисный пункт.
Разделяйте простые проценты и сложный рост и назовите применимую модель.
Запишите, приходится ли взнос или снятие на начало, конец или точную дату.
Используйте обычный аннуитет лишь для равных потоков в конце периода при постоянной согласованной ставке.
Применяйте пренумерандо лишь когда каждый взнос сделан на полный период раньше.
Обрабатывайте нулевую ставку напрямую, не деля формулу аннуитета на ноль.
При переменных доходностях перемножайте факторы и показывайте накопленную и геометрическую доходность.
Не выводите риск последовательности для разовой суммы из перестановки доходностей; ищите промежуточные потоки.
Включайте дивиденды только при поддержке выбранного ряда и предположения реинвестирования; не дублируйте.
Моделируйте процентные и фиксированные комиссии, издержки, нагрузки и консультационные сборы на реальной базе и дате.
Применяйте налоги к соответствующим доходам, приросту, распределениям, типу счёта, юрисдикции и датам.
Согласуйте индекс инфляции, валюту, географию, даты и цель домохозяйства до определения реальной стоимости.
Используйте датированный график для нерегулярных депозитов, снятий, ставок и интервалов.
Стресс-тестируйте ставки, взносы, сроки, инфляцию, комиссии, налоги и горизонт вместо одного точного числа.
Отделяйте сценарный FV от целевой цены акции, ожидаемой или требуемой доходности и гарантированной стоимости.
Независимо сверяйте калькулятор и сохраняйте полную точность до итогового округления.

Распространённые заблуждения

«Будущая стоимость предсказывает стоимость инвестиции». Она рассчитывает результат заданных входов; неопределённые входы остаются неопределёнными.
«APR 7% с ежемесячным начислением равен 7% эффективной годовой доходности». Правила различаются, если определение котировки не делает их эквивалентными.
«Арифметическое среднее можно прямо капитализировать». Богатство следует произведению факторов и геометрической доходности.
«Порядок доходностей всегда меняет FV». Для разовой суммы без промежуточных потоков произведение неизменно; со взносами и снятиями порядок важен.
«Комиссии, налоги и инфляцию можно разово вычесть в конце». Их сроки и база влияют на начисление и покупательную способность на всём горизонте.

Связанные темы

Источники

Investor.gov: Калькулятор сложных процентов.
Investor.gov: Как комиссии и расходы влияют на инвестиционный портфель.
Investor.gov: Глоссарий рисков.
Investor.gov: Акции — часто задаваемые вопросы.
Бюро трудовой статистики США: Покупательная способность и постоянные доллары.
Бюро трудовой статистики США: Обзор методологии ИПЦ.