Pertukaran Gamma-Theta: Unit, Biaya Bawa, Lintasan, dan Penilaian Ulang Penuh

Audit Gamma dan Theta dengan unit posisi bertanda, konvensi waktu eksplisit, biaya bawa PDE, buku besar lindung nilai, penilaian ulang penuh, dan pengendalian siklus hidup.

Hanya untuk tujuan edukasi; bukan merupakan nasihat investasi atau rekomendasi investasi. Investasi dapat mengakibatkan kerugian.

Jawaban langsung

Pertukaran Gamma-Theta adalah hubungan model lokal, bukan harga kelengkungan yang tetap. Untuk jumlah bertanda q dan pengali M, definisikan Delta_pos = q x M x Delta, Gamma_pos = q x M x Gamma, dan Theta_pos = q x M x Theta. Gamma unit harus menyatakan unit harga aset acuan, sedangkan Theta harus menyatakan apakah nilainya per tahun, per hari kalender, atau per hari perdagangan.

Untuk call dan put vanila biasa yang dimiliki, Gamma umumnya positif dan Theta umumnya negatif dalam model yang dinyatakan. Intuisi tanda ini dapat gagal untuk portofolio, hasil eksotis, batas pelaksanaan, atau wilayah pasar yang berbeda. Kinerja aktual berasal dari nilai opsi penuh, persediaan lindung nilai, kas, biaya bawa, dan biaya transaksi; atribusi Greek menjelaskan kinerja tersebut dan tidak boleh ditambahkan kembali.

Menyusun satu catatan Gamma-Theta yang konsisten

Kunci setiap seri opsi, jumlah bertanda, pengali, aset serahan, mata uang, gaya pelaksanaan, metode penyelesaian, persediaan aset acuan yang ada, dan target Delta.
Nyatakan sumber serta koordinat Greek: per saham atau kontrak, sudah berskala posisi atau belum, unit harga spot untuk Gamma, konvensi waktu kalender untuk Theta, dan apakah Vega dinyatakan per 1 vol point atau per volatilitas 1.00.
Catat bid, ask, ukuran opsi dan aset acuan yang dapat dieksekusi, spot, forward, permukaan volatilitas, suku bunga, dividen, biaya pinjam, FX, waktu hingga kedaluwarsa, dan waktu yang tepat secara sinkron.
Agregasikan Delta, Gamma, Theta, dan Vega bruto serta neto bertanda tepat satu kali. Untuk keadaan lokal beku, gunakan Delta V_pos ~= Delta_pos x Delta S + 0.5 x Gamma_pos x (Delta S)^2 + Theta_pos x Delta t + Vega_pos x Delta sigma dengan unit dan tanda yang kompatibel.
Perlakukan ambang lokal hanya sebagai diagnosis. Berdasarkan asumsi Black-Scholes dengan imbal hasil dividen berkelanjutan q_div, identitasnya adalah Theta + 0.5 x sigma^2 x S^2 x Gamma + (r - q_div) x S x Delta - r x V = 0, sehingga pendanaan dan biaya bawa dividen merupakan bagian dari hubungan itu.
Lakukan penilaian ulang penuh terhadap spot, waktu, tingkat volatilitas, kemencengan, struktur jangka waktu, suku bunga, dividen, lompatan, tren, osilasi, celah harga, dan jadwal lindung nilai alternatif. Jika melakukan lindung nilai dinamis, perbarui saham dan kas hanya berdasarkan eksekusi aktual dan pisahkan buku besar swadana dari atribusi Greek.
Sebelum dan sesudah kedaluwarsa, rekonsiliasi transaksi penutupan, pelaksanaan, penunjukan, penyelesaian fisik atau tunai, aset serahan tersesuaikan, sisa saham, pelepasan lindung nilai, pendanaan, pinjaman, dividen, biaya, pajak, dan setiap residu antara model dengan hasil aktual.

Empat contoh terhitung

Ambang satu hari beku dengan biaya. Satu kontrak yang dimiliki memiliki Gamma unit 0.08 Delta/$/share, Theta yang ditampilkan -$0.18/share/calendar day, pengali M = 100, dan biaya pulang-pergi $4/contract. Ambang lokal tanpa biaya adalah sqrt(2 x 0.18 / 0.08) = $2.1213203436; dengan alokasi biaya $0.04/share, ambangnya menjadi sqrt(2 x (0.18 + 0.04) / 0.08) = $2.3452078799. Pergerakan $2 menghasilkan $16 - $18 - $4 = -$6; pergerakan $2.50 menghasilkan $25 - $18 - $4 = +$3. Ini diagnosis satu periode dengan Greek beku, bukan titik impas yang dapat dieksekusi atau pada kedaluwarsa.
Biaya bawa PDE bukan sekadar Gamma melawan Theta. Untuk call Eropa dengan S = K = $100, T = 0.5, r = 4%, q_div = 1%, dan sigma = 25%, anggap V = $7.721552230288, Delta = 0.565932317133, Gamma = 0.022120576997, dan Theta = -$8.301615173889/share/year. Komponen Gamma adalah $6.912680311701/share/year; komponen gabungan pendanaan dan dividen $1.388934862188/share/year; jumlah keduanya $8.301615173889, yaitu -Theta. Membaginya dengan 365 menghasilkan sekitar -$0.022744151161/share/calendar day, tetapi konvensi harian penyedia dapat berbeda.
Lintasan swadana berdasarkan eksekusi aktual. Posisi Gamma positif yang dilindung nilai Delta dimulai dan berakhir saat spot $100. Setelah kenaikan, posisi menjual 100 shares pada $101.95; setelah pembalikan, posisi membeli 100 shares pada $100.05. Kas lindung nilai adalah +$190; dua eksekusi berbiaya $10; dan nilai opsi penuh berubah -$150. Laba-rugi gabungan adalah $190 - $10 - $150 = +$30. Jangan menambahkan kembali keuntungan lindung nilai ideal $200 atau komponen Gamma lokal.
Greek lokal dibanding penilaian ulang penuh. Dengan input model yang sama, setelah satu hari kalender dan pergerakan ke S_1 = $105, komponen lokal per saham adalah Delta $2.829661585667, Gamma $0.276507212468, dan Theta -$0.022744151161, dengan total $3.083424646974. Nilai penuh pada volatilitas tetap adalah $10.794375525849, sehingga perubahan aktual $3.072823295561 dan kesalahan Taylor $0.010601351413. Lindung nilai Delta awal menyisakan $0.243161709894/share. Jika volatilitas naik ke 30%, nilai penuh menjadi $12.136197003065, perubahan opsi $4.414644772777, dan hasil setelah lindung nilai $1.584983187110/share; selisih itu bukan Gamma, Theta, atau varians terealisasi murni.

Risiko pengukuran, eksekusi, dan siklus hidup

Menerapkan tanda posisi, jumlah, pengali, aset serahan, nilai poin, atau konversi FX yang salah.
Mengalikan kembali umpan yang sudah berskala kontrak atau posisi.
Tidak mendefinisikan unit harga spot Gamma atau mencampur guncangan dolar dan persentase.
Mencampur konvensi Theta tahunan, hari kalender, hari perdagangan, akhir pekan, dan waktu hingga kedaluwarsa.
Mengalikan Vega per poin volatilitas dengan perubahan volatilitas desimal tanpa konversi.
Menganggap lindung nilai Delta awal tetap netral saat spot dan waktu berubah.
Mengekstrapolasi satu Gamma lokal pada pergerakan besar saat Speed dan orde lebih tinggi berubah.
Menganggap Gamma dan Theta tetap ketika spot, waktu, dan volatilitas berubah.
Menghilangkan suku bunga, dividen, pinjaman, imbal hasil kenyamanan, dan pendanaan opsi dari hubungan biaya bawa PDE.
Menggunakan pendekatan Taylor di luar ranah model dan koordinat lokalnya.
Menambahkan atribusi Greek ke nilai opsi penuh sehingga perubahan dihitung dua kali.
Menganggap satu guncangan titik akhir sebagai lintasan yang dilindung nilai dinamis atau arus kas Gamma scalping.
Mencampur sampel varians terealisasi, hitungan hari, imbal hasil semalam, dan lompatan.
Menganggap satu IV awal sebagai varians yang dibayar atau kondisi laba yang memadai.
Mengabaikan tingkat volatilitas, kemencengan, struktur jangka waktu, Vanna, Volga, Charm, dan komponen silang.
Mengganti kuotasi, ukuran, dan eksekusi aktual dengan nilai tengah atau teoretis.
Mengabaikan eksekusi sebagian, penolakan, latensi, spread, dampak, biaya, dan pemicu lindung nilai yang gagal.
Menganggap celah, penghentian, sesi tutup, atau instruksi stop mempertahankan lintasan lindung nilai model.
Mengabaikan margin, pendanaan, dividen, ketersediaan pinjaman, penarikan kembali, dan likuidasi paksa.
Melewatkan pelaksanaan dini, penunjukan, kontrak tersesuaikan, penyelesaian fisik atau tunai, sisa persediaan, pajak, atau rekonsiliasi akhir.

Kesalahpahaman umum

“Gamma tinggi saja membuat opsi menarik.” Harga, Theta, dinamika permukaan, lintasan, dan biaya eksekusi tetap menentukan hasil.
“Theta positif adalah bunga harian atau pendapatan gratis.” Theta adalah turunan model bersyarat yang disertai risiko dan komponen biaya bawa lain.
“Gamma dan Theta dipertukarkan pada tingkat tetap sepanjang hari.” Keduanya berubah bersama keadaan model, posisi, dan konvensi waktu.
“Ambang lokal adalah titik impas transaksi atau kedaluwarsa.” Itu bukan pergerakan tersirat atau pemicu yang dijamin dapat dieksekusi.
“Lindung nilai Delta atau premi terbatas menghilangkan risiko.” Celah, penilaian ulang volatilitas, likuiditas, margin, penunjukan, dan kerugian berulang tetap ada.