Relación Gamma-Theta: unidades, carry, trayectorias y revaloración completa

Audita Gamma y Theta con unidades de posición con signo, convenciones temporales explícitas, carry de la PDE, registros de cobertura ejecutables, revaloración completa y controles del ciclo de vida.

Solo con fines educativos; no constituye asesoramiento de inversión. Invertir puede ocasionar pérdidas.

Respuesta directa

La relación Gamma-Theta es una relación local de modelo, no un precio fijo de la convexidad. Para una cantidad con signo q y un multiplicador M, se definen Delta_pos = q x M x Delta, Gamma_pos = q x M x Gamma y Theta_pos = q x M x Theta. La Gamma unitaria debe indicar la unidad de precio del subyacente; Theta debe indicar si se expresa por año, día natural o día hábil.

En calls y puts vanilla ordinarias compradas, Gamma suele ser positiva y Theta negativa bajo el modelo declarado. Esa intuición de signos puede fallar en carteras, payoffs exóticos, fronteras de ejercicio o distintas regiones de mercado. El resultado real procede de valoraciones completas de las opciones, inventario de cobertura, efectivo, carry y costes; la atribución mediante griegas explica ese resultado, pero no debe sumarse de nuevo.

Construir un registro Gamma-Theta coherente

Fija cada serie de opciones, cantidad con signo, multiplicador, entregable, moneda, estilo de ejercicio, forma de liquidación, inventario existente del subyacente y objetivo Delta.
Declara la fuente y coordenada de las griegas: por acción o contrato, si ya están escaladas por posición, unidad de precio spot para Gamma, convención temporal de Theta y si Vega se expresa por 1 vol point o por 1.00 de volatilidad.
Captura simultáneamente bid, ask y tamaño ejecutables de opciones y subyacente, además de spot, forward, superficie de volatilidad, tipos, dividendos, préstamo, FX, tiempo hasta vencimiento y marcas temporales exactas.
Agrega una sola vez Delta, Gamma, Theta y Vega brutas y netas con signo. Para un estado local congelado, usa Delta V_pos ~= Delta_pos x Delta S + 0.5 x Gamma_pos x (Delta S)^2 + Theta_pos x Delta t + Vega_pos x Delta sigma, con unidades y signos compatibles.
Trata el umbral local solo como diagnóstico. Bajo Black-Scholes y con rentabilidad continua por dividendos q_div, la identidad es Theta + 0.5 x sigma^2 x S^2 x Gamma + (r - q_div) x S x Delta - r x V = 0; por tanto, financiación y carry de dividendos forman parte de la relación.
Revalora completamente spot, tiempo, nivel de volatilidad, skew, estructura temporal, tipos, dividendos, saltos, tendencias, oscilaciones, gaps y calendarios alternativos de cobertura. Si la cobertura es dinámica, actualiza acciones y efectivo solo con ejecuciones reales y separa el registro autofinanciado de la atribución mediante griegas.
Antes y después del vencimiento, concilia operaciones de cierre, ejercicio, asignación, liquidación física o por diferencias, entregables ajustados, acciones residuales, cierre de cobertura, financiación, préstamo, dividendos, comisiones, impuestos y cualquier residuo entre modelo y realidad.

Cuatro ejemplos desarrollados

Umbral diario congelado con costes. Un contrato comprado tiene Gamma unitaria 0.08 Delta/$/share, Theta mostrada -$0.18/share/calendar day, multiplicador M = 100 y costes de ida y vuelta de $4/contract. El umbral local sin costes es sqrt(2 x 0.18 / 0.08) = $2.1213203436; asignar el coste de $0.04/share da sqrt(2 x (0.18 + 0.04) / 0.08) = $2.3452078799. Un movimiento de $2 produce $16 - $18 - $4 = -$6; uno de $2.50 produce $25 - $18 - $4 = +$3. Son diagnósticos de un periodo con griegas congeladas, no umbrales ejecutables ni de equilibrio al vencimiento.
El carry de la PDE no es solo Gamma frente a Theta. Para una call europea con S = K = $100, T = 0.5, r = 4%, q_div = 1% y sigma = 25%, supón V = $7.721552230288, Delta = 0.565932317133, Gamma = 0.022120576997 y Theta = -$8.301615173889/share/year. El término Gamma es $6.912680311701/share/year; el término combinado de financiación y dividendos es $1.388934862188/share/year; juntos suman $8.301615173889, es decir, -Theta. Dividir por 365 da aproximadamente -$0.022744151161/share/calendar day, aunque la convención diaria de un proveedor puede diferir.
Trayectoria autofinanciada con ejecuciones reales. Una posición con Gamma larga y cobertura Delta comienza y termina con spot en $100. Tras una subida vende 100 shares a $101.95; tras la reversión compra 100 shares a $100.05. El efectivo de la cobertura es +$190; las dos ejecuciones cuestan $10; y la valoración completa de las opciones cambia -$150. El resultado conjunto es $190 - $10 - $150 = +$30. No se debe añadir otra vez un beneficio idealizado de $200 ni un término Gamma local.
Griegas locales frente a revaloración completa. Con los mismos datos de modelo, tras un día natural y un movimiento a S_1 = $105, los términos locales por acción son Delta $2.829661585667, Gamma $0.276507212468 y Theta -$0.022744151161, que suman $3.083424646974. El valor completo con volatilidad constante es $10.794375525849; el cambio real es $3.072823295561 y el error de Taylor $0.010601351413. La cobertura Delta inicial deja $0.243161709894/share. Si la volatilidad sube al 30%, el valor completo pasa a $12.136197003065, el cambio de la opción es $4.414644772777 y el resultado cubierto $1.584983187110/share; la diferencia no es Gamma, Theta ni varianza realizada puras.

Riesgos de medición, ejecución y ciclo de vida

Aplicar una cantidad, signo, multiplicador, entregable, valor por punto o conversión FX incorrectos.
Multiplicar de nuevo un feed ya escalado por contrato o posición.
No definir la unidad de precio spot de Gamma o mezclar shocks en dólares y porcentajes.
Mezclar convenciones anuales, por día natural, hábil, fin de semana y tiempo hasta vencimiento para Theta.
Multiplicar una Vega por punto de volatilidad por un cambio decimal sin convertirlo.
Tratar una cobertura Delta inicial como neutral durante todos los cambios de spot y tiempo.
Extrapolar una Gamma local a un gran movimiento mientras cambian Speed y órdenes superiores.
Suponer que Gamma y Theta permanecen constantes al cambiar spot, tiempo y volatilidad.
Omitir tipos, dividendos, préstamo, rendimiento de conveniencia y financiación de la opción en la PDE.
Usar la aproximación de Taylor fuera de su dominio local de modelo y coordenadas.
Sumar la atribución por griegas a la valoración completa y duplicar el cambio.
Tratar un shock de punto final como trayectoria con cobertura dinámica o flujo de gamma scalping.
Mezclar muestreo de varianza realizada, bases anuales, rendimientos nocturnos y saltos.
Tratar una IV de entrada como varianza pagada o condición suficiente de beneficio.
Ignorar nivel de volatilidad, skew, estructura temporal, Vanna, Volga, Charm y términos cruzados.
Sustituir cotizaciones, tamaños y ejecuciones reales por midpoints o valores teóricos.
Ignorar ejecuciones parciales, rechazos, latencia, spread, impacto, comisiones y activadores fallidos.
Suponer que un gap, suspensión, sesión cerrada o stop preserva la trayectoria modelizada.
Omitir margen, financiación, dividendos, disponibilidad y retirada del préstamo o liquidación forzosa.
Omitir ejercicio anticipado, asignación, contratos ajustados, liquidación física o por diferencias, inventario residual, impuestos o conciliación final.

Errores comunes

«Una Gamma alta hace atractiva una opción por sí sola». Precio, Theta, dinámica de la superficie, trayectoria y costes ejecutables siguen determinando el resultado.
«Theta positiva es interés diario o ingreso gratuito». Es una derivada condicional del modelo acompañada de otros riesgos y términos de carry.
«Gamma y Theta cotizan a una tasa fija todo el día». Ambas varían con el estado del modelo, la posición y la convención temporal.
«El umbral local es el equilibrio de la operación o del vencimiento». No es un movimiento implícito ni un activador ejecutable garantizado.
«Una cobertura Delta o una prima limitada eliminan el riesgo». Persisten gaps, revaloración de volatilidad, liquidez, margen, asignación y pérdidas repetidas.