Gamma–Thetaのトレードオフ：凸性のために時間価値を払う
教育目的のみであり、投資助言ではありません
直接的な答え
Section titled “直接的な答え”Gamma–Thetaのトレードオフはオプションの凸性を時間で保有する費用です。ロングは通常、値動きに対してDeltaが有利に変わる正Gammaを得ますが、他条件一定なら負Thetaを負担します。ショートは正Thetaを得やすい代わりに、負Gammaと加速する方向リスクを受けます。
交換比率は固定ではありません。現物、ストライク、時間、IV、金利、配当、組合せで両方が変わります。満期直前のATMでは両方が集中しやすく、スプレッドでは価格帯によって符号も変わり得ます。
曲率がキャリーを上回る必要がある
Section titled “曲率がキャリーを上回る必要がある”小さな価格変化ΔSと時間Δtの局所近似は：
損益 ≈ Delta × ΔS + 0.5 × Gamma × (ΔS)² + Theta × Δt + Vega × ΔIV。
初期DeltaをヘッジしΔIV = 0とすれば、Gamma曲率とThetaキャリーの競争です。ただし一つの終点変化は動的ヘッジ経路と同じではなく、離散調整、ギャップ、スキュー、Bid/Ask、費用が理論項を上回り得ます。
満期直前のATMは短時間でITMかOTMへ決着するためDelta変化とGammaが集中し、残存時間価値も急減します。深いITM・OTMは同じとは限りません。
1日分のThetaを補う値動き
Section titled “1日分のThetaを補う値動き”1ドル当たりGamma0.08、1日1株当たりTheta−$0.18、乗数100で初期Deltaヘッジ済みとします。IVと費用を無視し：
0.5 × 0.08 × (ΔS)² = 0.18
|ΔS| = sqrt(2 × 0.18 ÷ 0.08) = $2.12。
$2の変化ならGamma寄与は1株$0.16、1枚$16で、Theta$18控除後は−$2。$2.50なら曲率は1株$0.25、1枚$25、控除後+$7です。Vega、スプレッド、費用は未計上です。
$2.12は満期損益分岐、インプライド・ムーブ、保証閾値ではありません。Gamma、Theta、Delta、IVは途中で変わります。
日次リスク記録
Section titled “日次リスク記録”- 全レッグ、数量、乗数の符号付きドルDelta、Gamma、Theta、Vegaを集計する。
- 時刻、現物、IV曲面、Bid/Ask、残存時間を記録する。
- 複数の上下変動でグリークスを再計算し、一つの局所値を外挿しない。
- 静穏、トレンド、往復、ギャップ、IV低下の経路を比較する。
- ヘッジ取引のスプレッド、費用、借株、配当、資金調達を記録する。
- 規模と資金を統一してThetaを比較し、得るGammaとVegaも見る。
- 負Gammaは数日分Thetaを超すギャップと証拠金を試す。
- 満期接近時は頻度を上げ、権利行使、割当、決済、残存株式を計画する。
よくある誤解
Section titled “よくある誤解”- 「高Gammaは買う価値がある。」経路がTheta、IV、執行費用を上回る必要があります。
- 「正Thetaは日次利息だ。」条件付き感応度で、他リスクの対価です。
- 「GammaとThetaは1日一定だ。」現物、時間、IVで変わります。
- 「算出変動が取引の損益分岐だ。」単純な局所推定にすぎません。
- 「損失限定なら正Gammaの反復購入は低リスクだ。」連続損失で大幅下落し得ます。
- 「Deltaヘッジでリスクが消える。」Gamma、Theta、Vega、ギャップ、流動性、運用リスクが残ります。