Gamma-Thetaのトレードオフ：単位、キャリー、経路、フル・リプライシング

符号付きポジション単位、明示的な時間慣行、PDEのキャリー、約定可能なヘッジ台帳、フル・リプライシング、ライフサイクル管理からGammaとThetaを検証します。

教育目的のみであり、投資助言ではありません。投資では損失が生じる可能性があります。

直接的な答え

Gamma-Thetaのトレードオフは局所的なモデル関係であり、凸性の固定価格ではありません。符号付き数量 q と乗数 M に対し、Delta_pos = q x M x Delta、Gamma_pos = q x M x Gamma、Theta_pos = q x M x Theta と定義します。単位Gammaには原資産価格の単位を、Thetaには年、暦日、取引日のいずれで測るかを明記する必要があります。

通常のバニラ・コールとプットのロングでは、所定のモデル上、Gammaは一般に正、Thetaは一般に負です。ポートフォリオ、エキゾチックなペイオフ、権利行使境界、異なる市場領域では、この符号の直感が成立しないことがあります。実際の収益はオプションのフル評価、ヘッジ在庫、現金、キャリー、コストから生じます。グリークス帰属はその収益の説明であり、再び加算してはいけません。

整合的なGamma-Theta記録を一つにまとめる

各オプション銘柄、符号付き数量、乗数、受渡し物、通貨、権利行使方式、決済方法、既存の原資産在庫、Delta目標を確定します。
グリークスの情報源と座標を明記します。1株単位か1契約単位か、ポジション換算済みか、Gammaの現物価格単位、Thetaの暦時間慣行、Vegaが 1 vol point 当たりかボラティリティ 1.00 当たりかを含めます。
オプションと原資産の約定可能な買い気配、売り気配、数量、現物、フォワード、ボラティリティ・サーフェス、金利、配当、借株、為替、残存期間、正確なタイムスタンプを同期して取得します。
符号付きのグロス・ネットDelta、Gamma、Theta、Vegaを一度だけ集計します。局所状態を固定した場合、単位と符号を整合させて Delta V_pos ~= Delta_pos x Delta S + 0.5 x Gamma_pos x (Delta S)^2 + Theta_pos x Delta t + Vega_pos x Delta sigma を使います。
局所的な閾値は診断にだけ使います。連続配当利回り q_div を置くBlack-Scholesの仮定では、恒等式は Theta + 0.5 x sigma^2 x S^2 x Gamma + (r - q_div) x S x Delta - r x V = 0 であり、資金調達と配当のキャリーもこの関係の一部です。
現物、時間、ボラティリティ水準、スキュー、期間構造、金利、配当、ジャンプ、トレンド、往復変動、ギャップ、代替ヘッジ日程をフル・リプライシングします。動的にヘッジする場合は、実際の約定だけで株式と現金を更新し、自己資金調達型台帳をグリークス帰属から分けます。
満期前後に、手仕舞い取引、権利行使、アサインメント、現物・現金決済、調整後の受渡し物、残存株式、ヘッジ解消、資金調達、借株、配当、手数料、税、モデルと実績の全残差を照合します。

4つの計算例

コストを含む1日固定閾値。 1契約ロングの単位Gammaは 0.08 Delta/$/share、表示Thetaは -$0.18/share/calendar day、乗数は M = 100、往復コストは $4/contract です。コストを除く局所閾値は sqrt(2 x 0.18 / 0.08) = $2.1213203436 です。$0.04/share のコストを割り当てると sqrt(2 x (0.18 + 0.04) / 0.08) = $2.3452078799 です。$2 の変動では $16 - $18 - $4 = -$6、$2.50 の変動では $25 - $18 - $4 = +$3 です。これはグリークスを固定した1期間の診断であり、約定可能価格や満期の損益分岐点ではありません。
PDEのキャリーは純粋なGamma対Thetaではない。 欧州型コールについて S = K = $100、T = 0.5、r = 4%、q_div = 1%、sigma = 25% とし、V = $7.721552230288、Delta = 0.565932317133、Gamma = 0.022120576997、Theta = -$8.301615173889/share/year とします。Gamma項は $6.912680311701/share/year、資金調達・配当の合算項は $1.388934862188/share/year です。合計は $8.301615173889、すなわち -Theta です。365 で割ると約 -$0.022744151161/share/calendar day ですが、業者が表示する日次慣行は異なる場合があります。
実際の約定による自己資金調達型経路。 Deltaヘッジ済みの正Gammaポジションは、現物価格 $100 で始まり同価格で終わります。上昇後に 100 shares を $101.95 で売り、反落後に 100 shares を $100.05 で買います。ヘッジ現金は +$190、2回の約定コストは $10、オプションのフル評価変化は -$150 です。合算損益は $190 - $10 - $150 = +$30 です。理想化した $200 のヘッジ利益や局所Gamma項を再加算してはいけません。
局所グリークスとフル・リプライシング。 同じモデル入力で、1暦日後に現物が S_1 = $105 へ動いたとします。1株当たりの局所項はDelta $2.829661585667、Gamma $0.276507212468、Theta -$0.022744151161 で、合計は $3.083424646974 です。ボラティリティ一定のフル価値は $10.794375525849 なので、実際の変化は $3.072823295561、Taylor誤差は $0.010601351413 です。当初のDeltaヘッジ後には $0.243161709894/share が残ります。ボラティリティが 30% に上昇すると、フル価値は $12.136197003065、オプション変化は $4.414644772777、ヘッジ後の結果は $1.584983187110/share です。この差は純粋なGamma、Theta、実現分散ではありません。

測定、執行、ライフサイクルのリスク

ポジションの符号、数量、乗数、受渡し物、ポイント価値、為替換算を誤っています。
すでに契約・ポジション換算済みのフィードを再度掛け合わせています。
Gammaの現物価格単位を未定義のままにするか、ドル変動とパーセント・ショックを混在させています。
年、暦日、取引日、週末、残存期間について異なるTheta慣行を混用しています。
1ボラティリティ・ポイント当たりのVegaに小数のボラティリティ変化を換算せず掛けています。
当初のDeltaヘッジが現物価格と時間の変化後も中立だとみなしています。
大きな変動に一つの局所Gammaを外挿し、Speedや高次項の変化を無視しています。
現物、時間、ボラティリティが変わってもGammaとThetaを一定と仮定しています。
PDEのキャリー関係から金利、配当、借株、コンビニエンス・イールド、オプション資金調達を省いています。
Taylor近似を局所モデルと座標の適用範囲外で使っています。
グリークス帰属をオプションのフル評価に加え、同じ変化を二重計上しています。
一つの終点ショックを動的ヘッジ経路やGammaスキャルピングの現金収支として扱っています。
実現分散の標本化、日数計算、夜間リターン、ジャンプ処理を混在させています。
一つの参入時IVを支払った分散、または利益の十分条件とみなしています。
ボラティリティ水準、スキュー、期間構造、Vanna、Volga、Charm、交差項を無視しています。
中値や理論値を約定可能な気配、数量、実際の約定の代わりに使っています。
部分約定、注文拒否、遅延、スプレッド、市場インパクト、手数料、機能しなかったヘッジ・トリガーを無視しています。
ギャップ、売買停止、取引時間外、ストップ注文がモデル上のヘッジ経路を維持すると仮定しています。
証拠金、資金調達、配当、借株可否、リコール、強制清算を省いています。
早期権利行使、アサインメント、調整後契約、現物・現金決済、残存在庫、税、最終照合を見落としています。

よくある誤解

「Gammaが高いだけでオプションは魅力的だ。」 結果は価格、Theta、サーフェス動態、経路、約定可能コストにも左右されます。
「正Thetaは日次利息または無償の収益だ。」 他のリスクとキャリー項を伴う条件付きのモデル微分です。
「GammaとThetaは終日固定比率で取引される。」 どちらもモデル状態、ポジション、時間慣行に伴って変わります。
「局所閾値が取引または満期の損益分岐点だ。」 インプライド・ムーブでも、保証された約定トリガーでもありません。
「Deltaヘッジまたは限定プレミアムでリスクはなくなる。」 ギャップ、ボラティリティ再評価、流動性、証拠金、アサインメント、反復損失は残ります。