Relação Gamma-Theta: unidades, carry, trajetórias e reprecificação integral

Audite Gamma e Theta com unidades de posição sinalizadas, convenções temporais explícitas, carry da PDE, registros de hedge executáveis, reprecificação integral e controles do ciclo de vida.

Somente para fins educacionais; não constitui recomendação nem aconselhamento de investimento. Investir pode causar perdas.

Resposta direta

A relação Gamma-Theta é uma relação local de modelo, não um preço fixo da convexidade. Para uma quantidade sinalizada q e um multiplicador M, definem-se Delta_pos = q x M x Delta, Gamma_pos = q x M x Gamma e Theta_pos = q x M x Theta. O Gamma unitário deve indicar a unidade de preço do subjacente; Theta deve indicar se é anual, por dia corrido ou por dia útil.

Em calls e puts vanilla comuns compradas, Gamma costuma ser positivo e Theta negativo no modelo declarado. Essa intuição de sinais pode falhar em portfólios, payoffs exóticos, fronteiras de exercício ou diferentes regiões de mercado. O desempenho efetivo vem das marcações integrais das opções, estoque do hedge, caixa, carry e custos; a atribuição por gregas explica esse desempenho, mas não deve ser somada novamente.

Construir um registro Gamma-Theta consistente

Fixe cada série de opções, quantidade sinalizada, multiplicador, entregável, moeda, estilo de exercício, forma de liquidação, estoque existente do subjacente e meta de Delta.
Declare a fonte e a coordenada das gregas: por ação ou contrato, se já estão escaladas pela posição, unidade de preço spot de Gamma, convenção temporal de Theta e se Vega é por 1 vol point ou por 1.00 de volatilidade.
Capture de forma sincronizada bid, ask e tamanho executáveis de opções e subjacente, além de spot, forward, superfície de volatilidade, taxas, dividendos, aluguel, FX, tempo até o vencimento e horários exatos.
Agregue uma única vez Delta, Gamma, Theta e Vega brutos e líquidos sinalizados. Para um estado local congelado, use Delta V_pos ~= Delta_pos x Delta S + 0.5 x Gamma_pos x (Delta S)^2 + Theta_pos x Delta t + Vega_pos x Delta sigma, com unidades e sinais compatíveis.
Trate o limiar local apenas como diagnóstico. Sob Black-Scholes e com rendimento contínuo de dividendos q_div, a identidade é Theta + 0.5 x sigma^2 x S^2 x Gamma + (r - q_div) x S x Delta - r x V = 0; portanto, financiamento e carry de dividendos integram a relação.
Faça reprecificação integral de spot, tempo, nível de volatilidade, skew, estrutura a termo, taxas, dividendos, gaps, tendências, oscilações e calendários alternativos de hedge. No hedge dinâmico, atualize ações e caixa apenas por execuções efetivas e separe o registro autofinanciado da atribuição por gregas.
Antes e depois do vencimento, concilie operações de encerramento, exercício, assignment, liquidação física ou financeira, entregáveis ajustados, ações residuais, desmontagem do hedge, financiamento, aluguel, dividendos, taxas, tributos e todo resíduo entre modelo e realidade.

Quatro exemplos detalhados

Limiar diário congelado com custos. Um contrato comprado tem Gamma unitário 0.08 Delta/$/share, Theta exibido -$0.18/share/calendar day, multiplicador M = 100 e custos de ida e volta de $4/contract. O limiar local sem custos é sqrt(2 x 0.18 / 0.08) = $2.1213203436; alocar o custo de $0.04/share resulta em sqrt(2 x (0.18 + 0.04) / 0.08) = $2.3452078799. Um movimento de $2 gera $16 - $18 - $4 = -$6; um de $2.50 gera $25 - $18 - $4 = +$3. São diagnósticos de um período com gregas congeladas, não limiares executáveis nem pontos de equilíbrio no vencimento.
O carry da PDE não é apenas Gamma contra Theta. Para uma call europeia com S = K = $100, T = 0.5, r = 4%, q_div = 1% e sigma = 25%, suponha V = $7.721552230288, Delta = 0.565932317133, Gamma = 0.022120576997 e Theta = -$8.301615173889/share/year. O termo Gamma é $6.912680311701/share/year; o termo conjunto de financiamento e dividendos é $1.388934862188/share/year; juntos somam $8.301615173889, isto é, -Theta. Dividir por 365 resulta em cerca de -$0.022744151161/share/calendar day, mas a convenção diária de um fornecedor pode diferir.
Trajetória autofinanciada com execuções efetivas. Uma posição com Gamma comprado e hedge de Delta começa e termina com spot em $100. Após uma alta, vende 100 shares a $101.95; após a reversão, compra 100 shares a $100.05. O caixa do hedge é +$190; as duas execuções custam $10; e a marcação integral das opções muda -$150. O P/L conjunto é $190 - $10 - $150 = +$30. Não se deve somar novamente um ganho idealizado de $200 nem um termo Gamma local.
Gregas locais versus reprecificação integral. Com os mesmos dados de modelo, após um dia corrido e movimento para S_1 = $105, os termos locais por ação são Delta $2.829661585667, Gamma $0.276507212468 e Theta -$0.022744151161, totalizando $3.083424646974. O valor integral com volatilidade inalterada é $10.794375525849; a variação efetiva é $3.072823295561 e o erro de Taylor, $0.010601351413. O hedge Delta inicial deixa $0.243161709894/share. Se a volatilidade subir para 30%, o valor integral será $12.136197003065, a variação da opção $4.414644772777 e o resultado coberto $1.584983187110/share; a diferença não é Gamma, Theta nem variância realizada puros.

Riscos de medição, execução e ciclo de vida

Aplicar quantidade, sinal, multiplicador, entregável, valor por ponto ou conversão FX incorretos.
Multiplicar outra vez um feed já escalado por contrato ou posição.
Não definir a unidade de preço spot de Gamma ou misturar choques em dólares e percentuais.
Misturar convenções anual, por dia corrido, dia útil, fim de semana e tempo até o vencimento para Theta.
Multiplicar uma Vega por ponto de volatilidade por mudança decimal sem conversão.
Tratar um hedge Delta inicial como neutro durante mudanças de spot e tempo.
Extrapolar um Gamma local por grande movimento enquanto Speed e ordens superiores mudam.
Supor Gamma e Theta constantes com alterações de spot, tempo e volatilidade.
Omitir taxas, dividendos, aluguel, rendimento de conveniência e financiamento da opção na PDE.
Usar a aproximação de Taylor fora do domínio local do modelo e das coordenadas.
Somar atribuição por gregas à marcação integral e duplicar a variação.
Tratar um choque de ponto final como trajetória com hedge dinâmico ou fluxo de gamma scalping.
Misturar amostragem de variância realizada, bases anuais, retornos overnight e gaps.
Tratar uma IV de entrada como variância paga ou condição suficiente de lucro.
Ignorar nível de volatilidade, skew, estrutura a termo, Vanna, Volga, Charm e termos cruzados.
Substituir cotações, tamanhos e execuções efetivas por midpoints ou valores teóricos.
Ignorar execuções parciais, rejeições, latência, spread, impacto, taxas e gatilhos malsucedidos.
Supor que gap, interrupção, sessão fechada ou stop preserva a trajetória modelada.
Omitir margem, financiamento, dividendos, disponibilidade ou recall do aluguel e liquidação forçada.
Omitir exercício antecipado, assignment, contratos ajustados, liquidação física ou financeira, estoque residual, tributos ou conciliação final.

Erros comuns

“Gamma alto, isoladamente, torna uma opção atraente.” Preço, Theta, dinâmica da superfície, trajetória e custos executáveis ainda determinam o resultado.
“Theta positivo é juro diário ou renda gratuita.” É uma derivada condicional do modelo acompanhada por outros riscos e termos de carry.
“Gamma e Theta são negociados a uma taxa fixa o dia todo.” Ambos variam com o estado do modelo, a posição e a convenção temporal.
“O limiar local é o ponto de equilíbrio da operação ou do vencimento.” Não é movimento implícito nem gatilho executável garantido.
“Hedge Delta ou prêmio limitado removem o risco.” Permanecem gaps, reprecificação da volatilidade, liquidez, margem, assignment e perdas repetidas.