Соотношение Gamma-Theta: единицы, перенос, траектории и полная переоценка

Проверка Gamma и Theta со знаками и единицами позиции, явным временем, переносом PDE, исполнимым реестром хеджа, полной переоценкой и контролем жизненного цикла.

Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.

Краткий ответ

Соотношение Gamma-Theta представляет собой локальную модельную связь, а не фиксированную цену кривизны. Для количества со знаком q и множителя M определим Delta_pos = q x M x Delta, Gamma_pos = q x M x Gamma и Theta_pos = q x M x Theta. Единичная Gamma должна сопровождаться единицей цены базового актива, а Theta - указанием годовой величины, календарного или торгового дня.

У обычных длинных стандартных коллов и путов Gamma, как правило, положительна, а Theta отрицательна в рамках указанной модели. Такая интуиция может не работать для портфелей, экзотических выплат, границ исполнения и разных областей рынка. Фактический результат определяется полными оценками опциона, хеджем, денежными средствами, переносом и издержками; атрибуция по грекам объясняет его и не должна прибавляться повторно.

Единый согласованный реестр Gamma-Theta

Зафиксируйте каждую серию опциона, количество со знаком, множитель, поставочный актив, валюту, стиль исполнения, способ расчетов, существующую позицию в базовом активе и целевую Delta.
Укажите источник и координаты греков: на акцию или контракт, масштабированы ли они на позицию, единицу спот-цены для Gamma, календарное соглашение для Theta и единицу Vega - на 1 vol point или на 1.00 волатильности.
Одновременно сохраните исполнимые bid, ask и объем опциона и базового актива, спот, форвард, поверхность волатильности, ставки, дивиденды, заем, FX, время до экспирации и точные отметки времени.
Один раз агрегируйте валовые и чистые Delta, Gamma, Theta и Vega со знаком. Для фиксированного локального состояния используйте Delta V_pos ~= Delta_pos x Delta S + 0.5 x Gamma_pos x (Delta S)^2 + Theta_pos x Delta t + Vega_pos x Delta sigma с согласованными единицами и знаками.
Считайте локальный порог только диагностикой. При допущениях Блэка-Шоулза и непрерывной дивидендной доходности q_div выполняется Theta + 0.5 x sigma^2 x S^2 x Gamma + (r - q_div) x S x Delta - r x V = 0, поэтому в связь входят финансирование и дивидендный перенос.
Полностью переоценивайте спот, время, уровень волатильности, наклон, срочную структуру, ставки, дивиденды, скачки, тренды, колебания, разрывы и альтернативные графики хеджирования. При динамическом хеджировании обновляйте акции и деньги только по фактическим сделкам и отделяйте самофинансируемый реестр от атрибуции греков.
До и после экспирации сверяйте закрывающие сделки, исполнение держателем, назначение продавцу, физические или денежные расчеты, скорректированный поставочный актив, остаток акций, закрытие хеджа, финансирование, заем, дивиденды, комиссии, налоги и каждый модельный остаток.

Четыре расчетных примера

Фиксированный однодневный порог с издержками. Один длинный контракт имеет единичную Gamma 0.08 Delta/$/share, отображаемую Theta -$0.18/share/calendar day, множитель M = 100 и издержки полного оборота $4/contract. Локальный порог без издержек равен sqrt(2 x 0.18 / 0.08) = $2.1213203436; с распределением издержек $0.04/share получаем sqrt(2 x (0.18 + 0.04) / 0.08) = $2.3452078799. Движение на $2 дает $16 - $18 - $4 = -$6, а на $2.50 - $25 - $18 - $4 = +$3. Это однопериодные диагностики с фиксированными греками, а не исполнимые пороги или безубыточность при экспирации.
Перенос PDE не сводится к Gamma против Theta. Для европейского колла с S = K = $100, T = 0.5, r = 4%, q_div = 1% и sigma = 25% предположим V = $7.721552230288, Delta = 0.565932317133, Gamma = 0.022120576997 и Theta = -$8.301615173889/share/year. Член Gamma равен $6.912680311701/share/year, объединенный член финансирования и дивидендов - $1.388934862188/share/year; вместе они дают $8.301615173889, то есть -Theta. Деление на 365 дает около -$0.022744151161/share/calendar day, однако поставщик может использовать другое дневное соглашение.
Самофинансируемая траектория по фактическим сделкам. Delta-хеджированная позиция с длинной Gamma начинает и завершает путь при споте $100. После роста она продает 100 shares по $101.95; после разворота покупает 100 shares по $100.05. Денежный результат хеджа равен +$190, две сделки стоят $10, а полная оценка опциона меняется на -$150. Совокупный результат составляет $190 - $10 - $150 = +$30. Не прибавляйте повторно идеальный доход хеджа $200 или локальный член Gamma.
Локальные греки и полная переоценка. При тех же параметрах через один календарный день и при S_1 = $105 локальные члены на акцию равны: Delta $2.829661585667, Gamma $0.276507212468, Theta -$0.022744151161, сумма $3.083424646974. Полная стоимость при неизменной волатильности равна $10.794375525849, фактическое изменение $3.072823295561, ошибка Тейлора $0.010601351413. Исходный Delta-хедж оставляет $0.243161709894/share. Если волатильность растет до 30%, полная стоимость становится $12.136197003065, изменение опциона $4.414644772777, результат с хеджем $1.584983187110/share; разница не является чистой Gamma, Theta или реализованной дисперсией.

Риски измерения, исполнения и жизненного цикла

Неверно применены знак позиции, количество, множитель, поставочный актив, стоимость пункта или FX.
Уже масштабированные на контракт или позицию данные умножены повторно.
Единица спот-цены для Gamma не указана либо смешаны долларовый и процентный шоки.
Смешаны годовое, календарное, торговое, выходное и остаточное временные соглашения Theta.
Vega на один пункт волатильности умножена на десятичное изменение без преобразования.
Предполагается, что начальный Delta-хедж остается нейтральным при изменении спота и времени.
Одна локальная Gamma экстраполируется на большое движение при изменении Speed и старших порядков.
Gamma и Theta считаются постоянными при изменении спота, времени и волатильности.
Из соотношения переноса PDE исключены ставки, дивиденды, заем, удобство владения и финансирование опциона.
Приближение Тейлора применяется вне локальной области модели и координат.
Атрибуция греков прибавляется к полной оценке, и изменение учитывается дважды.
Один конечный шок считается динамически хеджированной траекторией или денежным потоком гамма-скальпинга.
Смешаны выборка реализованной дисперсии, число дней, ночные доходности и скачки.
Одна IV входа считается уплаченной дисперсией или достаточным условием прибыли.
Не учтены уровень волатильности, наклон, срочная структура, Vanna, Volga, Charm и перекрестные члены.
Теоретические или средние значения заменяют исполнимые котировки, объем и сделки.
Не учтены частичные исполнения, отклонения, задержки, спреды, влияние, комиссии и несработавшие триггеры.
Предполагается, что разрыв, остановка, закрытая сессия или стоп-заявка сохраняют модельную траекторию хеджа.
Не учтены маржа, финансирование, дивиденды, доступность займа, отзыв и принудительная ликвидация.
Пропущены досрочное исполнение, назначение, скорректированные контракты, физические или денежные расчеты, остаток позиции, налог или финальная сверка.

Распространенные заблуждения

«Высокая Gamma сама по себе делает опцион привлекательным». Результат по-прежнему определяют цена, Theta, динамика поверхности, траектория и исполнимые издержки.
«Положительная Theta - ежедневный процент или бесплатный доход». Это условная модельная производная, сопровождаемая другими рисками и членами переноса.
«Gamma и Theta обмениваются по постоянному курсу весь день». Они меняются с состоянием модели, позицией и временным соглашением.
«Локальный порог - безубыточность сделки или экспирации». Это не подразумеваемое движение и не гарантированный исполнимый триггер.
«Delta-хедж или ограниченная премия устраняют риск». Сохраняются разрывы, переоценка волатильности, ликвидность, маржа, назначение и повторные убытки.