Volatilidade local de Dupire: de uma superfície de opções a uma difusão

Audite a volatilidade local de Dupire em coordenadas de preço, forward e variância total, com controles de ajuste sem arbitragem, estabilidade de derivadas, reprecificação e modelo dinâmico.

Somente para fins educacionais; não constitui recomendação nem aconselhamento de investimento. Investir pode causar perdas.

Resposta direta

A volatilidade local de Dupire é um coeficiente de difusão instantânea determinístico σ_loc(S,t), inferido de uma superfície suficientemente suave e livre de arbitragem de preços de opções europeias. Sob o modelo neutro ao risco escolhido para o custo de carregamento, ela constrói uma difusão cujas distribuições marginais em cada instante reproduzem os preços atuais das opções vanilla em diferentes preços de exercício e vencimentos.

Trata-se de um resultado de calibração, não da volatilidade implícita no mesmo preço de exercício, de uma previsão da volatilidade realizada ou de uma prova de que o mercado segue uma única lei de trajetórias de volatilidade local. A reprecificação exata das opções vanilla pode coexistir com dinâmicas futuras do sorriso, preços de barreiras, resultados de hedge e comportamento de saltos incorretos.

Modelo, coordenadas e processo de controle

Fixe o payoff europeu exato, o ativo subjacente, o valor de liquidação, o horário da cotação, a moeda, as unidades do preço de exercício e do vencimento e o instante de avaliação. O valor de exercício antecipado de opções americanas e os saltos de dividendos discretos exigem uma europeização explícita ou outro modelo.
Construa os dados determinísticos de desconto e carregamento: D_d(T)=exp(−∫₀ᵀr(u)du), D_q(T)=exp(−∫₀ᵀq(u)du) e F(T)=S₀D_q(T)/D_d(T). Concilie os forwards com a paridade put-call sincronizada, sem misturar observações defasadas de ações, opções, taxas ou dividendos.
Depure as cotações de compra e venda, rejeite mercados obsoletos ou cruzados e converta puts e calls de forma coerente. Imponha limites verticais, preços de calls decrescentes e convexos, densidade não negativa e consistência entre vencimentos em uma única coordenada de desconto e forward antes de diferenciar.
Ajuste uma superfície suave de preços ou variância total com regras declaradas de interpolação e extrapolação nas asas e no tempo. Para calls europeias descontadas ao tempo zero C(K,T) e taxas instantâneas determinísticas r(T) e q(T), a fórmula em coordenadas de preço é σ_loc²(K,T)=[C_T+(r(T)−q(T))K C_K+q(T)C]/[0.5K²C_KK], em que C_T mantém K fixo e C_KK=D_d(T)f_Q(K)≥0.
Associe cada derivada à sua coordenada. Com k=K/F(T) e a call normalizada c(k,T)=C(kF(T),T)/(D_d(T)F(T)), tem-se σ_loc²(kF(T),T)=2c_T|k/(k²c_kk). Com log-moneyness forward y=ln(K/F(T)) e variância implícita total w(y,T)=σ_BS²(y,T)T, defina g=(1−y w_y/(2w))²−(w_y²/4)(1/w+1/4)+w_yy/2 e use σ_loc²=w_T|y/g. Exija w_T|y≥0 e g>0: derivadas com K, k e y fixos não são intercambiáveis.
Rejeite, em vez de impor silenciosamente um piso, a variância local negativa ou instável. Perturbe cotações, forwards, dividendos, nós, interpolação, grades e fronteiras; depois reprece as opções de calibração e de validação por meio de implementações de densidade forward ou PDE backward e Monte Carlo.
Compare barreiras, outros direitos dependentes da trajetória e o P/L do hedge sob volatilidade local, volatilidade estocástica e cenários com saltos. Registre a versão das cotações, os filtros, as curvas, os parâmetros da superfície, o esquema de derivação, os nós com falha, a extrapolação, as tolerâncias do solver e as mudanças de recalibração.

Quatro exemplos desenvolvidos

Uma superfície plana de Black-Scholes recupera seu parâmetro de entrada. Sejam S₀=K=100, T=0.5, r=4%, q=1% e σ_BS=25%. A superfície exata fornece C=7.721552230288, C_K=−0.488716794830, C_KK=0.022120576997 e C_T=8.301615173889. O numerador é 6.912680311701 e o denominador é 110.602884987209; portanto, σ_loc²=0.0625 e σ_loc=25%.
As segundas derivadas amplificam pequenos erros de preço. Na mesma superfície plana, as calls com preços de exercício 99/100/101 valem 8.221364125112/7.721552230288/7.243855394654. Com espaçamento h=$1, a estimativa central é C_KK≈0.022115059190, resultando em σ_loc≈25.0031186% com as demais derivadas exatas. Elevar apenas a call central em $0.01 muda a estimativa para C_KK≈0.002115059190 e σ_loc≈80.8494317%; elevá-la em $0.05 produz C_KK≈−0.077884940810 e σ_loc²≈−0.017751006138, um resultado inválido, não uma previsão de volatilidade.
A normalização forward exige uma derivada temporal com k fixo. Sejam D_d=0.98, F=102, k=1, c=0.08, c_T|k=0.032 e c_kk=3.20. Então C=7.9968, C_KK=0.030745098039, o numerador em coordenadas de preço é 3.19872 e o denominador é 159.936. Ambas as fórmulas fornecem σ_loc²=0.020000000000 e σ_loc=14.1421356237%. Uma derivada temporal tomada com preço de exercício fixo não pode ser inserida como c_T|k sem o termo de conversão de coordenadas.
O denominador da variância total é um diagnóstico de arbitragem. Em y=−0.1, sejam w=0.04, w_y=−0.10, w_yy=0.50 e w_T|y=0.02. Então g=0.9525, σ_loc²=0.020997375328 e σ_loc=14.4904711200%. Se apenas w_yy mudar para −1.50, então g=−0.0475 e a fórmula produzirá σ_loc²=−0.421052631579; a superfície ou o nó ajustado deve ser rejeitado ou reparado, não truncado e apresentado como calibrado.

Lista de verificação da calibração

O valor de exercício de uma opção americana pode contaminar uma superfície tratada como europeia.
Dividendos discretos ou incertos violam uma difusão suave com rendimento contínuo nas datas dos eventos.
Curvas de juros, capitalização, convenções de contagem de dias e horários de vencimento podem ser inconsistentes.
As coordenadas de spot, preço de exercício, forward, log-moneyness e prêmio normalizado podem ser misturadas.
As cotações podem estar obsoletas, ser assíncronas, estar cruzadas ou corresponder a tamanhos incompatíveis.
Pontos médios não são executáveis e podem ocultar mercados amplos ou unilaterais.
A paridade put-call e os forwards inferidos podem ser afetados por empréstimo de ações, dividendos ou diferenças de horário.
Os limites verticais e a monotonicidade das calls podem falhar antes do ajuste da superfície.
A convexidade de borboleta e as condições de densidade positiva podem falhar localmente ou nas asas.
As condições de calendário devem ser testadas em coordenadas coerentes de desconto e forward.
Vencimentos curtos e preços de exercício esparsos tornam as derivadas instáveis.
A extrapolação de asas e vencimentos longos pode dominar a avaliação de produtos exóticos.
Diferenças finitas, splines e diferenciação automática podem amplificar o ruído de formas distintas.
Uma densidade próxima de zero torna mal condicionado o denominador da variância local.
Um numerador ou uma variância local negativos indicam dados inconsistentes, arbitragem ou problemas numéricos.
Truncamentos ou pisos silenciosos podem ocultar uma calibração malsucedida e distorcer a reprecificação.
Implementações por PDE, densidade, Monte Carlo, grade e fronteira podem divergir.
Ajustar distribuições marginais de um único instante não determina o sorriso futuro nem a dinâmica das trajetórias.
Saltos, volatilidade estocástica, barreiras e hedge discreto criam risco de modelo residual.
A versão dos dados, os filtros, as versões dos parâmetros, os nós com falha e a recalibração exigem governança.

Erros comuns

“A volatilidade local é a volatilidade implícita no mesmo preço de exercício.” São objetos diferentes, ligados pela superfície completa.
“Uma superfície de aparência suave deve gerar volatilidade local estável.” A suavidade, por si só, não garante ausência de arbitragem nem derivadas bem condicionadas.
“A reprecificação exata das opções vanilla prova que os preços e os hedges de exóticos estão corretos.” Ela valida distribuições marginais estáticas, não a dinâmica verdadeira.
“A variância local negativa é informação de mercado.” Em geral, ela diagnostica cotações, arbitragem, coordenadas, interpolação ou cálculos numéricos inconsistentes.
“A superfície de hoje prevê de forma única a volatilidade realizada ou o processo verdadeiro.” Muitas dinâmicas podem compartilhar as mesmas distribuições vanilla em cada instante.