Локальная волатильность Дюпира: от поверхности опционов к диффузии

Проверка локальной волатильности Дюпира в координатах цены, форварда и полной дисперсии с контролем безарбитражной подгонки, устойчивости производных, переоценки и динамического модельного риска.

Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.

Краткий ответ

Локальная волатильность Дюпира — это детерминированный мгновенный коэффициент диффузии σ_loc(S,t), восстановленный по достаточно гладкой безарбитражной поверхности цен европейских опционов. В рамках выбранной риск-нейтральной модели стоимости переноса он задаёт одну диффузию, одномоментные маргинальные распределения которой воспроизводят сегодняшние цены ванильных опционов по страйкам и срокам.

Это результат калибровки, а не подразумеваемая волатильность на том же страйке, прогноз реализованной волатильности или доказательство того, что рынок следует единственному закону траекторий локальной волатильности. Точная переоценка ванильных опционов может сочетаться с неверной будущей динамикой улыбки, ценами барьеров, результатами хеджирования и поведением скачков.

Модель, координаты и процесс контроля

Зафиксируйте точную европейскую выплату, базовый актив, расчётную величину, время котировки, валюту, единицы страйка и срока, а также момент оценки. Стоимость досрочного исполнения американского опциона и скачки дискретных дивидендов требуют явного преобразования в европейский эквивалент либо другой модели.
Постройте детерминированные входы дисконтирования и переноса: D_d(T)=exp(−∫₀ᵀr(u)du), D_q(T)=exp(−∫₀ᵀq(u)du) и F(T)=S₀D_q(T)/D_d(T). Сверяйте форварды по синхронному паритету пут-колл, не смешивая устаревшие наблюдения по акции, опционам, ставкам и дивидендам.
Очистите котировки спроса и предложения, исключите устаревшие и перекрещенные рынки, согласованно преобразуйте путы и коллы. До дифференцирования обеспечьте вертикальные границы, убывание и выпуклость цен коллов, неотрицательную плотность и календарную согласованность в одной дисконтно-форвардной системе координат.
Подберите гладкую поверхность цен или полной дисперсии с явно заданными интерполяцией и экстраполяцией по крыльям и времени. Для дисконтированных на момент ноль европейских коллов C(K,T) и детерминированных мгновенных r(T) и q(T) формула в ценовых координатах имеет вид σ_loc²(K,T)=[C_T+(r(T)−q(T))K C_K+q(T)C]/[0.5K²C_KK], где в C_T фиксировано K, а C_KK=D_d(T)f_Q(K)≥0.
Согласуйте производную с её координатой. При k=K/F(T) и нормированной цене колла c(k,T)=C(kF(T),T)/(D_d(T)F(T)) получаем σ_loc²(kF(T),T)=2c_T|k/(k²c_kk). Для логарифмической форвардной денежности y=ln(K/F(T)) и полной подразумеваемой дисперсии w(y,T)=σ_BS²(y,T)T определите g=(1−y w_y/(2w))²−(w_y²/4)(1/w+1/4)+w_yy/2 и используйте σ_loc²=w_T|y/g. Необходимо w_T|y≥0 и g>0; производные при фиксированных K, k и y не взаимозаменяемы.
Отбрасывайте отрицательную или неустойчивую локальную дисперсию, а не вводите для неё скрытый нижний предел. Возмущайте котировки, форварды, дивиденды, узлы, интерполяцию, сетки и границы; затем переоценивайте калибровочные и отложенные опционы через прямую плотность либо обратную PDE и реализации Монте-Карло.
Сравнивайте барьеры, другие зависящие от траектории требования и P/L хеджирования в сценариях локальной и стохастической волатильности и скачков. Фиксируйте версию котировок, фильтры, кривые, параметры поверхности, схему производных, неудачные узлы, экстраполяцию, допуски решателя и изменения при повторной калибровке.

Четыре примера

Плоская поверхность Блэка-Шоулза восстанавливает исходный параметр. Пусть S₀=K=100, T=0.5, r=4%, q=1% и σ_BS=25%. Точная поверхность даёт C=7.721552230288, C_K=−0.488716794830, C_KK=0.022120576997 и C_T=8.301615173889. Числитель равен 6.912680311701, знаменатель — 110.602884987209, поэтому σ_loc²=0.0625 и σ_loc=25%.
Вторые производные усиливают малые ошибки цены. На той же плоской поверхности цены коллов для страйков 99/100/101 равны 8.221364125112/7.721552230288/7.243855394654. При шаге h=$1 центральная оценка составляет C_KK≈0.022115059190, что при остальных точных производных даёт σ_loc≈25.0031186%. Повышение только среднего колла на $0.01 меняет оценку на C_KK≈0.002115059190 и σ_loc≈80.8494317%; повышение на $0.05 даёт C_KK≈−0.077884940810 и σ_loc²≈−0.017751006138. Это недопустимый результат, а не прогноз волатильности.
Форвардная нормировка требует производной по времени при фиксированном k. Пусть D_d=0.98, F=102, k=1, c=0.08, c_T|k=0.032 и c_kk=3.20. Тогда C=7.9968, C_KK=0.030745098039, числитель в ценовых координатах равен 3.19872, а знаменатель — 159.936. Обе формулы дают σ_loc²=0.020000000000 и σ_loc=14.1421356237%. Производную по времени при фиксированном страйке нельзя подставлять как c_T|k без слагаемого преобразования координат.
Знаменатель полной дисперсии служит диагностикой арбитража. При y=−0.1 пусть w=0.04, w_y=−0.10, w_yy=0.50 и w_T|y=0.02. Тогда g=0.9525, σ_loc²=0.020997375328 и σ_loc=14.4904711200%. Если только w_yy меняется на −1.50, то g=−0.0475, а формула даёт σ_loc²=−0.421052631579; подобранную поверхность или узел нужно отклонить либо исправить, а не обрезать результат и выдавать его за калибровку.

Контрольный список калибровки

Стоимость американского исполнения может загрязнить поверхность, считающуюся европейской.
Дискретные или неопределённые дивиденды нарушают гладкую диффузию с непрерывной доходностью в даты событий.
Кривые ставок, начисление, правила подсчёта дней и моменты погашения могут быть несогласованны.
Можно смешать координаты спота, страйка, форварда, логарифмической денежности и нормированной премии.
Котировки могут быть устаревшими, асинхронными, перекрещенными или относиться к несовместимым объёмам.
Средние цены не исполнимы и могут скрывать широкий или односторонний рынок.
Паритет пут-колл и восстановленные форварды могут искажаться займом, дивидендами или временем наблюдения.
Вертикальные границы и монотонность колла могут нарушаться ещё до подбора поверхности.
Выпуклость по бабочке и условие положительной плотности могут нарушаться локально или в крыльях.
Календарные условия следует проверять в согласованных дисконтно-форвардных координатах.
Короткие сроки и редкие страйки делают производные неустойчивыми.
Экстраполяция крыльев и дальних сроков может определять оценку экзотических опционов.
Конечные разности, сплайны и автоматическое дифференцирование по-разному усиливают шум котировок.
Плотность, близкая к нулю, делает знаменатель локальной дисперсии плохо обусловленным.
Отрицательный числитель или локальная дисперсия указывают на несогласованные входы, арбитраж или численные ошибки.
Скрытое обрезание или ограничение снизу может замаскировать сбой калибровки и исказить переоценку.
Реализации PDE, плотности, Монте-Карло, сеток и граничных условий могут расходиться.
Совпадение одномоментных маргинальных распределений не определяет будущую динамику улыбки или траекторий.
Скачки, стохастическая волатильность, барьеры и дискретное хеджирование оставляют модельный риск.
Версии данных, фильтры, версии параметров, неудачные узлы и повторная калибровка требуют управления.

Распространённые заблуждения

«Локальная волатильность равна подразумеваемой волатильности на том же страйке». Это разные объекты, связанные всей поверхностью.
«Гладкая на вид поверхность обязательно даёт устойчивую локальную волатильность». Одна гладкость не гарантирует отсутствие арбитража и хорошую обусловленность производных.
«Точная переоценка ванильных опционов доказывает правильность цен экзотики и хеджирования». Она проверяет статические маргинальные распределения, а не динамическую истину.
«Отрицательная локальная дисперсия — рыночная информация». Обычно это признак несогласованных котировок, арбитража, координат, интерполяции или численных методов.
«Сегодняшняя поверхность однозначно предсказывает реализованную волатильность или истинный процесс». У разных динамик могут совпадать одномоментные распределения ванильных опционов.