Dupire 局部波動率：從期權曲面反推擴散過程
僅供教育參考，不構成投資建議
Dupire 局部波動率是從無套利歐式期權價格曲面反推出、由資產水平和時間決定的確定函數。它尋找瞬時擴散率 σ_loc(S,t)，使一個連續的風險中性價格過程能重現今天不同履約價和期限的 Call 價格。
它是校準模型，不是實現波動率或股票方向預測。理論上精確匹配今天的香草期權曲面，也不代表明天的微笑動態、奇異期權價格和避險結果正確。
在連續無風險利率 r 和股息率 q 下，局部波動率過程可寫為：
dS_t = (r−q)S_t dt + σ_loc(S_t,t)S_t dW_t。
令 C(K,T) 為足夠平滑的歐式 Call 價格曲面，一種常見 Dupire 形式為：
σ_loc²(K,T) = [∂_T C + (r−q)K∂_K C + qC] / [0.5K²∂²_K C]。
分母包含 Call 對履約價的二階導數，它與折現後的風險中性終值密度相關。因此 Call 價格必須隨履約價下降且保持凸性，曲面還須滿足適當日曆約束。公式變體取決於折現、遠期、股息和座標口徑，輸入單位必須與所用推導一致。
局部波動率不是隱含波動率。隱含波動率是重現某一張期權價格的單個 Black-Scholes 輸入；局部波動率是模擬路徑到達狀態 (S,t) 時使用的瞬時擴散係數。純局部波動率模型在該狀態只有一個指定波動率，隨機波動率模型則可在相同現價和時間對應多個方差狀態。
示意導數計算
Section titled “示意導數計算”在 K=$100、T=0.5 年處，假設一個平滑無套利 Call 曲面給出：
C=7.00，∂_T C=8.50/年。∂_K C=−0.45，∂²_K C=0.018/美元平方。- 連續複利
r=4%、q=1%。
分子為 8.50 + (0.04−0.01)×100×(−0.45) + 0.01×7.00 = 7.22，分母為 0.5×100²×0.018 = 90。所以 σ_loc²≈7.22/90≈0.0802，σ_loc≈28.3%。
這些導數是擬合曲面的示意值，不能直接用相鄰期權鏈報價作差。市場報價離散、不同步且有雜訊，履約價二階導數會放大小誤差；負數或接近零的分母會產生負、無限大或不穩定的局部方差。
可靠流程應清洗同步報價，估算折現因子和遠期，擬合不存在蝶式或日曆套利的平滑曲面，再求導並施加邊界控制，最後透過 PDE 或模擬重新定價輸入期權。重估價格應接近可成交市場範圍，而不僅是選擇性的中間價。
校準檢查清單
Section titled “校準檢查清單”- 使用歐式期權或有依據的歐式化流程；美式股票期權包含提前履約價值。
- 在定義 Moneyness 前，用利率、股息和 Put-Call Parity 一致地推算遠期。
- 跨多個履約價和期限擬合價格或總方差，並明確加入無靜態套利約束。
- 檢查履約價單調性和凸性、日曆順序、正密度與正局部方差。
- 對照 Bid/Ask，移除過時或交叉報價，並記錄稀疏尾部的外推規則。
- 擾動一個報價、遠期、股息、節點、插值規則和網格步長，測量不穩定性。
- 重估所有校準工具，並保留部分履約價或期限作驗證集。
- 比較 PDE 和 Monte Carlo 輸出，尤其關注短期限和邊界。
- 即使香草期權重估精確，也把障礙等路徑依賴產品視為模型依賴價格。
- 用其他微笑動態、隨機波動率和跳躍模型評估避險行為。
- 「局部波動率就是該履約價的 IV。」兩者定義不同，數值無需相等。
- 「精確校準香草期權證明模型正確。」它只建立靜態一致性，不證明動態真實。
- 「原始期權鏈數字能直接代入公式。」求導前必須平滑並控制套利。
- 「負局部方差描述了市場。」它通常表示輸入、套利、插值或數值不穩定問題。
- 「反推曲面能預測未來實現波動率。」它是依據當前期權價格校準的風險中性量。
- 「一個校準模型能給出正確障礙期權價格。」路徑和微笑動態帶來顯著模型風險。