Dupire 국소변동성: 옵션 표면에서 확산과정으로

교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다

핵심 답변

Dupire 국소변동성은 무차익 유럽형 옵션 가격 표면에서 추정하는 자산수준과 시간의 결정론적 함수입니다. 연속 위험중립 가격과정이 오늘의 여러 행사가와 만기 콜 가격을 재현하도록 하는 순간 확산율 σ_loc(S,t)를 찾습니다.

이는 보정모형이지 실현변동성이나 주가방향 예측이 아닙니다. 오늘의 바닐라 표면을 이론상 정확히 맞춰도 내일의 스마일 동학, 이색 옵션가격, 헤지결과가 맞는다는 뜻은 아닙니다.

모형과 공식

연속 무위험금리 r, 배당수익률 q 아래에서

dS_t = (r−q)S_t dt + σ_loc(S_t,t)S_t dW_t입니다.

C(K,T)가 충분히 매끄러운 유럽형 콜 가격표면이라면 대표적인 Dupire 형태는

σ_loc²(K,T) = [∂_T C + (r−q)K∂_K C + qC] / [0.5K²∂²_K C]입니다.

분모에는 콜 가격의 행사가 2차 미분이 있으며 할인된 위험중립 만기밀도와 연결됩니다. 콜 가격은 행사가에 따라 감소하고 볼록해야 하며 적절한 캘린더 제약도 지켜야 합니다. 할인, 선도, 배당, 좌표에 따라 공식 형태가 달라지므로 입력과 단위를 같은 유도방식에 맞춥니다.

국소변동성은 내재변동성이 아닙니다. 내재변동성은 한 옵션 가격을 재현하는 Black-Scholes 입력이고 국소변동성은 경로가 상태 (S,t)에 도달했을 때의 순간 확산계수입니다. 순수 국소모형은 그 상태에 하나의 값만 지정하지만 확률적 변동성모형은 같은 현가와 시각에 여러 분산상태를 가질 수 있습니다.

미분값 계산 예시

K=$100, T=0.5년에서 매끄러운 무차익 콜 표면이 다음을 준다고 가정합니다.

C=7.00, ∂_T C=8.50/년.
∂_K C=−0.45, ∂²_K C=0.018/달러².
연속복리 r=4%, q=1%.

분자는 8.50 + (0.04−0.01)×100×(−0.45) + 0.01×7.00 = 7.22, 분모는 0.5×100²×0.018 = 90입니다. 따라서 σ_loc²≈7.22/90≈0.0802, σ_loc≈28.3%입니다.

미분값은 적합된 표면의 예시이며 인접 옵션체인 호가를 직접 차분한 것이 아닙니다. 시장호가는 이산적이고 비동기적이며 잡음이 있습니다. 행사가 2차 미분은 작은 오류를 증폭하고 음수나 0에 가까운 분모는 음수·무한대·불안정 국소분산을 만듭니다.

실무 절차는 동기화 호가를 정제하고 할인과 선도를 추정하며 버터플라이·캘린더 차익이 없는 매끄러운 표면을 적합한 뒤 미분하고 경계를 통제합니다. 마지막으로 PDE나 시뮬레이션으로 입력 옵션을 재평가해 선택한 중간값뿐 아니라 실행 가능한 시장범위로 돌아오는지 확인합니다.

보정 점검표

유럽형 옵션이나 근거 있는 유럽형 변환을 사용하고 미국식 주식 옵션의 조기행사 가치를 무시하지 않습니다.
Moneyness 정의 전 금리, 배당, Put-Call Parity로 일관된 선도를 추정합니다.
여러 행사가와 만기의 가격 또는 총분산을 명시적 정적 무차익 제약으로 적합합니다.
행사가 단조성·볼록성, 캘린더 순서, 양의 밀도와 국소분산을 확인합니다.
Bid/Ask와 비교하고 오래되거나 교차된 호가를 제거하며 희박한 날개의 외삽을 기록합니다.
한 호가, 선도, 배당, 매듭, 보간, 격자간격을 바꿔 불안정성을 측정합니다.
모든 보정상품을 재평가하고 일부 행사가나 만기를 검증용으로 남깁니다.
특히 단기와 경계에서 PDE와 Monte Carlo 결과를 비교합니다.
바닐라 재평가가 정확해도 배리어 등 경로의존 가격을 모델 의존적으로 취급합니다.
다른 스마일 동학, 확률적 변동성, 점프로 헤지행동을 평가합니다.

흔한 오해

“국소변동성은 해당 행사가의 IV다.” 정의가 다르며 값이 같을 필요가 없습니다.
“바닐라 정확한 보정이 모형의 정확성을 증명한다.” 정적 일관성이지 동적 진실이 아닙니다.
“원시 옵션체인 값을 공식에 넣을 수 있다.” 미분 전 평활화와 무차익 통제가 필수입니다.
“음의 국소분산은 시장을 설명한다.” 보통 입력, 차익, 보간, 수치 불안정 문제입니다.
“추정 표면은 미래 실현변동성을 예측한다.” 현재 옵션가격에 보정한 위험중립 값입니다.
“보정된 한 모형이 정확한 배리어 가격을 준다.” 경로와 스마일 동학에 큰 모델위험이 있습니다.