Dupire 국소 변동성: 옵션 곡면에서 확산과정으로

가격·선도·총분산 좌표에서 Dupire 국소 변동성을 점검하고 무차익 적합, 미분 안정성, 재평가와 동적 모형 통제를 다룹니다.

교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다. 투자에는 손실이 발생할 수 있습니다.

핵심 답변

Dupire 국소 변동성은 충분히 매끄럽고 무차익인 유럽형 옵션 가격 곡면에서 추정한 결정론적 순간 확산계수 σ_loc(S,t) 입니다. 선택한 위험중립 보유비용 모형 아래에서 각 시점의 주변분포가 현재의 여러 행사가와 만기에 걸친 바닐라 가격을 재현하는 하나의 확산과정을 구성합니다.

이는 캘리브레이션 결과이지 같은 행사가의 내재변동성, 실현변동성 전망 또는 시장이 하나의 국소 변동성 경로 법칙을 따른다는 증거가 아닙니다. 바닐라 재평가가 정확해도 미래 스마일 동학, 배리어 가격, 헤지 결과와 점프 움직임은 틀릴 수 있습니다.

모형, 좌표와 통제 절차

정확한 유럽형 손익, 기초자산, 결제값, 호가 시각, 통화, 행사가·만기 단위와 평가시점을 확정합니다. 미국형 조기행사 가치와 이산 배당 점프에는 명시적인 유럽형 가격 조정이나 다른 모형이 필요합니다.
결정론적 할인·보유비용 입력인 D_d(T)=exp(−∫₀ᵀr(u)du), D_q(T)=exp(−∫₀ᵀq(u)du), F(T)=S₀D_q(T)/D_d(T) 를 구축합니다. 오래된 주식, 옵션, 금리 또는 배당 관측치를 섞지 말고 같은 시점의 풋-콜 패리티로 선도가격을 대조합니다.
매수·매도호가를 정제하고 오래되거나 교차된 시장을 제외하며 풋과 콜을 일관되게 변환합니다. 미분 전에 하나의 할인-선도 좌표에서 수직 스프레드 경계, 콜 가격의 감소성과 볼록성, 비음수 밀도와 캘린더 일관성을 강제합니다.
명시한 보간법과 날개·시간 외삽법으로 매끄러운 가격 또는 총분산 곡면을 적합합니다. 시점 0의 할인된 유럽형 콜 C(K,T) 과 결정론적 순간 r(T), q(T) 에 대해 가격 좌표 공식은 σ_loc²(K,T)=[C_T+(r(T)−q(T))K C_K+q(T)C]/[0.5K²C_KK] 입니다. 여기서 C_T 는 K 를 고정해 구하고 C_KK=D_d(T)f_Q(K)≥0 입니다.
미분과 좌표를 일치시킵니다. k=K/F(T) 이고 정규화 콜이 c(k,T)=C(kF(T),T)/(D_d(T)F(T)) 이면 σ_loc²(kF(T),T)=2c_T|k/(k²c_kk) 입니다. 로그 선도 머니니스를 y=ln(K/F(T)), 총내재분산을 w(y,T)=σ_BS²(y,T)T 로 두고 g=(1−y w_y/(2w))²−(w_y²/4)(1/w+1/4)+w_yy/2 를 정의한 뒤 σ_loc²=w_T|y/g 를 사용합니다. w_T|y≥0 과 g>0 이 필요하며 고정 K, 고정 k, 고정 y 미분은 서로 바꿀 수 없습니다.
음수이거나 불안정한 국소분산은 몰래 하한을 적용하지 말고 캘리브레이션을 기각합니다. 호가, 선도, 배당, 매듭, 보간, 격자와 경계를 교란한 뒤 선도밀도 또는 후방 PDE와 몬테카를로 구현으로 캘리브레이션 옵션과 검증용으로 제외한 옵션을 재평가합니다.
국소 변동성, 확률적 변동성과 점프 시나리오에서 배리어, 기타 경로의존 청구권과 헤지 손익을 비교합니다. 호가 데이터 버전, 필터, 곡선, 곡면 모수, 미분법, 실패한 노드, 외삽, 솔버 허용오차와 재캘리브레이션 변경사항을 기록합니다.

네 가지 계산 예시

평평한 Black-Scholes 곡면은 입력값을 복원합니다. S₀=K=100, T=0.5, r=4%, q=1%, σ_BS=25% 라고 합시다. 정확한 곡면은 C=7.721552230288, C_K=−0.488716794830, C_KK=0.022120576997, C_T=8.301615173889 를 줍니다. 분자는 6.912680311701, 분모는 110.602884987209 이므로 σ_loc²=0.0625, σ_loc=25% 입니다.
2차 미분은 작은 가격오차를 증폭합니다. 같은 평평한 곡면에서 행사가 99/100/101 의 콜 가격은 8.221364125112/7.721552230288/7.243855394654 입니다. 간격 h=$1 의 중앙 추정치는 C_KK≈0.022115059190 이고 다른 정확한 미분값을 사용하면 σ_loc≈25.0031186% 입니다. 중앙 콜만 $0.01 올려도 추정치는 C_KK≈0.002115059190, σ_loc≈80.8494317% 로 바뀌고, $0.05 올리면 C_KK≈−0.077884940810, σ_loc²≈−0.017751006138 이 됩니다. 이는 유효하지 않은 값이지 변동성 전망이 아닙니다.
선도 정규화에는 고정 k 시간미분이 필요합니다. D_d=0.98, F=102, k=1, c=0.08, c_T|k=0.032, c_kk=3.20 이라고 합시다. 그러면 C=7.9968, C_KK=0.030745098039, 가격 좌표 분자는 3.19872, 분모는 159.936 입니다. 두 공식 모두 σ_loc²=0.020000000000, σ_loc=14.1421356237% 를 줍니다. 고정 행사가에서 구한 시간미분은 좌표 변환항 없이 c_T|k 로 넣을 수 없습니다.
총분산 분모는 차익거래 진단지표입니다. y=−0.1 에서 w=0.04, w_y=−0.10, w_yy=0.50, w_T|y=0.02 라고 합시다. 그러면 g=0.9525, σ_loc²=0.020997375328, σ_loc=14.4904711200% 입니다. w_yy 만 −1.50 으로 바꾸면 g=−0.0475 가 되고 공식은 σ_loc²=−0.421052631579 를 만듭니다. 해당 적합 곡면이나 노드를 기각 또는 수정해야 하며, 값을 잘라낸 뒤 캘리브레이션됐다고 제시하면 안 됩니다.

캘리브레이션 점검표

미국형 행사 가치가 유럽형으로 취급한 곡면에 섞일 수 있습니다.
이산 또는 불확실한 배당은 사건일에 매끄러운 연속 배당수익률 확산을 위반합니다.
금리곡선, 복리방식, 일수계산과 만기 시각이 일치하지 않을 수 있습니다.
현물가격, 행사가, 선도, 로그 머니니스와 프리미엄 정규화 좌표가 혼용될 수 있습니다.
호가가 오래되거나 비동기·교차 상태이거나 호환되지 않는 수량에 해당할 수 있습니다.
중간가격은 체결 가능하지 않으며 넓거나 한쪽뿐인 시장을 감출 수 있습니다.
풋-콜 패리티와 추론한 선도는 주식차입, 배당 또는 시점 때문에 오염될 수 있습니다.
곡면 적합 전에 수직 경계와 콜 단조성이 이미 위반됐을 수 있습니다.
버터플라이 볼록성과 양의 밀도 조건이 국소 구간 또는 날개에서 깨질 수 있습니다.
캘린더 조건은 일관된 할인-선도 좌표에서 검사해야 합니다.
짧은 만기와 희소한 행사가가 미분을 불안정하게 만듭니다.
날개와 장기 외삽이 이색 옵션 평가를 지배할 수 있습니다.
유한차분, 스플라인과 자동미분은 서로 다른 방식으로 호가 잡음을 증폭할 수 있습니다.
밀도가 0에 가까우면 국소분산 분모의 조건수가 나빠집니다.
음의 분자나 국소분산은 입력, 차익거래 또는 수치처리가 불일치함을 뜻합니다.
몰래 값을 잘라내거나 하한을 두면 실패한 캘리브레이션을 숨기고 재평가를 왜곡할 수 있습니다.
PDE, 밀도, 몬테카를로, 격자와 경계 구현이 서로 다른 결과를 낼 수 있습니다.
단일 시점 주변분포를 일치시켜도 미래 스마일이나 경로 동학은 정해지지 않습니다.
점프, 확률적 변동성, 배리어와 이산 헤지는 잔여 모형위험을 만듭니다.
데이터 버전, 필터, 모수 버전, 실패 노드와 재캘리브레이션에는 관리가 필요합니다.

흔한 오해

“국소 변동성은 같은 행사가의 내재변동성이다.” 둘은 전체 곡면을 통해 연결되는 서로 다른 대상입니다.
“겉보기에 매끄러운 곡면이면 국소 변동성도 안정적이다.” 매끄러움만으로 무차익이나 양호한 미분 조건이 보장되지는 않습니다.
“바닐라를 정확히 재평가하면 이색 옵션 가격과 헤지도 정확하다.” 이는 정적 주변분포를 검증할 뿐 동적 진실을 검증하지 않습니다.
“음의 국소분산은 시장정보다.” 보통 불일치 호가, 차익거래, 좌표, 보간 또는 수치문제를 진단합니다.
“현재 곡면은 실현변동성이나 실제 과정을 유일하게 예측한다.” 여러 동학이 같은 단일 시점 바닐라 분포를 공유할 수 있습니다.