Volatilidad local de Dupire: de una superficie de opciones a una difusión

Audite la volatilidad local de Dupire en coordenadas de precio, forward y varianza total, con controles de ajuste sin arbitraje, estabilidad de derivadas, revaloración y modelo dinámico.

Solo con fines educativos; no constituye asesoramiento de inversión. Invertir puede ocasionar pérdidas.

Respuesta directa

La volatilidad local de Dupire es un coeficiente de difusión instantánea determinista σ_loc(S,t), inferido de una superficie suficientemente suave y sin arbitraje de precios de opciones europeas. Bajo el modelo neutral al riesgo elegido para el coste de mantenimiento, construye una difusión cuyas distribuciones marginales en cada instante reproducen los precios actuales de las opciones vanilla para distintos precios de ejercicio y vencimientos.

Es un resultado de calibración, no la volatilidad implícita del mismo precio de ejercicio, una previsión de la volatilidad realizada ni una prueba de que el mercado siga una única ley de trayectorias de volatilidad local. Una revaloración exacta de las opciones vanilla puede coexistir con dinámicas futuras de la sonrisa, precios de barreras, resultados de cobertura y comportamiento de saltos incorrectos.

Modelo, coordenadas y proceso de control

Fije el payoff europeo exacto, el subyacente, el valor de liquidación, la marca temporal de la cotización, la divisa, las unidades del precio de ejercicio y del vencimiento y el momento de valoración. El valor de ejercicio anticipado de una opción americana y los saltos por dividendos discretos exigen una europeización explícita u otro modelo.
Construya entradas deterministas de descuento y coste de mantenimiento: D_d(T)=exp(−∫₀ᵀr(u)du), D_q(T)=exp(−∫₀ᵀq(u)du) y F(T)=S₀D_q(T)/D_d(T). Concilie los forwards mediante paridad put-call sincronizada, sin mezclar observaciones desfasadas de acciones, opciones, tipos o dividendos.
Depure las cotizaciones de compra y venta, descarte mercados obsoletos o cruzados y convierta puts y calls de forma coherente. Imponga cotas verticales, precios de calls decrecientes y convexos, densidad no negativa y consistencia temporal en una única coordenada de descuento y forward antes de diferenciar.
Ajuste una superficie suave de precios o varianza total con reglas declaradas de interpolación y extrapolación por alas y plazos. Para calls europeas descontadas al momento cero C(K,T) y tipos instantáneos deterministas r(T) y q(T), la fórmula en coordenadas de precio es σ_loc²(K,T)=[C_T+(r(T)−q(T))K C_K+q(T)C]/[0.5K²C_KK], donde C_T mantiene fijo K y C_KK=D_d(T)f_Q(K)≥0.
Haga coincidir cada derivada con su coordenada. Con k=K/F(T) y la call normalizada c(k,T)=C(kF(T),T)/(D_d(T)F(T)), se obtiene σ_loc²(kF(T),T)=2c_T|k/(k²c_kk). Con log-moneyness forward y=ln(K/F(T)) y varianza implícita total w(y,T)=σ_BS²(y,T)T, defina g=(1−y w_y/(2w))²−(w_y²/4)(1/w+1/4)+w_yy/2 y use σ_loc²=w_T|y/g. Exija w_T|y≥0 y g>0: las derivadas con K, k e y fijos no son intercambiables.
Rechace una varianza local negativa o inestable en lugar de imponerle silenciosamente un suelo. Perturbe cotizaciones, forwards, dividendos, nodos, interpolación, mallas y fronteras; después revalore las opciones de calibración y de validación mediante implementaciones de densidad forward o PDE backward y Monte Carlo.
Compare barreras, otros derechos dependientes de la trayectoria y el P/L de cobertura bajo volatilidad local, volatilidad estocástica y escenarios con saltos. Registre la versión de las cotizaciones, los filtros, las curvas, los parámetros de la superficie, el esquema de derivación, los nodos fallidos, la extrapolación, las tolerancias del solver y los cambios de recalibración.

Cuatro ejemplos desarrollados

Una superficie plana de Black-Scholes recupera su entrada. Sean S₀=K=100, T=0.5, r=4%, q=1% y σ_BS=25%. La superficie exacta da C=7.721552230288, C_K=−0.488716794830, C_KK=0.022120576997 y C_T=8.301615173889. El numerador es 6.912680311701 y el denominador 110.602884987209, por lo que σ_loc²=0.0625 y σ_loc=25%.
Las segundas derivadas amplifican errores de precio diminutos. En la misma superficie plana, las calls con precios de ejercicio 99/100/101 valen 8.221364125112/7.721552230288/7.243855394654. Con separación h=$1, la estimación central es C_KK≈0.022115059190, que junto con las demás derivadas exactas da σ_loc≈25.0031186%. Elevar solo la call central en $0.01 cambia la estimación a C_KK≈0.002115059190 y σ_loc≈80.8494317%; elevarla en $0.05 da C_KK≈−0.077884940810 y σ_loc²≈−0.017751006138, un resultado inválido y no una previsión de volatilidad.
La normalización forward exige una derivada temporal con k fijo. Sean D_d=0.98, F=102, k=1, c=0.08, c_T|k=0.032 y c_kk=3.20. Entonces C=7.9968, C_KK=0.030745098039, el numerador en coordenadas de precio es 3.19872 y el denominador 159.936. Ambas fórmulas dan σ_loc²=0.020000000000 y σ_loc=14.1421356237%. Una derivada temporal tomada con precio de ejercicio fijo no puede insertarse como c_T|k sin el término de conversión de coordenadas.
El denominador de varianza total diagnostica arbitraje. En y=−0.1, sean w=0.04, w_y=−0.10, w_yy=0.50 y w_T|y=0.02. Se obtiene g=0.9525, σ_loc²=0.020997375328 y σ_loc=14.4904711200%. Si solo w_yy cambia a −1.50, entonces g=−0.0475 y la fórmula produce σ_loc²=−0.421052631579; la superficie o el nodo ajustado debe rechazarse o repararse, no recortarse y presentarse como calibrado.

Lista de control de calibración

El valor de ejercicio de una opción americana puede contaminar una superficie tratada como europea.
Los dividendos discretos o inciertos contradicen una difusión suave con rendimiento continuo en las fechas de evento.
Las curvas de tipos, la capitalización, las convenciones de días y las marcas temporales de vencimiento pueden ser incoherentes.
Pueden mezclarse las coordenadas de spot, precio de ejercicio, forward, log-moneyness y prima normalizada.
Las cotizaciones pueden estar obsoletas, ser asíncronas, estar cruzadas o corresponder a tamaños incompatibles.
Los puntos medios no son ejecutables y pueden ocultar mercados amplios o unilaterales.
La paridad put-call y los forwards inferidos pueden verse distorsionados por préstamo de valores, dividendos o desfases temporales.
Las cotas verticales y la monotonía de las calls pueden fallar antes del ajuste de la superficie.
La convexidad de mariposa y las condiciones de densidad positiva pueden fallar localmente o en las alas.
Las condiciones de calendario deben comprobarse en coordenadas coherentes de descuento y forward.
Los vencimientos cortos y los precios de ejercicio dispersos vuelven inestables las derivadas.
La extrapolación de alas y vencimientos largos puede dominar la valoración de productos exóticos.
Las diferencias finitas, los splines y la diferenciación automática pueden amplificar el ruido de manera distinta.
Una densidad cercana a cero vuelve mal condicionado el denominador de la varianza local.
Un numerador o una varianza local negativos señalan entradas incoherentes, arbitraje o problemas numéricos.
Recortar o imponer suelos silenciosamente puede ocultar una calibración fallida y distorsionar la revaloración.
Las implementaciones mediante PDE, densidad, Monte Carlo, mallas y fronteras pueden discrepar.
Igualar distribuciones marginales de un solo instante no determina la sonrisa futura ni la dinámica de trayectorias.
Los saltos, la volatilidad estocástica, las barreras y la cobertura discreta dejan riesgo de modelo residual.
La versión de los datos, los filtros, las versiones de parámetros, los nodos fallidos y la recalibración requieren gobernanza.

Errores comunes

«La volatilidad local es la volatilidad implícita del mismo precio de ejercicio». Son objetos distintos vinculados por toda la superficie.
«Una superficie que parece suave debe producir una volatilidad local estable». La suavidad por sí sola no garantiza ausencia de arbitraje ni derivadas bien condicionadas.
«Una revaloración exacta de las opciones vanilla demuestra que los precios y coberturas de exóticos son correctos». Valida distribuciones marginales estáticas, no la dinámica real.
«La varianza local negativa es información del mercado». Suele diagnosticar cotizaciones, arbitraje, coordenadas, interpolación o cálculos numéricos incoherentes.
«La superficie de hoy predice de forma única la volatilidad realizada o el proceso verdadero». Muchas dinámicas pueden compartir las mismas distribuciones vanilla para cada instante.