Dupire局所ボラティリティ：オプション・サーフェスから拡散過程へ
教育目的のみであり、投資助言ではありません
Dupire局所ボラティリティは、無裁定の欧州型オプション価格サーフェスから推定する、資産水準と時間の決定論的関数です。連続的なリスク中立価格過程が現在の全権利行使価格・満期のコール価格を再現するための瞬時拡散率 σ_loc(S,t) を求めます。
これは較正モデルであり、実現ボラティリティや株価方向の予測ではありません。現在のバニラ・サーフェスを理論上正確に再現しても、翌日のスマイル動態、エキゾチック価格、ヘッジ結果が正しいとは限りません。
モデルと公式
Section titled “モデルと公式”連続無リスク金利 r、配当利回り q の下で、
dS_t = (r−q)S_t dt + σ_loc(S_t,t)S_t dW_t。
C(K,T) を十分滑らかな欧州型コール価格サーフェスとすると、代表的なDupire形式は
σ_loc²(K,T) = [∂_T C + (r−q)K∂_K C + qC] / [0.5K²∂²_K C]。
分母にはコールの権利行使価格に関する二階微分があり、割引後のリスク中立終端密度と関連します。コール価格は権利行使価格に対して減少かつ凸で、適切なカレンダー制約も必要です。割引、先渡し、配当、座標により公式の形が変わるので入力と単位を揃えます。
局所ボラティリティはIVではありません。IVは1つの価格を再現するBlack-Scholes入力、局所ボラティリティは経路が状態 (S,t) に達したときの瞬時拡散係数です。純局所モデルではその状態に1つの値しかありませんが、確率的ボラティリティでは同じ現値・時刻に複数の分散状態があり得ます。
微分値による例
Section titled “微分値による例”K=$100、T=0.5 年で、滑らかな無裁定コール・サーフェスが次を与えるとします。
C=7.00、∂_T C=8.50/年。∂_K C=−0.45、∂²_K C=0.018/ドル²。- 連続複利
r=4%、q=1%。
分子は 8.50 + (0.04−0.01)×100×(−0.45) + 0.01×7.00 = 7.22、分母は 0.5×100²×0.018 = 90。したがって σ_loc²≈7.22/90≈0.0802、σ_loc≈28.3% です。
微分値はフィット済みサーフェスの例で、隣接するオプション・チェーンを直接差分したものではありません。相場は離散的、非同期、ノイズを含み、二階微分は小さな誤差を増幅します。負またはゼロに近い分母は負、無限大、不安定な局所分散を生みます。
実務では同期相場を洗浄し、割引と先渡しを推定し、バタフライ・カレンダー裁定のない滑らかなサーフェスをフィットして微分し、境界を管理します。最後にPDEまたはシミュレーションで入力オプションを再評価し、選択した仲値だけでなく取引可能範囲に戻るか確認します。
較正チェックリスト
Section titled “較正チェックリスト”- 欧州型または根拠ある欧州化を使い、米国型株式オプションの早期行使価値を無視しない。
- Moneyness定義前に金利、配当、Put-Call Parityから一貫した先渡しを推定する。
- 複数の権利行使価格・満期で価格または総分散を静的無裁定制約付きでフィットする。
- 単調性、凸性、カレンダー順序、正の密度、正の局所分散を確認する。
- Bid/Askを参照し、古い・交差相場を除き、疎な翼の外挿を記録する。
- 相場、先渡し、配当、ノット、補間、グリッドを変えて不安定性を測る。
- 全較正商品を再評価し、一部の権利行使価格・満期を検証用に残す。
- 特に短期と境界でPDEとMonte Carloを比較する。
- バニラ再評価が正確でも、バリア等の経路依存価格はモデル依存として扱う。
- 別のスマイル動態、確率的ボラティリティ、ジャンプでヘッジを検証する。
よくある誤解
Section titled “よくある誤解”- 「局所ボラティリティはその権利行使価格のIVだ」。定義が異なり一致する必要はありません。
- 「バニラの正確な較正がモデルの正しさを証明する」。静的一貫性であり動的真実ではありません。
- 「生のチェーンを公式に入れられる」。微分前の平滑化と無裁定管理が不可欠です。
- 「負の局所分散は市場を表す」。通常は入力、裁定、補間、数値問題です。
- 「反推サーフェスは将来の実現ボラティリティを予測する」。現在価格に較正したリスク中立量です。
- 「較正済みならバリア価格も正しい」。経路とスマイル動態に大きなモデルリスクがあります。