ความผันผวนเฉพาะที่ของ Dupire: จากพื้นผิวออปชันสู่กระบวนการแพร่

ตรวจสอบความผันผวนเฉพาะที่ของ Dupire ในพิกัดราคา ฟอร์เวิร์ด และความแปรปรวนรวม พร้อมควบคุมการปรับพื้นผิวให้ปราศจากอาร์บิทราจ เสถียรภาพของอนุพันธ์ การกำหนดราคาใหม่ และความเสี่ยงของแบบจำลองเชิงพลวัต

จัดทำขึ้นเพื่อการศึกษาเท่านั้น ไม่ใช่คำแนะนำการลงทุน การลงทุนอาจทำให้สูญเสียเงินลงทุนได้

คำตอบโดยตรง

ความผันผวนเฉพาะที่ของ Dupire คือสัมประสิทธิ์การแพร่ ณ ขณะหนึ่งแบบกำหนดแน่นอน σ_loc(S,t) ซึ่งอนุมานจากพื้นผิวราคาออปชันยุโรปที่เรียบเพียงพอและปราศจากอาร์บิทราจ ภายใต้แบบจำลองต้นทุนการถือครองที่เป็นกลางต่อความเสี่ยงซึ่งเลือกใช้ วิธีนี้สร้างกระบวนการแพร่หนึ่งกระบวนการที่การแจกแจงส่วนเพิ่ม ณ แต่ละเวลาสามารถสร้างราคาวานิลลาในปัจจุบันได้ครบตามราคาใช้สิทธิและวันครบกำหนด

นี่คือผลของการสอบเทียบ ไม่ใช่ความผันผวนโดยนัย ณ ราคาใช้สิทธิเดียวกัน ไม่ใช่การคาดการณ์ความผันผวนที่เกิดขึ้นจริง และไม่ใช่หลักฐานว่าตลาดเป็นไปตามกฎเส้นทางของความผันผวนเฉพาะที่เพียงแบบเดียว การกำหนดราคาวานิลลาใหม่ได้ตรงทุกจุดอาจเกิดพร้อมกับพลวัตของรอยยิ้มในอนาคต ราคาออปชันมีเงื่อนไขกั้น ผลการป้องกันความเสี่ยง และพฤติกรรมการกระโดดที่ผิดพลาดได้

แบบจำลอง พิกัด และกระบวนการควบคุม

กำหนดผลตอบแทนของออปชันยุโรป สินทรัพย์อ้างอิง ค่าที่ใช้ชำระราคา เวลาของราคาเสนอซื้อขาย สกุลเงิน หน่วยราคาใช้สิทธิและวันครบกำหนด ตลอดจนเวลาประเมินมูลค่าให้ชัดเจน มูลค่าจากการใช้สิทธิก่อนกำหนดของออปชันอเมริกันและการกระโดดจากเงินปันผลแบบไม่ต่อเนื่องต้องอาศัยการแปลงเป็นราคาเทียบเท่าออปชันยุโรปอย่างชัดเจนหรือใช้แบบจำลองอื่น
สร้างปัจจัยส่วนลดและต้นทุนการถือครองแบบกำหนดแน่นอน ได้แก่ D_d(T)=exp(−∫₀ᵀr(u)du), D_q(T)=exp(−∫₀ᵀq(u)du) และ F(T)=S₀D_q(T)/D_d(T) ตรวจสอบราคาฟอร์เวิร์ดด้วยความสัมพันธ์พุต-คอลจากข้อมูลเวลาเดียวกัน แทนการผสมข้อมูลหุ้น ออปชัน อัตราดอกเบี้ย หรือเงินปันผลที่บันทึกคนละเวลา
ทำความสะอาดราคา bid และ ask ตัดตลาดที่เก่าหรือราคาซื้อสูงกว่าราคาขาย และแปลงพุตกับคอลอย่างสอดคล้อง ก่อนหาอนุพันธ์ต้องบังคับใช้ขอบเขตแนวดิ่ง ราคา call ที่ลดลงและนูน ความหนาแน่นที่ไม่ติดลบ และความสอดคล้องตามอายุสัญญาในพิกัดส่วนลด-ฟอร์เวิร์ดชุดเดียว
ปรับพื้นผิวราคาหรือความแปรปรวนรวมให้เรียบ พร้อมระบุวิธีประมาณค่าในช่วงและวิธีประมาณค่านอกช่วงตามปีกและเวลา สำหรับราคาคอลยุโรป ณ เวลาเริ่มต้นที่คิดลดแล้ว C(K,T) และอัตรา ณ ขณะนั้นแบบกำหนดแน่นอน r(T) กับ q(T) สูตรในพิกัดราคาคือ σ_loc²(K,T)=[C_T+(r(T)−q(T))K C_K+q(T)C]/[0.5K²C_KK] โดย C_T คำนวณเมื่อ K คงที่ และ C_KK=D_d(T)f_Q(K)≥0
จับคู่อนุพันธ์กับพิกัดของมัน เมื่อ k=K/F(T) และราคาคอลที่ปรับมาตรฐานแล้วคือ c(k,T)=C(kF(T),T)/(D_d(T)F(T)) จะได้ σ_loc²(kF(T),T)=2c_T|k/(k²c_kk) สำหรับลอการิทึมของระดับราคาใช้สิทธิเทียบฟอร์เวิร์ด y=ln(K/F(T)) และความแปรปรวนโดยนัยรวม w(y,T)=σ_BS²(y,T)T ให้กำหนด g=(1−y w_y/(2w))²−(w_y²/4)(1/w+1/4)+w_yy/2 แล้วใช้ σ_loc²=w_T|y/g ต้องมี w_T|y≥0 และ g>0 อนุพันธ์เมื่อคง K, k และ y ไว้ไม่สามารถใช้แทนกันได้
ปฏิเสธความแปรปรวนเฉพาะที่ที่ติดลบหรือไม่เสถียร แทนการกำหนดค่าขั้นต่ำโดยไม่เปิดเผย ทดสอบความไวต่อราคาเสนอซื้อขาย ฟอร์เวิร์ด เงินปันผล ปมของพื้นผิว วิธีประมาณค่า กริด และขอบเขต จากนั้นกำหนดราคาออปชันที่ใช้สอบเทียบและชุดทดสอบใหม่ด้วยความหนาแน่นแบบเดินหน้า หรือ PDE แบบย้อนกลับ และมอนติคาร์โล
เปรียบเทียบราคาออปชันมีเงื่อนไขกั้น สิทธิเรียกร้องอื่นที่ขึ้นกับเส้นทาง และกำไรขาดทุนจากการป้องกันความเสี่ยง ภายใต้สถานการณ์ความผันผวนเฉพาะที่ ความผันผวนเชิงสุ่ม และการกระโดด บันทึกชุดเวลาของราคา ตัวกรอง เส้นอัตรา พารามิเตอร์พื้นผิว วิธีคำนวณอนุพันธ์ จุดที่ล้มเหลว การประมาณค่านอกช่วง ค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมรับของตัวแก้ และการเปลี่ยนแปลงเมื่อสอบเทียบใหม่

ตัวอย่างคำนวณสี่กรณี

พื้นผิว Black-Scholes แบบราบให้ค่าพารามิเตอร์เดิมกลับคืนมา กำหนด S₀=K=100, T=0.5, r=4%, q=1% และ σ_BS=25% พื้นผิวที่แม่นตรงให้ C=7.721552230288, C_K=−0.488716794830, C_KK=0.022120576997 และ C_T=8.301615173889 ตัวเศษคือ 6.912680311701 และตัวส่วนคือ 110.602884987209 ดังนั้น σ_loc²=0.0625 และ σ_loc=25%
อนุพันธ์อันดับสองขยายข้อผิดพลาดราคาเพียงเล็กน้อย จากพื้นผิวราบเดียวกัน ราคาคอลที่ราคาใช้สิทธิ 99/100/101 คือ 8.221364125112/7.721552230288/7.243855394654 เมื่อระยะห่าง h=$1 ค่าประมาณส่วนกลางคือ C_KK≈0.022115059190 ซึ่งให้ σ_loc≈25.0031186% เมื่ออนุพันธ์อื่นยังเป็นค่าที่แม่นตรง หากเพิ่มราคาคอลตรงกลางเพียง $0.01 ค่าประมาณจะเปลี่ยนเป็น C_KK≈0.002115059190 และ σ_loc≈80.8494317% หากเพิ่ม $0.05 จะได้ C_KK≈−0.077884940810 และ σ_loc²≈−0.017751006138 ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่ใช้ไม่ได้ ไม่ใช่การคาดการณ์ความผันผวน
การปรับมาตรฐานด้วยฟอร์เวิร์ดต้องใช้อนุพันธ์เวลาที่ k คงที่ กำหนด D_d=0.98, F=102, k=1, c=0.08, c_T|k=0.032 และ c_kk=3.20 จะได้ C=7.9968, C_KK=0.030745098039 ตัวเศษในพิกัดราคาคือ 3.19872 และตัวส่วนคือ 159.936 ทั้งสองสูตรให้ σ_loc²=0.020000000000 และ σ_loc=14.1421356237% ไม่สามารถนำอนุพันธ์เวลาที่คำนวณเมื่อราคาใช้สิทธิคงที่มาใส่เป็น c_T|k หากไม่มีพจน์แปลงพิกัด
ตัวส่วนของความแปรปรวนรวมใช้ตรวจหาอาร์บิทราจ ที่ y=−0.1 กำหนด w=0.04, w_y=−0.10, w_yy=0.50 และ w_T|y=0.02 จะได้ g=0.9525, σ_loc²=0.020997375328 และ σ_loc=14.4904711200% หากเปลี่ยนเฉพาะ w_yy เป็น −1.50 จะได้ g=−0.0475 และสูตรให้ σ_loc²=−0.421052631579 ต้องปฏิเสธหรือแก้ไขพื้นผิวหรือจุดดังกล่าว ไม่ใช่ตัดค่าทิ้งแล้วนำเสนอว่าเป็นผลสอบเทียบ

รายการตรวจสอบการสอบเทียบ

มูลค่าจากการใช้สิทธิแบบอเมริกันอาจปนเปื้อนพื้นผิวที่ถือว่าเป็นแบบยุโรป
เงินปันผลแบบไม่ต่อเนื่องหรือไม่แน่นอนขัดกับกระบวนการแพร่ที่เรียบและใช้อัตราเงินปันผลต่อเนื่อง ณ วันเกิดเหตุการณ์
เส้นอัตรา วิธีทบต้น เกณฑ์นับวัน และเวลาครบกำหนดอาจไม่สอดคล้องกัน
พิกัดราคาสปอต ราคาใช้สิทธิ ฟอร์เวิร์ด ลอการิทึมของระดับราคาเทียบฟอร์เวิร์ด และพรีเมียมที่ปรับมาตรฐานแล้วอาจถูกนำมาปะปนกัน
ราคาเสนอซื้อขายอาจเก่า ไม่พร้อมเวลา ราคาซื้อสูงกว่าราคาขาย หรือบันทึกจากขนาดคำสั่งที่เทียบกันไม่ได้
ราคากึ่งกลางไม่ใช่ราคาที่ดำเนินการได้และอาจซ่อนตลาดที่สเปรดกว้างหรือมีราคาเพียงด้านเดียว
ความสัมพันธ์พุต-คอลและฟอร์เวิร์ดที่อนุมานอาจบิดเบือนจากต้นทุนยืมหุ้น เงินปันผล หรือเวลา
ขอบเขตแนวดิ่งและการลดลงตามราคาใช้สิทธิของคอลอาจผิดตั้งแต่ก่อนปรับพื้นผิว
ความนูนแบบ butterfly และเงื่อนไขความหนาแน่นบวกอาจผิดเฉพาะจุดหรือบริเวณปีก
ต้องทดสอบเงื่อนไขตามอายุสัญญาในพิกัดส่วนลด-ฟอร์เวิร์ดที่สอดคล้องกัน
อายุสัญญาสั้นและราคาใช้สิทธิที่เบาบางทำให้อนุพันธ์ไม่เสถียร
การประมาณค่านอกช่วงบริเวณปีกและอายุยาวอาจครอบงำมูลค่าออปชันแปลกใหม่
ผลต่างจำกัด spline และการหาอนุพันธ์อัตโนมัติอาจขยาย noise ของราคาแตกต่างกัน
ความหนาแน่นใกล้ศูนย์ทำให้ตัวส่วนของความแปรปรวนเฉพาะที่ไวต่อความคลาดเคลื่อนมาก
ตัวเศษหรือความแปรปรวนเฉพาะที่ติดลบบ่งชี้ข้อมูลไม่สอดคล้อง อาร์บิทราจ หรือปัญหาเชิงตัวเลข
การตัดค่าหรือกำหนดค่าขั้นต่ำโดยไม่เปิดเผยอาจซ่อนการสอบเทียบที่ล้มเหลวและบิดเบือนการกำหนดราคาใหม่
การคำนวณด้วย PDE ความหนาแน่น มอนติคาร์โล กริด และเงื่อนไขขอบเขตอาจให้ผลไม่ตรงกัน
การจับคู่การแจกแจงส่วนเพิ่ม ณ แต่ละเวลาไม่ได้กำหนดพลวัตของรอยยิ้มหรือเส้นทางในอนาคต
การกระโดด ความผันผวนเชิงสุ่ม ออปชันมีเงื่อนไขกั้น และการป้องกันความเสี่ยงแบบไม่ต่อเนื่องสร้างความเสี่ยงของแบบจำลองที่เหลืออยู่
ชุดเวลาของข้อมูล ตัวกรอง รุ่นพารามิเตอร์ จุดที่ล้มเหลว และการสอบเทียบใหม่ต้องมีการกำกับดูแล

ความเข้าใจผิดที่พบบ่อย

“ความผันผวนเฉพาะที่คือความผันผวนโดยนัย ณ ราคาใช้สิทธิเดียวกัน” ทั้งสองเป็นคนละปริมาณและเชื่อมโยงกันผ่านพื้นผิวทั้งหมด
“พื้นผิวที่ดูเรียบต้องให้ความผันผวนเฉพาะที่ที่เสถียร” ความเรียบอย่างเดียวไม่รับประกันการปราศจากอาร์บิทราจหรืออนุพันธ์ที่ทนต่อความคลาดเคลื่อน
“การกำหนดราคาวานิลลาใหม่ได้ตรงพิสูจน์ว่าราคาออปชันแปลกใหม่และการป้องกันความเสี่ยงถูกต้อง” สิ่งนี้ตรวจสอบเพียงการแจกแจงส่วนเพิ่มแบบสถิต ไม่ใช่ความจริงเชิงพลวัต
“ความแปรปรวนเฉพาะที่ติดลบคือข้อมูลจากตลาด” โดยทั่วไปเป็นสัญญาณวินิจฉัยราคา อาร์บิทราจ พิกัด วิธีประมาณค่า หรือวิธีเชิงตัวเลขที่ไม่สอดคล้องกัน
“พื้นผิววันนี้ทำนายความผันผวนที่เกิดขึ้นจริงหรือกระบวนการที่แท้จริงได้เพียงแบบเดียว” พลวัตหลายแบบมีการแจกแจงราคาวานิลลา ณ แต่ละเวลาเหมือนกันได้