Volatilitas Lokal Dupire: Dari Permukaan Opsi ke Difusi

Audit volatilitas lokal Dupire dalam koordinat harga, forward, dan varians total dengan kendali fitting bebas arbitrase, stabilitas turunan, repricing, serta risiko model dinamis.

Hanya untuk tujuan edukasi; bukan merupakan nasihat investasi atau rekomendasi investasi. Investasi dapat mengakibatkan kerugian.

Jawaban langsung

Volatilitas lokal Dupire adalah koefisien difusi sesaat deterministik σ_loc(S,t) yang disimpulkan dari permukaan harga opsi Eropa yang cukup mulus dan bebas arbitrase. Dalam model carry netral risiko yang dipilih, metode ini membentuk satu difusi yang distribusi marginal satu-waktunya mereproduksi harga opsi vanilla hari ini pada seluruh harga pelaksanaan dan jatuh tempo.

Ini adalah hasil kalibrasi, bukan volatilitas tersirat pada harga pelaksanaan yang sama, ramalan volatilitas terealisasi, atau bukti bahwa pasar mengikuti satu hukum lintasan volatilitas lokal. Repricing vanilla yang tepat dapat berjalan bersama dinamika smile masa depan, harga barrier, hasil lindung nilai, dan perilaku lompatan yang keliru.

Model, koordinat, dan proses pengendalian

Tetapkan secara tepat payoff Eropa, aset acuan, nilai penyelesaian, waktu kuotasi, mata uang, satuan harga pelaksanaan dan jatuh tempo, serta waktu valuasi. Nilai pelaksanaan dini opsi Amerika dan lompatan dividen diskret memerlukan proses Europeanization yang eksplisit atau model lain.
Bangun input diskonto dan carry deterministik: D_d(T)=exp(−∫₀ᵀr(u)du), D_q(T)=exp(−∫₀ᵀq(u)du), dan F(T)=S₀D_q(T)/D_d(T). Rekonsiliasi forward dengan paritas put-call yang tersinkronisasi, alih-alih mencampur observasi saham, opsi, suku bunga, atau dividen yang sudah usang.
Bersihkan kuotasi bid dan ask, tolak pasar yang usang atau crossed, lalu konversi put dan call secara konsisten. Terapkan batas vertikal, harga call yang menurun dan konveks, densitas nonnegatif, serta konsistensi kalender dalam satu koordinat diskonto-forward sebelum melakukan diferensiasi.
Fit permukaan harga atau varians total yang mulus dengan metode interpolasi dan ekstrapolasi sayap/waktu yang dinyatakan. Untuk harga call Eropa pada waktu nol yang telah didiskontokan C(K,T) serta r(T) dan q(T) sesaat deterministik, rumus dalam koordinat harga adalah σ_loc²(K,T)=[C_T+(r(T)−q(T))K C_K+q(T)C]/[0.5K²C_KK], dengan C_T mempertahankan K tetap dan C_KK=D_d(T)f_Q(K)≥0.
Cocokkan turunan dengan koordinatnya. Dengan k=K/F(T) dan call ternormalisasi c(k,T)=C(kF(T),T)/(D_d(T)F(T)), berlaku σ_loc²(kF(T),T)=2c_T|k/(k²c_kk). Dengan log-moneyness forward y=ln(K/F(T)) dan varians tersirat total w(y,T)=σ_BS²(y,T)T, definisikan g=(1−y w_y/(2w))²−(w_y²/4)(1/w+1/4)+w_yy/2 lalu gunakan σ_loc²=w_T|y/g. Syaratnya w_T|y≥0 dan g>0; turunan pada K, k, dan y yang tetap tidak dapat saling dipertukarkan.
Tolak varians lokal yang negatif atau tidak stabil, jangan diam-diam memasang floor. Ganggu kuotasi, forward, dividen, knot, interpolasi, grid, dan batas; kemudian lakukan repricing atas opsi kalibrasi dan holdout melalui densitas forward atau PDE backward dan implementasi Monte Carlo.
Bandingkan barrier, klaim bergantung lintasan lainnya, serta P/L lindung nilai dalam skenario volatilitas lokal, volatilitas stokastik, dan lompatan. Catat vintage kuotasi, filter, kurva, parameter permukaan, skema turunan, node gagal, ekstrapolasi, toleransi solver, dan perubahan saat kalibrasi ulang.

Empat contoh lengkap

Permukaan Black-Scholes datar memulihkan inputnya. Misalkan S₀=K=100, T=0.5, r=4%, q=1%, dan σ_BS=25%. Permukaan eksak memberikan C=7.721552230288, C_K=−0.488716794830, C_KK=0.022120576997, dan C_T=8.301615173889. Pembilangnya 6.912680311701 dan penyebutnya 110.602884987209, sehingga σ_loc²=0.0625 dan σ_loc=25%.
Turunan kedua memperbesar kesalahan harga yang sangat kecil. Dari permukaan datar yang sama, call pada harga pelaksanaan 99/100/101 bernilai 8.221364125112/7.721552230288/7.243855394654. Dengan jarak h=$1, estimasi pusatnya C_KK≈0.022115059190, yang menghasilkan σ_loc≈25.0031186% ketika turunan lain tetap eksak. Menaikkan hanya call tengah sebesar $0.01 mengubah estimasi menjadi C_KK≈0.002115059190 dan σ_loc≈80.8494317%; kenaikan sebesar $0.05 menghasilkan C_KK≈−0.077884940810 dan σ_loc²≈−0.017751006138, yang tidak valid dan bukan ramalan volatilitas.
Normalisasi forward memerlukan turunan waktu pada k tetap. Misalkan D_d=0.98, F=102, k=1, c=0.08, c_T|k=0.032, dan c_kk=3.20. Maka C=7.9968, C_KK=0.030745098039, pembilang koordinat harga 3.19872, dan penyebutnya 159.936. Kedua rumus menghasilkan σ_loc²=0.020000000000 dan σ_loc=14.1421356237%. Turunan waktu pada harga pelaksanaan tetap tidak dapat dimasukkan sebagai c_T|k tanpa suku konversi koordinat.
Penyebut varians total adalah diagnosis arbitrase. Pada y=−0.1, misalkan w=0.04, w_y=−0.10, w_yy=0.50, dan w_T|y=0.02. Maka g=0.9525, σ_loc²=0.020997375328, dan σ_loc=14.4904711200%. Jika hanya w_yy berubah menjadi −1.50, maka g=−0.0475 dan rumus menghasilkan σ_loc²=−0.421052631579; permukaan atau node hasil fitting harus ditolak atau diperbaiki, bukan dipotong lalu disajikan sebagai hasil kalibrasi.

Daftar periksa kalibrasi

Nilai pelaksanaan Amerika dapat mencemari permukaan yang diperlakukan sebagai Eropa.
Dividen diskret atau tidak pasti melanggar difusi mulus dengan yield kontinu pada tanggal peristiwa.
Kurva suku bunga, compounding, day count, dan waktu jatuh tempo dapat tidak konsisten.
Koordinat spot, harga pelaksanaan, forward, log-moneyness, dan premi ternormalisasi dapat tercampur.
Kuotasi dapat usang, asinkron, crossed, atau dicatat pada ukuran yang tidak kompatibel.
Midpoint tidak dapat langsung dieksekusi dan dapat menyembunyikan pasar lebar atau satu sisi.
Paritas put-call dan forward tersirat dapat tercemar oleh borrow, dividen, atau waktu pengamatan.
Batas vertikal dan monotonisitas call dapat gagal sebelum fitting permukaan.
Konveksitas butterfly dan syarat densitas positif dapat gagal secara lokal atau di sayap.
Syarat kalender harus diuji dalam koordinat diskonto-forward yang konsisten.
Jatuh tempo pendek dan harga pelaksanaan jarang membuat turunan tidak stabil.
Ekstrapolasi sayap dan jatuh tempo panjang dapat mendominasi valuasi eksotis.
Beda hingga, spline, dan diferensiasi otomatis dapat memperbesar noise kuotasi secara berbeda.
Densitas mendekati nol membuat penyebut varians lokal ill-conditioned.
Pembilang atau varians lokal negatif menandakan input yang tidak konsisten, arbitrase, atau masalah numerik.
Clipping atau flooring tersembunyi dapat menyamarkan kalibrasi gagal dan mendistorsi repricing.
Implementasi PDE, densitas, Monte Carlo, grid, dan batas dapat memberikan hasil berbeda.
Kecocokan marginal satu-waktu tidak menentukan dinamika smile atau lintasan masa depan.
Lompatan, volatilitas stokastik, barrier, dan hedging diskret menimbulkan sisa risiko model.
Vintage data, filter, versi parameter, node gagal, dan kalibrasi ulang memerlukan tata kelola.

Kesalahpahaman umum

“Volatilitas lokal adalah volatilitas tersirat pada harga pelaksanaan yang sama.” Keduanya merupakan objek berbeda yang terhubung melalui seluruh permukaan.
“Permukaan yang tampak mulus pasti memberikan volatilitas lokal yang stabil.” Kemulusan saja tidak menjamin bebas arbitrase atau turunan yang well-conditioned.
“Repricing vanilla yang tepat membuktikan harga eksotis dan lindung nilainya benar.” Itu memvalidasi marginal statis, bukan kebenaran dinamis.
“Varians lokal negatif adalah informasi pasar.” Biasanya itu mendiagnosis kuotasi, arbitrase, koordinat, interpolasi, atau numerik yang tidak konsisten.
“Permukaan hari ini secara unik meramalkan volatilitas terealisasi atau proses yang sebenarnya.” Banyak dinamika dapat memiliki distribusi vanilla satu-waktu yang sama.