ボラティリティ：測定、予測、オプションのインプライド・サーフェス、商品リスク

標本抽出と年率換算を明示してヒストリカルおよび実現ボラティリティを測定し、条件付き予測、オプションのインプライド・サーフェス、VIX を区別したうえで、ジャンプ、マイクロストラクチャー、分散スワップ、先物、上場商品を分析します。

教育目的のみであり、投資助言ではありません。投資では損失が生じる可能性があります。

直接的な答え

ボラティリティは、明示された定義、データセット、観測間隔、ウィンドウ、年率換算規則の下でのリターンのばらつきを示す尺度です。リターンの方向、期待リターン、最大損失、完全な確率分布を示すものではありません。有用なボラティリティの数値には、何をいつ測定したかを明記する必要があります。

ヒストリカル・ボラティリティは通常、観測済みリターンから推定する過去指向の尺度です。実現ボラティリティも同じ事後計算を指す場合がありますが、オプション市場や分散市場では、終了した契約期間について契約上の定義に従って算出する実現レッグを指すことがよくあります。条件付きボラティリティ予測は、モデルと情報集合から将来の実世界確率分布の尺度を推定します。インプライド・ボラティリティは、所定の仮定の下で選択したオプション価格と整合する年率換算済みのモデル入力値です。インプライド・ボラティリティ・サーフェスには、権利行使価格と満期ごとに異なる値があります。これらが異なっていても、いずれかが誤りとは限りません。

VIX はさらに別の尺度です。Cboe の算出方法では、S&P 500 指数オプションの幅広いストリップの価格を用いて、約30暦日の固定期間に対応するリスク中立分散を推定し、年率換算して平方根を取り、ボラティリティ・ポイントで表示します。VIX は単一のアット・ザ・マネー・オプションのインプライド・ボラティリティでも、恐怖心のアンケートでも、方向予測でも、直接投資可能なスポット資産でもありません。VIX 先物、オプション、上場商品、店頭分散スワップには、それぞれ固有の契約、カーブ、担保、決済、コスト、経路特性があります。

測定・予測・商品を監査する7段階

対象と範囲を定義する。 資産または指数、請求権、通貨、価格またはトータル・リターンの基準、コーポレート・アクション処理、取引市場、タイムゾーン、終値または日中のタイムスタンプ、観測日、期間、利用目的を記録します。対象が事後的なヒストリカルまたは実現ボラティリティ、事前の条件付き予測、単一オプションのインプライド・ボラティリティ、サーフェス統計量、VIX、商品のペイオフのいずれかを明示します。同期していない対象を同一系列として比較してはいけません。
クリーンなリターン系列を作る。 単純リターン Rₜ = Pₜ ÷ Pₜ₋₁ − 1 または対数リターン rₜ = ln(Pₜ ÷ Pₜ₋₁) を選び、一貫して使用します。株式投資家のトータル・リターンを測定する場合は、株式分割と分配を調整し、調整済み価格と未調整価格を暗黙に混在させてはいけません。欠測値、上場、上場廃止、古い評価値、取引停止、翌日へのギャップ、外れ値、通貨換算、日中区間の重複を記録します。
事後のばらつきを明示的に推定する。 n 個のリターンについて一般的な標本推定量は s = √[Σₜ₌₁ⁿ(rₜ − r̄)² ÷ (n − 1)] であり、母集団除数 n は別の問いに答えます。平均を控除するか、終値間か日中か、二乗リターンを合計するか、レンジ推定量またはノイズに頑健な手法を用いるかを明記します。ウィンドウと有効観測数を報告します。古い観測値が外れると、ローリング推定値は機械的に変化します。
年率換算し、依存性を診断する。 独立同分布の近似では、期間ボラティリティを σ_h = σ₁ × √h として換算します。これは単位の標準化であり、短期間の標本を予測に変えるものではありません。系列依存性があるリターンでは、Var(Σₜ₌₁ʰ rₜ) = σ²[h + 2Σₖ₌₁ʰ⁻¹(h − k)ρₖ] となります。リターン、二乗リターン、絶対リターンの自己相関、構造変化、ボラティリティ・クラスタリング、ジャンプ、歪度、ファット・テール、レジーム変化を調べます。高頻度では、ビッド・アスク・バウンスや非同期取引が測定変動を過大にする一方、古い価格や平滑化価格は過小にすることがあります。
条件付き予測を構築し検証する。 ローリング推定、指数加重移動平均、GARCH 系モデル、実現ボラティリティ・モデル、オプション情報を取り込む予測は、それぞれモデル固有の問いに答えます。パラメータ、データ・ビンテージ、予測起点、期間、損失関数、ベンチマークを固定し、平穏期、イベント期、ストレス期を含むアウト・オブ・サンプルで検証します。レバレッジ効果は多くの株式系列で反復して観測される非対称な関連であり、マイナス・リターンが一定幅のボラティリティ上昇を必ず引き起こすという普遍的な機械法則ではありません。
オプションのインプライド情報を正しく再構築する。 各オプションについて、原資産、権利行使価格、満期、権利行使方式、乗数、タイムスタンプ、ビッド、アスク、採用価格、金利、配当、借株コスト、モデル、ソルバー、インプライド・ボラティリティの規則を記録します。スプレッドが広い場合、仲値のインプライド・ボラティリティは執行可能ではありません。単一の「銘柄 IV」を引用するのではなく、権利行使価格別のスキューまたはスマイルと期間構造を調べます。VIX は所定のオプション選定、ウェイト、補間、タイムスタンプ、公表規則に基づいてリスク中立分散を推定します。単一の IV も VIX も、その後の実現ボラティリティに関する現実確率の予測ではありません。
尺度をペイオフとポートフォリオ・リスクに変換する。 オプションのエクスポージャーをデルタ、ガンマ、ベガ、シータ、サーフェス変動、流動性、割当てによって把握します。分散スワップは、契約に定めるサンプリング、障害時処理、年率換算、上限、想定元本の規則に従い、実現分散から分散ストライクを差し引いた値に連動して支払われます。分散のエクスポージャーはボラティリティに対して非線形です。VIX 先物は固有の最終決済値に収れんし、先物型上場商品にはさらに、カーブのロール、日次リバランス、レバレッジまたはインバースの日次リセット、手数料、資金調達、トラッキング、早期終了リスクがあります。ドローダウン、下方リスク、信用、集中、資金調達の尺度と併せて、シナリオを金額、証拠金、担保、流動性、ポートフォリオ全体の損失に変換します。

一般に「ボラティリティ・ドラッグ」と呼ばれるものは、ボラティリティが課す手数料ではありません。複利後の資産額は geometric wealth = Πₜ(1 + Rₜ) に従うため、交互の上昇率と下落率は異なる元本に作用します。小幅なリターンでは、算術平均と幾何平均の差を厳しい仮定の下で分散により近似できますが、実現資産額は依然として経路に依存します。この近似は独立した現金費用でも、因果関係の帰属でもありません。

計算例

標本ボラティリティと母集団ボラティリティ。 5日間の日次リターンが +1%, −1%, +2%, −2%, 0% のとき、平均は 0%、平均からの偏差平方和は 0.0010 です。標本推定値は s = √(0.0010 ÷ 4) = 1.5811%、通常の年率換算値は 1.5811% × √252 = 25.0998% です。この5観測値を母集団全体とみなす場合は σ = √(0.0010 ÷ 5) = 1.4142%、年率換算値は 1.4142% × √252 = 22.4499% です。除数を暗黙に選択してはならず、5観測値からの推定には大きな不確実性があります。
自己相関を考慮した有限期間の換算。 日次ボラティリティを σ = 1.20%、非ゼロのリターン自己相関は1次の ρ₁ = 0.30 のみで、パラメータは安定していると仮定します。有限期間の式は σ_h = 1.20% × √[h + 2(h − 1) × 0.30] となります。5日では σ₅ = 1.20% × √7.4 = 3.264353% であるのに対し、独立同分布の換算は 1.20% × √5 = 2.683282% です。252日では σ₂₅₂ = 1.20% × √402.6 = 24.077874% であるのに対し、1.20% × √252 = 19.049409% です。これは共分散の影響を示す計算例であり、相関が1年間一定であるとの予測ではありません。
VIX の尺度、実現値との比較、サーフェス。 VIX が 24 の場合、30日間の概算尺度は 24% × √(30 ÷ 365) = 6.880586% です。これは保証された範囲ではなく、方向も示しません。整合する定義でその後の実現ボラティリティが 18% なら、ボラティリティ差は 24% − 18% = 6 volatility points、分散差は 0.24² − 0.18² = 0.0252 です。ボラティリティをパーセント単位で表す場合は 24² − 18² = 252 variance points に相当します。1回の観測から安定的なボラティリティ・リスク・プレミアムを推定することはできません。権利行使価格、満期、気配値、モデル、サーフェスが VIX の算出方法とは異なるため、単一のオプションが同時に別の IV を示すことは十分にあります。
分散スワップのペイオフ。 単純化した分散スワップのロングで、ボラティリティ・ストライクが Kvol = 20% なら、Kvar = 0.20² = 0.0400 です。契約に定める実現ボラティリティが 25% なら、実現分散は 0.25² = 0.0625 です。分散想定元本が $1m variance notional per unit variance の場合、担保、資金調達、手数料、信用、税を考慮する前の上限なしのペイオフは $1m × (0.0625 − 0.0400) = $22,500 です。ボラティリティ・スワップはボラティリティに線形な別のペイオフを持ち、VIX 先物や上場商品もいずれのペイオフも機械的には再現しません。

測定・モデル・商品のチェックリスト

資産、請求権、通貨、価格またはトータル・リターンの基準、タイムゾーン、タイムスタンプ、期間を明記する。
単純または対数リターン、サンプリング頻度、ウィンドウ、重複、平均の扱い、除数、年率換算係数を明記する。
株式分割、配当、分配、上場、上場廃止、取引停止、欠測値、外れ値、通貨調整を検証する。
終値間、翌日へのギャップ、日中、レンジ型、ノイズに頑健な推定量を区別する。
有効標本数、信頼区間の不確実性、複数ウィンドウ、ローリング推定、構造変化を報告する。
時間の平方根による換算前に、リターンと二乗リターンの自己相関を調べる。
歪度、尖度、ジャンプ、ボラティリティ・クラスタリング、レバレッジの非対称性、裾、レジーム変化を診断する。
ビッド・アスク・バウンス、非同期取引、薄商い、古い評価値、平滑化、気配値選択バイアスを検証する。
モデル仕様、パラメータ、データ・ビンテージ、予測起点、ベンチマーク、評価損失関数を固定する。
EWMA、GARCH、その他の予測をアウト・オブ・サンプルで検証し、イン・サンプルで最良のモデルだけを選ばない。
IV について正確な契約、ビッド/アスク/採用価格、タイムスタンプ、金利、配当、借株コスト、モデル、ソルバーを記録する。
権利行使価格・満期のサーフェス全体、期間構造、スキュー、イベント集中、裁定可能性の診断を調べる。
実世界確率の予測、リスク中立のオプション価格、VIX、その後の実現ボラティリティ、事後プレミアムを区別する。
現行の VIX 算出方法、適格オプション、補間、公表、最終決済規則を読む。
スポット VIX、VIX 先物、VIX オプション、先物指数、ETF の NAV、ETN の指標価値、市場価格を区別する。
ボラティリティ商品について、カーブのロール、収れん、日次リセット、レバレッジ、複利、手数料、トラッキング、早期終了をモデル化する。
分散スワップについて、実現レッグのサンプリング、障害時処理、上限、年率換算、想定元本単位、担保、クローズアウトを確認する。
ボラティリティ、ベガ、ガンマ、ストレス変動、証拠金、担保、流動性、相関をポートフォリオの金額に換算する。
ボラティリティをドローダウン、下方偏差、シナリオ損失、信用、流動性、集中、資金調達の分析と併用する。
元データ、気配値、カレンダー、コーポレート・アクション、コード、パラメータ、出力、改訂、再計算を保存する。

よくある誤解

「ボラティリティは方向または最大損失を予測する。」 所定の規則に基づくばらつきの尺度であり、符号、上限、完全な裾分布を示しません。
「年率換算ボラティリティは予想年間変動幅である。」 時間の平方根による換算は、仮定の下で期間推定値の単位を標準化するだけで、それ自体は予測ではありません。
「1銘柄には1つの真の IV があり、VIX は市場全体のその数値である。」 IV は契約ごとに異なり、VIX は所定の SPX オプション・ストリップと算出方法を使用します。
「測定ボラティリティが低ければ、経済的リスクも低い。」 古い価格、非流動性、レバレッジ、信用、まれなジャンプ、恒久的毀損は隠れたままになり得ます。
「ボラティリティ ETP や分散スワップの購入は、スポット VIX の購入と同じである。」 原資産、ペイオフ、カーブ、リセット、担保、決済、コスト、経路が異なります。

権威ある情報源

What is Risk? - 市場変動を損失、流動性、集中、インフレなどの広範なリスクから区別する SEC の投資家向け枠組み。
Volatility - ボラティリティ、市場変動、リスク許容度、分散投資、意思決定規律に関する FINRA の投資家向け解説。
Cboe Volatility Index Methodology - VIX の適格オプション、分散計算、補間、年率換算、公表を定める正式な算出方法。
Technical Information - インプライド・ボラティリティ、価格入力値、ギリシャ指標、オプション慣行に関する Options Industry Council の技術解説。
NIST Measures of Scale - 標本標準偏差、母集団尺度、頑健な尺度、ばらつきの定義と相違。
NIST Autocorrelation - 等間隔観測値における系列相関の定義と診断用途。
Frequency of Observation and the Estimation of Integrated Volatility - サンプリング頻度、マイクロストラクチャー効果、積分ボラティリティ推定に関する FRB の研究。
Options on Cboe Volatility Index Futures - VIX 先物を原資産とする上場デリバティブに関する CFTC の商品届出資料。正確な契約と決済には取引所規則が適用されます。