實現變異數：公式、年化與衡量口徑

僅供教育參考，不構成投資建議

直接答案

實現變異數衡量指定觀察期間內實際發生的價格變動。常見估計量先加總對數報酬的平方，再將結果年化。實現波動率是實現變異數的平方根。

不存在脫離口徑的實現變異數數字。結果取決於標的、價格來源、首尾觀察值、報酬定義、取樣間隔、平均數處理、年化因子、缺漏資料與公司行動。契約結算應以正式規格為準；研究估計可能採用不同口徑。

對價格 P₀, P₁, …, Pₙ，每期對數報酬為：

rᵢ = ln(Pᵢ / Pᵢ₋₁)

一種假設日平均報酬為零的口徑是：

RV = (A / n) × Σᵢ₌₁ⁿ rᵢ²

其中 A 是每年觀察次數；美國市場日資料常用 252。年化實現波動率為 √RV。依此口徑，變異數 0.04 對應波動率 0.20，即 20%。

其他估計量可能扣除樣本平均數、除以 n − 1、使用簡單報酬或日內價格，不能混用。更高頻取樣可捕捉更多日內變動，但買賣價反彈、最小報價單位、非同步報價與錯誤資料會產生市場微結構雜訊。實現核等估計方法旨在處理部分問題。

Cboe 標普 500 變異數期貨提供一套具體契約口徑：使用標普 500 指數日對數報酬、假設日平均報酬為零、按 252 日年化，並使用指定收盤值與最終特殊開盤報價。不能將它無條件套用至其他產品或研究序列。

假設連續五個日對數報酬為 +1.00%、−0.50%、+0.75%、−1.25% 與 +0.25%。寫成小數後的平方和為：

0.0100² + (−0.0050)² + 0.0075² + (−0.0125)² + 0.0025² = 0.00034375

採用零平均數口徑與 252 個交易日：

RV = (252 / 5) × 0.00034375 = 0.017325

實現波動率 = √0.017325 = 0.1316 = 13.16%

變異數是 0.017325，不是 13.16%。若以波動率點平方報價，同一結果約為 173.25，因為 (13.16)² ≈ 173.19；細微差異來自四捨五入。五日樣本很短且不穩定，本例只說明算術，並非可靠風險估計。

報酬被平方，因此一次大幅變動會產生不成比例的影響。若將 −1.25% 換成 −5.00%，其他四個報酬不變，年化變異數升至 0.13545，實現波動率約為 36.80%。