Lompat ke konten
Financial Context Wiki

Delta dan Gamma: Arah Lokal, Kelengkungan, dan Unit Posisi

Ukur arah dan kelengkungan lokal opsi dengan koordinat model yang eksplisit, kuantitas bertanda, multiplier yang kompatibel, estimasi orde kedua, unit lindung nilai, pemeriksaan beda hingga, dan repricing penuh.

Diperbarui

Hanya untuk tujuan edukasi; bukan merupakan nasihat investasi atau rekomendasi investasi. Investasi dapat mengakibatkan kerugian.

Jawaban langsung

Untuk nilai model V(S, t, σ, ...), Delta adalah turunan pertama lokal Delta = ∂V / ∂S, sedangkan Gamma adalah kelengkungan lokal Gamma = ∂²V / ∂S² = ∂Delta / ∂S. Delta mengestimasi perubahan nilai untuk gerakan kecil satu unit dalam koordinat aset dasar yang dipilih; Gamma mengestimasi bagaimana Delta berubah ketika koordinat tersebut bergerak.

Keduanya merupakan keluaran model bercap waktu, bukan prakiraan, probabilitas, kuotasi yang dapat dieksekusi, atau rasio lindung nilai permanen. Maknanya bergantung pada klaim yang tepat, tanda posisi, koordinat harga, permukaan volatilitas, waktu, suku bunga, distribusi, biaya pinjam, model pelaksanaan, penyelesaian, unit kuotasi, multiplier, dan skala vendor.

Kurva nilai opsi dengan garis singgung untuk Delta dan kemiringan yang berubah untuk Gamma Kurva nilai opsi dengan garis singgung untuk Delta dan kemiringan yang berubah untuk Gamma
Delta adalah garis singgung lokal; Gamma adalah laju lokal perubahan garis singgung tersebut.

Buku besar Greek dengan tanda dan unit yang konsisten

Misalkan q adalah jumlah kontrak opsi bertanda, positif untuk posisi long dan negatif untuk posisi short; M adalah multiplier premi yang kompatibel; h adalah unit aset dasar bertanda; Delta_i adalah Delta model per unit opsi; dan Gamma_i adalah Gamma model per unit opsi untuk setiap gerakan satu unit harga. Delta posisi dalam unit ekuivalen aset dasar adalah Δ_pos = q × M × Delta_i + h, sedangkan Gamma posisi adalah Γ_pos = q × M × Gamma_i. Saham memiliki Delta +1 per unit long dan Gamma 0.

  1. Kunci seri yang tepat, cap waktu, tanda long-short, kuantitas, multiplier, deliverable, mata uang kuotasi, koordinat aset dasar, gaya pelaksanaan, penyelesaian, dan versi model. Jangan men-neto-kan Greek dari klaim yang berbeda secara ekonomi hanya karena simbolnya tampak serupa.
  2. Nyatakan koordinat turunan dan skalanya. Bedakan Delta spot dari Delta forward, futures, yang disesuaikan dengan premi, atau Delta tunai; bedakan Gamma per $1, poin indeks, poin futures, atau 1% spot move; dan catat apakah vendor sudah mengalikan nilai dengan jumlah kontrak atau multiplier.
  3. Bekukan keadaan model: spot atau forward, suku bunga, dividen, biaya pinjam, waktu hingga saat jatuh tempo yang tepat, permukaan volatilitas, aturan guncangan sticky-strike atau sticky-delta, perlakuan peristiwa diskret, dan metode numerik. Greek yang ditampilkan tanpa keadaan ini tidak dapat direproduksi secara independen.
  4. Untuk gerakan kecil ΔS, hitung perubahan Taylor per unit ΔV_Taylor ≈ Delta_i × ΔS + ½ × Gamma_i × (ΔS)² dan Delta lokal yang diperbarui Delta_new ≈ Delta_i + Gamma_i × ΔS. Kalikan estimasi harga dengan q × M bertanda; jangan mengalikan lagi nilai vendor yang sudah diagregasi.
  5. Validasi Greek analitis atau vendor dengan bump terpusat ketika fungsi pricing mulus: Delta_FD ≈ [V(S + h_S) − V(S − h_S)] / (2h_S) dan Gamma_FD ≈ [V(S + h_S) − 2V(S) + V(S − h_S)] / h_S². Perkecil dan perbesar h_S untuk mengungkap dampak truncation, cancellation, grid, atau kalibrasi ulang permukaan.
  6. Lakukan agregasi hanya setelah menormalkan setiap kaki ke unit ekuivalen aset dasar, unit harga, mata uang, cap waktu, dan konvensi tanda yang sama. Kemudian tambahkan unit lindung nilai saham atau futures dan lakukan stress test atas spot, waktu, volatilitas, skew, suku bunga, dividen, biaya pinjam, lompatan, dan batas pelaksanaan.
  7. Gunakan repricing penuh sebagai kontrol untuk skenario terbatas dan harga bid-ask yang dapat dieksekusi untuk perdagangan. Rekonsiliasi fill, jumlah lindung nilai, biaya, peminjaman, assignment, penyelesaian, versi model, dan Greek setelah guncangan, alih-alih memperlakukan estimasi Taylor lokal sebagai laba rugi terealisasi.

Untuk opsi call dan put vanilla long biasa dalam model Eropa yang mulus, Gamma bernilai positif; posisi short membalik tanda Gamma posisi. Pernyataan tersebut bukan klaim universal untuk payoff digital, barrier, batas pelaksanaan gaya Amerika, klaim yang disesuaikan, portofolio, atau konvensi vendor. Mendekati jatuh tempo, Gamma dapat terkonsentrasi di sekitar harga pelaksanaan sambil tetap kecil jauh di dalam atau di luar uang, dan lompatan membuat deskripsi lokal yang kontinu tidak lengkap.

Contoh terhitung

  • Estimasi harga lokal dan lindung nilai untuk call long. Sebuah call long memiliki nilai V_0 = $3.10, Delta_i = 0.42, Gamma_i = 0.06, q = +1, dan M = 100. Untuk ΔS = +$1.50, komponen Delta adalah 0.42 × $1.50 = $0.6300 per saham dan komponen kelengkungan adalah ½ × 0.06 × ($1.50)² = $0.0675, sehingga ΔV_Taylor = $0.6975 per saham atau +$69.75 per kontrak. Estimasi nilainya adalah $3.7975, dan Delta_new ≈ 0.42 + 0.06 × 1.50 = 0.51. Delta posisi bergerak dari +42 shares menjadi sekitar +51 shares; lindung nilai statis berupa 42 saham short tidak lagi netral.
  • Gamma short membalik tanda posisi. Enam call short memiliki q = −6, M = 100, Delta_i = 0.55, dan Gamma_i = 0.04. Delta posisi awal adalah −330 shares dan Gamma posisi −24 shares per $1. Untuk ΔS = +$2, estimasi Delta posisi berubah sebesar −48 shares menjadi −378 shares; laba rugi opsi kira-kira −6 × 100 × [0.55 × 2 + ½ × 0.04 × 2²] = −$708. Untuk ΔS = −$2, rumus lokal yang sama menghasilkan +$612. Trader yang netral Delta akan membeli sekitar 48 saham lagi ketika harga naik atau menjual sekitar 48 ketika harga turun, sebelum biaya dan perubahan model.
  • Agregasi portofolio mencakup saham dan kaki opsi bertanda. Pegang empat call dengan Delta_i = 0.35, Gamma_i = 0.025, lakukan short atas tiga put dengan Delta_i = −0.40, Gamma_i = 0.030, gunakan M = 100, dan lakukan short 200 shares. Delta opsi adalah +140 + 120 = +260 shares; setelah saham, Delta neto adalah +60 shares. Gamma opsi adalah +10 − 9 = +1 share per $1. Untuk ΔS = +$5, Delta neto lokal menjadi sekitar +65 shares. Kedua kaki opsi menyumbang +$825.00 dan +$487.50, sedangkan saham menyumbang −$1,000, sehingga estimasi portofolio orde kedua adalah +$312.50 sebelum biaya, biaya pinjam, perubahan volatilitas tersirat, dan waktu.
  • Atribusi Taylor lokal dibanding repricing penuh. Untuk call Eropa dengan S = 100, K = 100, r = 4%, yield kontinu y = 1%, σ = 25%, dan τ = 0.5, tolok ukur Black-Scholes menghasilkan V_0 = 7.7215522303, Delta_i = 0.5659323171, dan Gamma_i = 0.0221205770. Untuk ΔS = +5, estimasi orde kedua adalah 0.5659323171 × 5 + ½ × 0.0221205770 × 5² = 3.1061687980 per saham. Repricing penuh dengan IV tetap menghasilkan V_1 = 10.8172471731, perubahan sebesar 3.0956949428, sehingga estimasi lokal berbeda 0.0104738552 atau sekitar $1.047386 per multiplier 100. Jika IV juga naik menjadi 30%, nilai penuh menjadi 12.1628459929; perubahan total 4.4412937626 tidak dapat diatribusikan hanya oleh Delta dan Gamma awal.

Risiko dan pengendalian

  • Seri, root, jatuh tempo, harga pelaksanaan, jenis opsi, atau deliverable yang salah membatalkan peta Greek.
  • Mengabaikan tanda long-short membalik Delta posisi, Gamma, arah lindung nilai, dan atribusi laba rugi.
  • Kuantitas kontrak dan multiplier premi dapat dihitung ganda atau diabaikan.
  • Kontrak yang disesuaikan dan opsi futures dapat memakai unit yang bukan saham biasa.
  • Delta spot, forward, futures, yang disesuaikan dengan premi, dan Delta tunai tidak dapat saling dipertukarkan.
  • Gamma per unit harga berbeda dari Gamma yang diskalakan ke 1% spot move atau Gamma tunai.
  • Mata uang dan konversi FX dapat membuat Greek yang tampak sebanding menjadi tidak konsisten.
  • Cap waktu yang berbeda atau kuotasi aset dasar dan opsi yang usang menciptakan netting semu.
  • Greek berdasarkan harga tengah atau model tidak menjamin harga opsi atau lindung nilai yang dapat dieksekusi.
  • Permukaan volatilitas, aturan sticky, skew, dan pilihan struktur jangka waktu mengubah kedua Greek.
  • Asumsi suku bunga, dividen, biaya pinjam, dan pendanaan memengaruhi nilai model dan lindung nilai.
  • Pelaksanaan gaya Amerika dan dividen diskret menciptakan batas yang tidak ada dalam rumus Eropa yang mulus.
  • Penyelesaian tunai, penyerahan fisik, dan inventaris setelah pelaksanaan menciptakan risiko operasional yang berbeda.
  • Ketidakmulusan dekat jatuh tempo dapat membuat Gamma besar, tidak stabil, atau bergantung pada grid di sekitar harga pelaksanaan.
  • Gerakan besar membatalkan ekstrapolasi dengan Delta dan Gamma tetap.
  • Lompatan, penghentian perdagangan, dan gap melampaui asumsi rebalancing kontinu.
  • Bump beda hingga yang terlalu besar menambah truncation error; bump yang terlalu kecil menambah cancellation noise.
  • Netting berbagai jatuh tempo, permukaan, model, mata uang, atau jenis penyelesaian dapat menyembunyikan risiko basis.
  • Ukuran lindung nilai diskret, spread bid-ask, biaya, dampak pasar, peminjaman saham, dan likuiditas mengubah hasil terealisasi.
  • Perbedaan model, vendor, pembulatan, assignment, penyelesaian, dan catatan broker memerlukan rekonsiliasi akhir.

Kesalahpahaman umum

  • “Delta adalah probabilitas universal.” Delta adalah turunan lokal; interpretasi probabilitas memerlukan model, numeraire, dan konvensi tertentu.
  • “Delta tetap konstan.” Gamma dan setiap input model yang berubah menggerakkannya.
  • “Portofolio netral Delta tidak memiliki risiko.” Gamma, Vega, Theta, lompatan, basis, likuiditas, eksekusi, dan risiko model tetap ada.
  • “Gamma secara langsung memprediksi perubahan harga.” Gamma memasuki ekspansi harga lokal melalui ½ × Gamma_i × (ΔS)² dan berubah selama pergerakan.
  • “Greek yang presisi menghilangkan kebutuhan akan repricing penuh.” Turunan lokal membantu atribusi; skenario terbatas, eksekusi, dan peristiwa siklus hidup tetap memerlukan valuasi dan rekonsiliasi lengkap.

Topik terkait

Sumber otoritatif

Navigasi

Cari di wiki...