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DeltaとGamma：局所的な方向、曲率、ポジション単位

モデル座標、符号付き数量、整合する乗数、二次近似、ヘッジ単位、有限差分検証、フル・リプライシングを明示して、オプションの局所的な方向と曲率を測定します。

更新日

教育目的のみであり、投資助言ではありません。投資では損失が生じる可能性があります。

直接的な答え

モデル価値 V(S, t, σ, ...) について、Delta は局所的な一階微分 Delta = ∂V / ∂S、Gamma は局所的な曲率 Gamma = ∂²V / ∂S² = ∂Delta / ∂S です。Deltaは、選択した原資産座標が1単位だけ小幅に動いたときの価値変化を推定し、Gammaはその座標の移動に伴うDeltaの変化を推定します。

いずれも特定時点のモデル出力であり、予測、確率、約定可能な気配値、恒久的なヘッジ比率ではありません。その意味は、正確な請求権、ポジションの符号、価格座標、ボラティリティ曲面、時点、金利、分配、借株、行使モデル、決済、呼値単位、乗数、ベンダーのスケーリングに依存します。

オプション価値の曲線、Deltaの接線、Gammaによる傾きの変化を示す図 オプション価値の曲線、Deltaの接線、Gammaによる傾きの変化を示す図
Deltaは局所的な接線、Gammaはその接線が変化する局所的な速さを表します。

符号と単位を統一したグリークス台帳

q を符号付きオプション枚数とし、ロングを正、ショートを負とします。M は整合するプレミアム乗数、h は符号付き原資産単位、Delta_i はオプション1単位当たりのモデルDelta、Gamma_i は価格が1単位動く場合のオプション1単位当たりのモデルGammaです。原資産相当単位のポジションDeltaは Δ_pos = q × M × Delta_i + h、ポジションGammaは Γ_pos = q × M × Gamma_i です。株式はロング1単位当たりDeltaが +1、Gammaが 0 です。

  1. 正確なシリーズ、時刻、ロング・ショートの符号、数量、乗数、受渡物、呼値通貨、原資産座標、行使方式、決済、モデル版を確定します。ティッカーが似ているだけで、経済的に異なる請求権のグリークスを相殺してはいけません。
  2. 微分する座標と尺度を明示します。スポットDeltaをフォワード、先物、プレミアム調整後、キャッシュDeltaと区別し、Gammaが $1、指数ポイント、先物ポイント、1% spot move のどれ当たりかを区別します。また、ベンダー値に枚数や乗数が既に掛けられているかを記録します。
  3. モデル状態を固定します。スポットまたはフォワード、金利、配当、借株、正確な満期までの時間、ボラティリティ曲面、スティッキー・ストライクまたはスティッキー・デルタのショック規則、離散イベントの扱い、数値計算法を記録します。この状態を伴わない表示グリークスは独立に再現できません。
  4. 小幅な変化 ΔS について、1単位当たりのテイラー変化 ΔV_Taylor ≈ Delta_i × ΔS + ½ × Gamma_i × (ΔS)² と、局所的に更新したDelta Delta_new ≈ Delta_i + Gamma_i × ΔS を計算します。価格推定値には符号付きの q × M を掛けますが、既に集計済みのベンダー値に再度掛けてはいけません。
  5. 価格関数が滑らかな箇所では、中心差分により解析グリークスまたはベンダー値を検証します。Delta_FD ≈ [V(S + h_S) − V(S − h_S)] / (2h_S) と Gamma_FD ≈ [V(S + h_S) − 2V(S) + V(S − h_S)] / h_S² を使います。h_S を縮小・拡大して、打切り誤差、桁落ち、グリッド、曲面再較正の影響を明らかにします。
  6. すべてのレッグを同じ原資産相当単位、価格単位、通貨、時刻、符号規約に正規化してから集計します。その後、株式または先物のヘッジ単位を加え、スポット、時間、ボラティリティ、スキュー、金利、配当、借株、ジャンプ、行使境界をストレステストします。
  7. 有限のシナリオにはフル・リプライシングを、取引には約定可能な売買気配を管理手段として使います。局所的なテイラー近似を実現損益とみなさず、約定、ヘッジ数量、費用、借株、アサインメント、決済、モデル版、ショック後のグリークスを照合します。

滑らかなヨーロピアン型モデルの通常のバニラ・コールとプットでは、ロングのGammaは正であり、ショートにするとポジションGammaの符号が反転します。これはデジタル型ペイオフ、バリア、アメリカン型の行使境界、調整済み請求権、ポートフォリオ、ベンダー規約に普遍的に当てはまる主張ではありません。満期が近づくとGammaは行使価格付近に集中する一方、深いイン・ザ・マネーまたはアウト・オブ・ザ・マネーでは小さいことがあります。また、ジャンプがあると連続的で局所的な説明は不完全になります。

計算例

  • ロング・コールの局所価格とヘッジ推定。 ロング・コールの価値を V_0 = $3.10、Delta_i = 0.42、Gamma_i = 0.06、q = +1、M = 100 とします。ΔS = +$1.50 の場合、Delta項は1株当たり 0.42 × $1.50 = $0.6300、曲率項は ½ × 0.06 × ($1.50)² = $0.0675 なので、ΔV_Taylor = $0.6975、1枚当たり +$69.75 です。推定価値は $3.7975、Delta_new ≈ 0.42 + 0.06 × 1.50 = 0.51 です。ポジションDeltaは +42 shares から約 +51 shares に増えるため、42株をショートする固定ヘッジはもはや中立ではありません。
  • ショートGammaではポジションの符号が反転。 6枚のショート・コールについて q = −6、M = 100、Delta_i = 0.55、Gamma_i = 0.04 とします。当初のポジションDeltaは −330 shares、ポジションGammaは −24 shares per $1 です。ΔS = +$2 では、推定ポジションDeltaが −48 shares 変化して −378 shares となり、オプション損益はおよそ −6 × 100 × [0.55 × 2 + ½ × 0.04 × 2²] = −$708 です。ΔS = −$2 では同じ局所公式から +$612 となります。Delta中立のトレーダーは、費用とモデル変化を除けば、上昇時には約48株を追加購入し、下落時には約48株を追加売却します。
  • ポートフォリオ集計には株式と符号付きオプション各レッグを含める。 Delta_i = 0.35、Gamma_i = 0.025 のコールを4枚ロングし、Delta_i = −0.40、Gamma_i = 0.030 のプットを3枚ショートし、M = 100 を用いて 200 shares をショートします。オプションDeltaは +140 + 120 = +260 shares、株式を加えたネットDeltaは +60 shares です。オプションGammaは +10 − 9 = +1 share per $1 です。ΔS = +$5 では局所ネットDeltaは約 +65 shares になります。二つのオプション・レッグの寄与は +$825.00 と +$487.50、株式の寄与は −$1,000 で、費用、借株、IV、時間変化前の二次ポートフォリオ推定は +$312.50 です。
  • 局所テイラー要因分解とフル・リプライシング。 S = 100、K = 100、r = 4%、連続利回り y = 1%、σ = 25%、τ = 0.5 のヨーロピアン・コールでは、Black-Scholesベンチマークから V_0 = 7.7215522303、Delta_i = 0.5659323171、Gamma_i = 0.0221205770 が得られます。ΔS = +5 の二次推定は1株当たり 0.5659323171 × 5 + ½ × 0.0221205770 × 5² = 3.1061687980 です。同じIVでフル・リプライシングすると V_1 = 10.8172471731、変化は 3.0956949428 です。したがって局所推定との差は 0.0104738552、乗数100当たり約 $1.047386 です。IVも 30% に上昇すると、フル・リプライシング価値は 12.1628459929 で、総変化 4.4412937626 は当初のDeltaとGammaだけでは要因分解できません。

リスクと管理

  • シリーズ、銘柄コード、満期、行使価格、オプション種類、受渡物を誤るとグリークスの対応関係が無効になります。
  • ロング・ショートの符号を省くと、ポジションDelta、Gamma、ヘッジ方向、損益要因分解が反転します。
  • 契約枚数とプレミアム乗数は、二重計上または計上漏れになる可能性があります。
  • 調整済み契約や先物オプションの単位は、通常の株数とは限りません。
  • スポット、フォワード、先物、プレミアム調整後、キャッシュDeltaは互換ではありません。
  • 価格1単位当たりのGammaは、1% spot move またはキャッシュGammaに換算した値とは異なります。
  • 通貨と為替換算により、一見比較可能なグリークスが不整合になることがあります。
  • 時刻が異なる、または原資産とオプションの気配が古いと、誤った相殺が生じます。
  • 仲値やモデルのグリークスは、約定可能なオプション価格やヘッジ価格を保証しません。
  • ボラティリティ曲面、スティッキー規則、スキュー、期間構造の選択により両グリークスが変わります。
  • 金利、配当、借株、資金調達の仮定はモデル価値とヘッジに影響します。
  • アメリカン型行使と離散配当は、滑らかなヨーロピアン型公式にはない境界を生みます。
  • 差金決済、現物受渡し、行使後の在庫には、それぞれ異なる業務リスクがあります。
  • 満期直前の非滑らかさにより、行使価格付近のGammaが大きく、不安定に、またはグリッド依存になることがあります。
  • 大幅な値動きには、DeltaとGammaを固定した外挿は通用しません。
  • ジャンプ、取引停止、ギャップは連続リバランスの仮定を飛び越えます。
  • 有限差分のバンプが大きすぎると打切り誤差が、小さすぎると桁落ちノイズが生じます。
  • 満期、曲面、モデル、通貨、決済方式が異なるポジションを相殺するとベーシス・リスクが隠れます。
  • 離散的なヘッジ数量、売買スプレッド、費用、市場インパクト、借株、流動性は実現結果を変えます。
  • モデル、ベンダー、丸め、アサインメント、決済、証券会社記録の差異は最終照合が必要です。

よくある誤解

  • 「Deltaは普遍的な確率である。」局所微分であり、確率としての解釈には特定のモデル、ニュメレール、規約が必要です。
  • 「Deltaは固定されている。」Gammaと変化するすべてのモデル入力がDeltaを動かします。
  • 「Delta中立のポートフォリオにはリスクがない。」Gamma、Vega、Theta、ジャンプ、ベーシス、流動性、約定、モデルのリスクが残ります。
  • 「Gammaが価格変化を直接予測する。」Gammaは局所価格展開に ½ × Gamma_i × (ΔS)² として入り、値動きの途中でも変化します。
  • 「精密なグリークスがあればフル・リプライシングは不要である。」局所微分は要因分解に役立ちますが、有限シナリオ、約定、ライフサイクル事象には完全な評価と照合が必要です。

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